2022-2023学年北师大版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年北师大版中考数学复习一次函数综合解答题专题提升训练（附答案）1阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式 有这样一个问题：直线 l1的表达式为 y2x+4，若直线 l2与直线 l1关于 y 轴对称，求直线 l2的表达式 下面是小明的解题思路，请补充完整 第一步：求出直线 l1与 x 轴的交点 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线 l1；第三步：求点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标；第四步：由点 B，点 C 的坐标，利用待定系数法，即可求出直线 l2的表达式 小明求出的直线 l2的表达式是 请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线 l3与直线 l1关于直线 yx 对称，则直线 l3的表达式是 ；（2）若点 M（m，3）在直线 l1上，将直线 l1绕点 M 顺时针旋转 90得到直线 l4，求直线 l4的表达式 2直线 AB：yx+b 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（3，0），过点 B 的直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC3：1（1）求点 B 的坐标及直线 BC 的解析式；（2）在 x 轴上方存在点 D，使以点 A，B，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD并请直接写出点 D 的坐标；（3）在线段 OB 上存在点 P，使点 P 到点 B，C 的距离相等，求出点 P 的坐标 3在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，4），B（3，0），以 AB 为边在第一象限内作正方形ABCD，直线 l：ykx+3（1）当直线 l 经过 D 点时，求点 D 的坐标及 k 的值；（2）当直线 l 与正方形有两个交点时，直接写出 k 的取值范围 4在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2），且 x1x2，y1y2若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，下图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图 已知点 A 的坐标为（1，0），（1）若点 B 的坐标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积；（2）点 C 在直线 x3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；（3）若点 D 的坐标为（4，2），将直线 y2x+b 平移，当它与点 A，D 的“相关矩形”没有公共点时，求出 b 的取值范围 5如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），B（6，3），连接 AB若对于平面内一点 P，线段 AB 上存在点 Q，使得 PQ1，则称点 P 是线段 AB 的“邻近点”（1）判断点 C（1，4），D（3，4）中，是线段 AB 的“邻近点”的是 ；（2）若点 H（m，n）在一次函数 yx1 的图象上，且是线段 AB 的“邻近点”，求 m的取值范围（3）若一次函数 yx+b 的图象上至少存在一个线段 AB 的“邻近点”，则 b 的取值范围是 6如图，ABC 是等腰直角三角形，A90，ABAC，D 是 BC 上一动点，P 是边 AC的中点，过点 D 作 DEBC，交 AB 或 AC 于点 E，连接 PE，PD已知 BC6cm，设 B，D 两点间的距离为 xcm，E，D 两点间的距离为 y1cm，P，D 两点间的距离为 y2cm 小乐根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小乐的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点，画图，测量，分别得到了为 y1，y2与 x 的几组对应值：x/cm 0 1.01 1.61 2.43 3 3.52 4 4.71 5.16 6 y1/cm 0 1.01 1.61 2.43 3 2.48 2 1.29 0.84 0 y2/cm 4.75 3.81 3.26 2.56 m 1.80 1.59 1.52 1.64 2.12 则 m （2）如图，y2的函数图象已经给出，在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出 y1的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PDE 为等腰三角形，且 PDDE 时，BD 的长度约为 7一次函数 yx+2 的图象分别与 x、y 轴交于点 A、B（1）直接写出AOB 的面积为 ；（2）点 P（x，y）是坐标平面内的点，且满足APB 的面积是AOB 的面积的 3 倍，直接写出 y 与 x 的函数关系式 ；（3）若点 C 是线段 AB 的中点，点 P 在正比例函数 yx 的图象上，设以点 A、C、O、P 为顶点的四边形的面积为 S，当 8S10 时，求点 P 的纵坐标的取值范围 8在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b）的“关联点”的坐标定义如下：当 ab 时，Q点坐标为（a，b）；当 ab 时，Q 点坐标为（a2，b）（1）点 A（3，2）的“关联点”坐标是 ，点 B（2，1）的“关联点”坐标是 （2）已知点 C 在一次函数 yx+1 的图象上，且点 C 的“关联点”为点 D 若点 D 的坐标为（m，4），求 m 的值；设所有的点 C 的“关联点”为点 D 组成一个新的图形，记作图形 G（i）一次函数 yx+1 的图象与图形 G 的交点坐标是 ；（ii）当 k 满足 时，一次函数 ykx2k 的图象与图形 G 只有一个交点 9如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，DAB90，点 E 是边 BC 上一动点，连接 DE，过点 E 作 DE 的垂线交直线 AB 于点 F，已知 AD4cm，AB2cm，BC5cm，设 CE 的长为 xcm，BF 的长为 ycm 小帅，根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究，下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）通过取点画图，测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y/cm 2.5 1.1 0 0.9 1.5 2 1.9 0.9 0（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 CEBF 时，CE 的长度约为 cm 10阅读下列材料：直线 l 外一点 P 到直线 l 的垂线段的长度，叫做点 P 到直线 l 的距离，记作 d（p，l）；两条平行线 l1，l2，直线 l1上任意一点到直线 l2的距离，叫做这两条平行线 l1，l2之间的距离，记作 d（l1，l2）；若直线 l1，l2相交，则定义 d（l1，l2）0；对于同一直线 l 我们定义 d（l，l）0；对于两点 P1，P2和直线 l1，l2，定义两点 P1，P2的“l1，l2相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）根据以上材料，解决以下问题：设 P1（4，0），P2（0，3），l1：yx，l2：yx，l3：ykx，l4：ykx+b，l5：ykx（1）d（P1，l1），d（P1，P2|l1，l2）；（2）若 k0，则 d（P1，P2|l3，l3）的最大值为 ；若 k0，b2，则 d（P1，P2|l4，l4）取最大值时，k 的值为 ；若 kk0，且 l3，l5的夹角是 30，则 d（P1，P2|l3，l5）的最大值为 ；（3）若 k1，试确定 d（P1，P2|l3，l4）的值（用含 b 的代数式表示）11如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB8cm，BC5cm，P 是 AB 边上一动点，连接 PC，设 P，A 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点 A 重合时，x 的值为 0）小东根据学习一次函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小东的探究过程：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表，请补充完整：（说明：相关数值保留一位小数）x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.9 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 y/cm 6.2 5.5 4.9 4.0 3.9 4.0 4.1 4.2 4.4 4.7 （2）建立平面直角坐标系（图 2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y 取最小值时，x 的值约为多少 cm（结果保留一位小数）当 PC2PA 时，PA 的长度约为多少 cm（结果保留一位小数）12如图，ABC 中，ACB90，A30，AB6，点 P 是斜边 AB 上一点（点 P不与点 A，B 重合），过点 P 作 PQAB 于 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 APx，APQ 的面积为 y 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变换而变化的规律进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x 0.8 1.0 1.4 2.0 3.0 4.0 4.5 4.8 5.0 5.5 y 0.2 0.3 0.6 1.2 2.6 4.6 5.8 5.0 m 2.4 经测量、计算，m 的值是 （保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当 QPCQ 时，x 的值是 13在平面直角坐标系 xOy 中，如果 P，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与 x 轴，y 轴平行（不包括重合），那么称该菱形为点 P，Q 的“相关菱形”图1 为点 P，Q 的“相关菱形”的一个示意图已知点 A 的坐标为（1，4），点 B 的坐标为（b，0），（1）如果 b3，那么 R（1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点 A，B 的“相关菱形”顶点的是 ；（2）如果点 A，B 的“相关菱形”为正方形，求直线 AB 的表达式；（3）如图 2，在矩形 OEFG 中，F（3，2）点 M 的坐标为（m，3），如果在矩形 OEFG上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关菱形”为正方形，直接写出 m 的取值范围 14对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 与图形 W，给出如下的定义：在点 P 与图形 W 上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点 P 与图形 W 的距离，特别的，当点 P 在图形 W 上时，点 P 与图形 W 的距离为零如图 1，点 A（1，3），B（5，3）（1）点 E（0，1）与线段 AB 的距离为 ；点 F（5，1）与线段 AB 的距离为 ；（2）若直线 yx2 上的点 P 与线段 AB 的距离为 2，求出点 P 的坐标；（3）如图 2，将线段 AB 沿 y 轴向上平移 2 个单位，得到线段 DC，连接 AD，BC，若直线 yx+b 上存在点 P，使得点 P 与四边形 ABCD 的距离小于或等于 1，请直接写出 b 的取值范围为 15在平面直角坐标系 xOy 中，对于与坐标轴不平行的直线 l 和点 P，给出如下定义：过点P 作 x 轴，y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M，N，若 PM+PN4，则称 P 为直线 l 的近距点，特别地，直线上 l 所有的点都是直线 l 的近距点 已知点 A（，0），B（0，2），C（2，2）（1）当直线 l 的表达式为 yx 时，在点 A，B，C 中，直线 l 的近距点是 ；若以 OA 为边的矩形 OAEF 上所有的点都是直线 l 的近距点，求点 E 的纵坐标 n 的取值范围；（2）当直线 l 的表达式为 ykx 时，若点 C 是直线 l 的近距点，直接写出 k 的取值范围 16在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A、B、C 我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点 例如：点 A（2，0），点 B（1，1），点 C（1，2），则 A、B、C 三点的“横长”a|1（2）|3，A、B、C 三点的“纵长”b|1（2）|3因为 ab，所以 A、B、C 三点为正方点（1）在点 R（3，5），S（3，2），T（4，3）中，与点 A、B 为正方点的是 ；（2）点 P（0，t）为 y 轴上一动点，若 A，B，P 三点为正方点，t 的值为 ；（3）已知点 D（1，0）平面直角坐标系中的点 E 满足以下条件：点 A，D，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点 E 组成的图形；若直线 l：yx+m 上存在点 N，使得 A，D，N 三点为正方点，直接写出 m 的取值范围 17如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC4cm，BD2cm，E，F分别是 AB，BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，设 APxcm，PEy1cm，PFy2cm小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数 y1的图象 按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了 y1与 x 的几组对应值：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y1/cm 1.12 0.5 0.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04 在图 2 所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数 y1的图象；（2）画函数 y2的图象，在同一坐标系中，画出函数 y2的图象；（3）根据画出的函数 y1的图象、函数 y2的图象，解决问题 函数 y1的最小值是 ；函数 y1的图象与函数 y2的图象的交点表示的含义是 ；若 PEPC，AP 的长约为 cm 18对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“距离“，记作 d（M，N）特别的，当图形 M，N 有公共点时，记作 d（M，N）0 一次函数 ykx+2 的图象为 L，L 与 y 轴交点为 D，ABC 中，A（0，1），B（1，0），C（1，0）（1）求 d（点 D，ABC）；当 k1 时，求 d（L，ABC）；（2）若 d（L，ABC）0，直接写出 k 的取值范围；（3）函数 yx+b 的图象记为 W，若 d（W，ABC）1，求出 b 的取值范围 19在平面直角坐标系 xOy 中，若 P，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”图 1 为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图已知点 A 的坐标为（1，2）（1）如图 2，点 B 的坐标为（b，0）若 b2，则点 A，B 的“相关矩形”的面积是 ；若点 A，B 的“相关矩形”的面积是 8，则 b 的值为 （2）如图 3，点 C 在直线 y1 上，若点 A，C 的“相关矩形”是正方形，求直线 AC的表达式；（3）如图 4，等边DEF 的边 DE 在 x 轴上，顶点 F 在 y 轴的正半轴上，点 D 的坐标为（1，0）点 M 的坐标为（m，2），若在DEF 的边上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出 m 的取值范围 20 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 和点 P，给出如下定义：F 为图形 W 上任意一点，将 P，F 两点间距离的最小值记为 m，最大值记为 M，称 M 与 m 的差为点 P 到图形 W 的“差距离”，记作 d（P，W），即 d（P，W）Mm，已知点 A（2，1），B（2，1）（1）求 d（O，AB）；（2）点 C 为直线 y1 上的一个动点，当 d（C，AB）1 时，点 C 的横坐标是 ；（3）点 D 为函数 yx+b（2x2）图象上的任意一点，当 d（D，AB）2 时，直接写出 b 的取值范围 参考答案 1解：直线 l1的表达式为 y2x+4，直线 l1与 x 轴的交点 A 的坐标为（2，0），与 y 轴的交点 B 的坐标为（0，4），点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为（2，0）设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0），则，解得 k2，直线 l2的表达式为：y2x+4 故答案为：y2x+4；（1）A（2，0），B（0，4），A、B 两点的坐标关于直线 yx 的对称点分别为 E（0，2），F（4，0），设直线 EF 的解析式为 yax+c，则，解得，直线 l3的表达式为：yx+2 故答案为：yx+2；（2）过 M 点作直线 l4l1，l4交 y 轴于点 D，作 MNy 轴于点 N 点 M（m，3）在直线 l1上，2m+43，m，MN，B N1，BM 设 NDa，则 MN，BN1，BDa+1，由勾股定理得：（a+1）2a2+（）2+（）2，解得：a D（0，）设直线 l4的表达式 ykx+把 M（，3）代入得：k 直线 l4的表达式 yx+2解：（1）把 A（3，0）代入 yx+b，得 b3，B（0，3），OB3，OB：OC3：1，OC1，点 C 在 x 轴负半轴上，C（1，0），设直线 BC 的解析式为 ymx+n，把 B（0，3）及 C（1，0）代入，得，解得 直线 BC 的解析式为：y3x+3；（2）如图，进而得出 D1（4，3），D2（3，4）；（3）由题意，PBPC，设 PBPCx，则 OP3x，在 RtPOC 中，POC90，OP2+OC2PC2，（3x）2+12x2，解得，x，OP3x，点 P 的坐标（0，）3解：（1）如图，过 D 点作 DEy 轴，则AED1+290 在正方形 ABCD 中，DAB90，ADAB 1+390，23 又AOBAED90，在AED 和BOA 中，AEDBOA，DEAO4，AEOB3，OE7，D 点坐标为（4，7），把 D（4，7）代入 ykx+3，得 k1；（2）当直线 ykx+3 过 B 点时，把（3，0）代入得：03k+3，解得：k1 所以当直线 l 与正方形有两个交点时，k 的取值范围是 k1 4解：（1）A（1，0），B（3，1）由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1，点 A，B 的“相关矩形”的面积为 212；（2）由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线，又点 A，C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC 与 x 轴的夹角为 45，设直线 AC 的解析为：yx+m 或 yx+n 把（1，0）分别 yx+m，m1，直线 AC 的解析为：yx1，把（1，0）代入 yx+n，n1，yx+1，综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 yx1 或 yx+1；（3）把 A（1，0），D（4，2）分别代入 y2x+b2，得出 b0，或 b8，b0 或 b8 5解：（1）由点 C、D、A 的坐标知，点 C、D 在点 A 的正上方，间隔和距离均为 1 的位置，其中点 C 到点 A 的最小距离（也是到线段 AB 的最小距离）为1，而点 D 到直线 AB 的最小距离为 431，故答案为 D；（2）如图 1，由题意知，符合条件的点在 AB 周围类似操场的环形跑道（两侧为半径为 2的半圆）内的部分，当 y2 时，即 2yx1，解得 x3，即点 E 的坐标为（3，2），当 y4 时，即 4yx1，解得 x5，即点 E 的坐标为（5，2），即 3m5；（3）如图 2，由（2）知，当直线 m、n 和类似操场的环形跑道两侧半圆相切时，为题设的临界点，设直线 m 和半圆的切点为 D，直线 AB 交直线 m 于点 F，由直线 m 的表达式知，DFA45，则 AFAD，故点 F 的坐标为（2，3），将点 F 的坐标代入 yx+b 并解得 b1+；同理点 E 的坐标为（6+，3），将点 E 的坐标代入 yx+b 并解得 b3；3b1 故答案为：3b1 6解：（1）当 x3 时，如图 1，此时点 A、E 重合，则 xBD3AD，则 DP 为 RtADC 的中线，故 y2DPACAB2.12，故答案为 2.12；（2）根据表格数据描点绘图如下：（3）因为 DEPD 时，即 y1y2，则（2）中图象的交点的横坐标，即为所求点，从图上看 x2.49 或 4.59（答案不唯一）；BD 的长度约为 2.49 或 4.59 故答案为 2.49 或 4.59 7解：（1）一次函数 yx+2 的图象分别与 x、y 轴交于点 A、B，A（4，0），B（0，2），AOB 的面积为：4，故答案为 4；（2）如图 1，APB 的面积是AOB 的面积的 3 倍，点 P 在平行于 AB，且到 AB 的距离为 3OG 的直线 EF、直线 MN 上，因此有 HG3GO，GK3GO，即：，由AOBEOF，AOBMON 得，OB2，OF4，ON8，F（0，4），N（0，8），直线 MN 的关系式为：yx4，直线 MN 的关系式为：yx+8，故答案为 yx+8 或 yx4；（3）如图 21，点 P 在正比例函数 yx（x0）的图象上，即在第四象限内的直线上，点 C 是 AB 的中点，A（4，0），B（0，2），C（2，1）SAOC412，8S四边形OCAP10，6SOAP8，即：64PD8，3PD4，此时点 P 的纵坐标 y 的取值范围为：4yP3；如图 22，点 P 在正比例函数 yx（x0）的图象上，即在第二象限内的直线上，SPCASOCA412，8S四边形OCAP10，6SOAP8，即：64PD8，3PD4，此时点 P 的纵坐标 y 的取值范围为：3yP4；综上所述，点 P 的纵坐标 y 的取值范围为：3yP4 或4yP3；8解：（1）A（3，2）的“关联点”坐标是（3，2），点 B（2，1）的“关联点”坐标是（4，1）故答案为（3，2），（4，1）；（2）点 C 在一次函数 yx+1 的图象上，C（x，x+1），点 C 的“关联点”为点 D，D（x，x1）或（x2，x+1），若点 D 的坐标为（m，4），x14，或x+14，解得 x或 x，m2或（i）由题意函数 G：y，由，解得，由，解得，G（6，5）或（，）故答案为（6，5）或（，）（ii）函数 G 的图象如图所示：一次函数 ykx2k 的图象过定点 G（2，0），当直线 ykx2k 经过点 A（3，3）时，k3，此时满足条件，只有一个交点，当直线 ykx2k 平行 AB 时，k，观察图象可知：当 k3 或k0 或 0k时，一次函数 ykx2k 的图象与图形 G 只有一个交点 故答案为 k3 或k0 或 0k 9解：（1）根据题意作图测量可得 x2.5 时，y1.9，当 x4 时，y1.5 故答案为：1.9，1.5（2）根据题意作图得：（3）如图，作 yx 的函数图象 根据题意，所画图象于直线 yx 交点即为所求数值故测量数据在 0.60.8 之间 10解：（1）P1（4，0），P2（0，3），l1：yx，l2：yx，d（P1，l1）42，d（P1，P2|l1，l2）d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）2+0+3 2+；故答案为 2，2+；（2）如图 1，作 P1Al3于点 A，P2Bl3于点 B，连接 P1P2交 l3于点 C，d（P1，P2|l3，l3）d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）P1A+P2B，P1AP1C，P2BP2C，P1A+P2BP1P2，当 P1P2l3时，P1A+P2B 的最大值是：5 如图 2 中，直线 l4交 y 轴于 C（0，2），作 P1关于 C 的对称点 P1（4，4）作 P1E直线 l4于 E，P1F直线 l4于 F易证 P1EP1F，d（P1，P2|l4，l4）d（P1，P2|l4，l4）P2P1，如图 3，作 P1Al3于点 A，P2Bl4于点 B，把线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 30得到OP1，作 P1直线 ykx 于 H，易证 P1AP1H，d（P1，P2|l3，l5）d（P1，P2|l3，l5）P1P2，P1（2，2），P2（0，3），P1P2 d（P1，P2|l3，l5）d（P1，P2|l3，l5）P1P2 故答案为 5，；（3）l3：yk，l4：yx+b，当 b0 时，如图 41 中，作 P1El3，P2Fl4，OMl4 易知 OMb，P1E2，P2F（3b），d（P1，P2|l3，l4）d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）（3b）+b+2 当4b0 时，如图 42 中，作 P1El3，P2Fl4，OMl4易知 OMb，P1E2，P2F（3b），d（P1，P2|l3，l4）d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）（3b）b+2 b 当 b4 时，如图 b3 中，作 P1El3，P2Fl4，OMl4易知 OMb，P1E2，P2F（3b），d（P1，P2|l3，l4）d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）（3b）b+2 b 综上所述，d（P1，P2|l3，l4）或b 11解：（1）如图 1 中，作 CHAB 于 H BB，CHBACB90，BCHBAC，BC2BHBA，BH，PH5，CH，PC4.3，x8 时，P 与 B 重合，PC5，故答案为 4.3，5（2）函数的图象如图所示：（3）结合画出的函数图象，解决问题：4.9（4.5 至 5.4 均可）2.3（2.1 至 2.8 均可）12解：（1）ACB90，A30，AB6，AC3，BC3，B60 当点 Q 与点 C 重合时，AP4.5 当 0AP4.5 时因为 tanA PQtan30APx 又yPQAP xx x2 当 5AP6 时，ySABCSACQSBPQ ACBCACCQBPPQ（6x）2+3x 当 x5.0 时，y+35 4.3 故答案为：4.3（2）如图 （3）当点 Q 在线段 AC 上时，若 QCQP 即 3x 解得，x3；当点 Q 在线段 BC 上时，若 QCQP 即（6x）2x9 解得，x5.2 故答案为：3.0 或 5.2 13解：（1）如图 1 中，观察图象可知 S 能够成为点 A，B 的“相关菱形”顶点 故答案为 S（2）如图 2 中，过点 A 作 AH 垂直 x 轴于 H 点 点 A，B 的“相关菱形”为正方形，ABH 为等腰直角三角形 A（1，4），BHAH4 b3 或 5 B 点的坐标为（3，0）或（5，0）设直线 AB 的表达式为 ykx+b 由题意得或 解得或 直线 AB 的表达式为 yx+3 或 yx+5（3）如下图所示：当点 N 与点 E 重合时，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G 点 M，N 的“相关菱形”为正方形，NMG 为等腰直角三角形，EGGM3，M（6，3）如下图所示：当点 N 与点 O 重合时，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G 点 M，N 的“相关菱形”为正方形，NMG 为等腰直角三角形，OGGM3，M（3，3）m 的取值范围是：3m6 14解：（1）点 E（0，1）与线段 AB 的距离为线段 AE 的长；点 F（5，1）与线段AB 的距离为线段 FB 的长2，故答案为；2，（2）如图 1，点 B（5，3）在直线 yx2 上 点 A（1，3），B（5，3），AB 平行于 x 轴，当 y1 时，x21，x3，P1（3，1），过 P2作 P2EAB 交 AB 的延长线于点 E，直线 yx2 与坐标轴分别交于点 C（0，2），D（2，0），OCOD，可证P2BEODC45，P2B2，点 P 的坐标为（3，1）或（3）如图 2 中，作 BE直线 yx+b 于 E，延长 CB 交直线 yx+b 于 P，当 BE1 时，P（5，3），35+b，b2 作 DF直线 yx+b 于 F，延长 AD 交直线 yx+b 于 Q，当 DF1 时，Q（1，5+），5+1+b，b4+观察图象可知：满足条件的 b 的范围为：15解：（1）根据直线 l 的近距点可知 A，B 是直线 yx 的近距点 故答案为 A、B 当 PM+PN4 时，可知点 P 在直线 l1：yx+2，直线 l2：yx2 上 所以直线 l 的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点 如图 1，EF 在 OA 上方，当点 E 在直线 l1上时，n 的值最大，为 如图 2，EF 在 OA 下方，当点 F 在直线 l2上时，n 的值最小，为2 当 n0 时，EF 与 AO 重合，矩形不存在 综上所述，n 的取值范围是，且 n0（2）如图 3 中，过点 C 作 CEx 轴交直线 ykx 于 E 或 M，作 CFy 轴交直线 ykx于 F 或 N 易知 E（2，2k），F（，2），M（2，2k），N（，2），当 CF+CE4 时，2+2k+（2）4，解得 k1或 1+（舍弃）当 CM+CN4 时，2+（2+2k）4，解得 k1或1+（舍弃），观察图象可知，满足条件的 k 的值为：16解：（1）根据正方点的定义，可知点 R 与 A、B 是正方点 故答案为 R （2）由题意：t01（2）或 1t1（2），解得 t3 或2，故答案为2 或 3（3）画出如图所示的图象，如图，当直线 yx+b 与中的图象有交点时满足条件 当直线 yx+b 经过图中 M（1，3）时，3+b，解得 b，当直线 yx+b 经过图中 N（2，3）时，31+b，解得 b2，观察图象可知：m或 m2 时，yx+m 上存在点 N，使得 A，D，N 三点为正方点 17解：（1）由函数的对称性知，当 x0.5 时，y10.71；补全表格后描绘得到以下图象：（2）y1、y2关于 x2 对称，故描点得到 y2的图象，如下：（3）从图象可以看出函数 y1的最小值为：0.5，故答案为 0.5；函数 y1的图象与函数 y2的图象的交点点 P 到达点 O 处，故答案为：点 P 到达点 O 处；PEPC，即：y1PCACx4x，在图上画出直线 l：y4x，直线 l 与 y1的交点坐标为：x2.5，y1.58，故答案为 2.5 18解：（1）一次函数 ykx+2 的图象与 y 轴交点 D（0，2），d（点 D，ABC）表示点 D 到ABC 的最小距离，就是点 D 到点 A 的距离，即：AD211，d（点 D，ABC）1 当 k1 时，直线 yx+2，此时直线 L 与 AB 所在的直线平行，且ABC 和DOE 均是等腰直角三角形，d（L，ABC）表示直线 L 到ABC 的最小距离，就是图中的 AF，在等腰直角三角形 ADF 中，AD1，AF1 d（L，ABC）故答案为：1，；（2）若 d（L，ABC）0说明直线 L：ykx+2 与ABC 有公共点，因此有两种情况，即：k0 或 k0，仅有一个公共点时如图所示，即直线 L过 B 点，或过 C 点，此时可求出 k2 或 k2，根据直线 L 与ABC 有公共点，k2 或 k2，答：若 d（L，ABC）0 时k 的取值范围为：k2 或 k2（3）函数 yx+b 的图象 W 与 x 轴、y 轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数 yx+b 的图象与 AB 平行，当 d（W，ABC）1 时，如图所示：在AGM 中，AGGM1，则 AM，OM1+，M（0，1+）；即：b1+；同理：OQOP1+，Q（0，1），即：b1，若 d（W，ABC）1，即 b 的值在 M、N 之间 1b1+答：若 d（W，ABC）1，b 的取值范围为1b1+19解：（1）b2，点 B 的坐标为（2，0），如图 21 所示：点 A 的坐标为（1，2），由矩形的性质可得：点 A，B 的“相关矩形”的面积（1+2）26，故答案为：6；如图 22 所示：由矩形的性质可得：点 A，B 的“相关矩形”的面积|b1|28，|b1|4，b5 或 b3，故答案为：5 或3；（2）过点 A（1，2）作直线 y1 的垂线，垂足为点 G，则 AG3，点 C 在直线 y1 上，点 A，C 的“相关矩形”AGCH 是正方形，正方形 AGCH 的边长为 3，当点 C 在直线 x1 右侧时，如图 31 所示：CG3，则 C（4，1），设直线 AC 的表达式为：ykx+a，则，解得；，直线 AC 的表达式为：yx+3；当点 C 在直线 x1 左侧时，如图 32 所示：CG3，则 C（2，1），设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则，解得：，直线 AC 的表达式为：yx+1，综上所述，直线 AC 的表达式为：yx+3 或 yx+1；（3）点 M 的坐标为（m，2），点 M 在直线 y2 上，DEF 是等边三角形，顶点 F 在 y 轴的正半轴上，点 D 的坐标为（1，0），ODOEDE1，EFDFDE2，OFOD，分两种情况：如图 4 所示：当点 N 在边 EF 上时，若点 N 与 E 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为（3，2）或（1，2）；若点 N 与 F 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为（2+，2）或（2，2）；m 的取值范围为3m2+或 2m1；当点 N 在边 DF 上时，若点 N 与 D 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为（3，2）或（1，2）；若点 N 与 F 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为（2，2）或（2+，2）；m 的取值范围为 2m3 或1m2+；综上所述，m 的取值范围为3m2+或 2m3 20解：（1）如图 1 中，A（2，1），B（2，1），ABx 轴，点 O 到线段 AB 的最小距离为 1，最大距离为，d（O，AB）1（2）如图 2 中，设 C（m，1）当点 C 在 y 轴的左侧时，由题意 AC21,AC3,(2m)2+229,m2或 2+（舍弃），C(2,1),当点 C 在 y 轴的右侧时，同法可得 C(2,1),综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（2，1）或（2，1）故答案为：（2，1）或（2，1）（3）如图 3 中，当 b6 时，线段 EF：yx+6（2x2）上任意一点 D，满足 d（D，AB）2，当 b4 时，线段 EF：yx4（2x2）上任意一点 D，满足 d（D，AB）2，观察图象可知：当 b6 或 b4 时，函数 yx+b（2x2）图象上的任意一点，满足 d（D，AB）2