2021-2022学年上海市曹杨中学高一上学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 10 页 2021-2022 学年上海市曹杨中学高一上学期期中数学试题 一、填空题 19 的平方根是_【答案】3【分析】根据平方根的定义确定结果.【详解】设 9 的平方根为x，则29x，所以3x，即 9 的平方根是3.故答案为：3.2用有理数指数幂的形式表示：32a _【答案】23a【分析】根据分数指数幂的运算直接化简即可.【详解】由分数指数幂的运算知：2323aa.故答案为：23a.3已知集合1,2,5,1,2,3AB，则AB _【答案】1,2【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为集合1,2,5,1,2,3AB，所以AB 1,2.故答案为：1,2 4不等式403xx的解集为_【答案】(3,4)【分析】转化为340 xx求解即可.【详解】解：因为403403xxxx，解得34x，所以，不等式403xx的解集为(3,4)故答案为：(3,4)5若关于x的多项式方程2223axbxcxx恒成立，则实数b _【答案】2【分析】根据题意结合二次函数和一次函数分析运算.第 2 页 共 10 页【详解】2223axbxcxx，则21230axbxc恒为 0，当10a，即1a 时，则二次函数2123yaxbxc不恒为 0，不合题意，舍去；当10a，即1a 时，则230bxc恒为 0，当20b，即2b 时，则一次函数23ybxc不恒为 0，不合题意，舍去；当20b，即2b 时，则30c，解得3c；综上所述：1,2,3abc.故答案为：2.6已知,Rx y，命题“若21xyxy，则11xy”是_命题.（填“真”或“假”）【答案】假【分析】用特殊值法验证即可得出该命题为假命题.【详解】已知,Rx y，当1,42xy时，满足21xyxy，但此时不满足11xy，故命题“若21xyxy，则11xy”是假命题.故答案为：假.7已知:12,:xxm,若是的充分条件,则实数m的取值范围为_【答案】3m【分析】先解出条件所表示的不等式,再根据充分条件性质可得条件所表示的集合是条件所表示集合的子集,即可得出结果.【详解】解:由题知:1,3,:xxm,若是的充分条件,则 13xxx xm,故3m.故答案为:3m 8 已知关于x的不等式20axbxc的解集为|32xx ，求关于x的不等式20cxbxa的解集为_【答案】1 1,3 2 第 3 页 共 10 页【分析】根据不等式解集得到5,6ba ca且a0，代入得到(21)(31)0 xx，解得答案.【详解】由题意得0,(3)(2),(3)(2)bcaaa ，所以5,6ba ca，故20cxbxa，即2650axaxa，(21)(31)0 xx，故解集为1 1,3 2.故答案为：1 1,3 2 9关于x的不等式220kxkxk的解集为R，则实数k的取值范围为_【答案】0,)【分析】按0k 和0k 分类讨论，0k 时结合二次函数性质求解【详解】当0k 时，满足题意；当0k 时，204(2)0kkk k，解得0k，所以实数k的取值范围为0,).故答案为：0,).10已知正数,x y满足1xy，若不等式12mxy对任意正数,x y恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】(,32 2)【分析】变换1212()xyxyxy，展开利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】由题意得12122()332 2yxxyxyxyxy，当且仅当2yx，即21x，22y 时取等号，所以实数m的取值范围为(,32 2).故答案为：(,32 2)11已知222ab，则ab的取值范围是_.【答案】2 2,【解析】解法一：考虑到已知条件的形式，利用三角换元方法，使用辅助角公式化简后，根据三角函数的值域求得ab的取值范围;解法二：利用拓展到实数范围内的基本不等式222abab(,a bR ab时取等号)得到2222 abab,进而求得ab的取值范围.第 4 页 共 10 页【详解】解法一：令2cos,2sina b，则2cos2sin2sin2,24ab.故答案为：2 2,.解法二：222abab,2222 abab又222ab，2ab4，2,2ab2ab,当1ab 时2ab,当1ab时2ab,ab 的取值范围是2 2,，故答案为：2 2,.【点睛】本题考查已知两数平方和为定值求这两数和的取值问题，有多种方法可以处理，可以采用三角换元法，也可以采用基本不等式（拓展的实数范围内的基本不等式）法.方法一中，已知222abr时可做三角换元cos,sinarbr，方法二中，2222 abab是在实数范围内恒成立的一个不等式，常用来研究平方和与和的关系.12 已知关于x的方程22430 xaxa的两个根为1x、2x，且在区间12,x x内恰好有两个正整数，则实数a的取值范围是_.【答案】8 13,79【分析】设 2243f xxaxa，对称轴为xa，先通过0(0)00fa 大概确定a的范围，进而可确定对称轴的位置，再通过(1)0(2)0(3)0413fffa可得实数a的取值范围.【详解】解：设 2243f xxaxa，对称轴为xa，由已知有：0(0)00fa，则413a，则 yf（x）的对称轴方程为：xa4(1,3，由在区间12,x x上恰好有两个正整数，第 5 页 共 10 页 则(1)0(2)0(3)0413fffa，解得：87139a，即实数 a 的取值范围是87139a，故答案为：8 13,79.二、单选题 13下列式子的值为32a的是（）A32a B3a C321a D31a【答案】D【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.【详解】2323aa，332aa，23321aa，3231aa，故选:D.14如果22ab，那么下列不等式中成立的是（）A0ab B0ab C|ab Dab【答案】C【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.【详解】因为22ab，故由不等式的性质得ab，故 C 选项正确；对于 A 选项，当2,1ab时满足22ab，但0ab不成立，故 A 选项错误；对于 B 选项，由于2232，但320 ，故 B 选项错误；对于 D 选项，由于2232，但32 ，故 D 选项错误.故选：C.15下列不等式中等号可以取到的是（）A221525xx B221222xx C2212xx D1|32|3xx 【答案】C 第 6 页 共 10 页【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.【详解】解：对于 A，因为250 x，所以222211525255xxxx，当且仅当22155xx，即24x ，故等号不成立，故 A 不符合；对于 B，因为220 x，所以222211222222xxxx，当且仅当22122xx，即21x ，故等号不成立，故 B 不符合；对于 C，因为20 x，所以22221122xxxx，当且仅当221xx，即1x 时取等号，故 C 符合；对于 D，因为30 x，所以11323233xxxx，当且仅当133xx，即2x ，故等号不成立，故 D 不符合.故选：C.16已知一个有四个数字元素的集合S，S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S的元素之和等于（）A2021 B2022 C2023 D2024【答案】D【分析】设,Sa b c d，列举出S所有的子集，可知所有子集的元素和为8888abcd，由此可求得 abcd的值.【详解】设,Sa b c d，则S的所有子集为：，a，b，c，d，,a b，,a c，,a d，,b c，,b d，,c d，,a b c，,a b d，,a c d，,b c d，,a b c d，共16个；则S的所有子集的元素和的总和为888816192abcd，S的元素之和为1619220248abcd.故选：D.三、解答题 17设集合2=|60,|43Px xxQx axa.(1)若PQQ，求实数a的取值范围；(2)若PQ，求实数a的取值范围.【答案】(1)02a 第 7 页 共 10 页(2)7a 或5a 【分析】（1）首先求集合P，再根据PQ，列式求实数a的取值范围；（2）根据PQ，比较端点值，列式求实数a的取值范围.【详解】（1）260 xx，得23x，所以=2,3,|43PQx axa，若PQQ，则PQ，所以4233aa，所以02a；（2）若PQ，则43a或32a ，所以7a 或5a.18设全集为R，集合2|11xAxx(1)用区间表示补集A；(2)若集合|2|1|3Bxxx，求AB【答案】(1)(,1)1,)(2)2,1 【分析】（1）根据不等式的解法先求出集合A，再用区间表示，进而求出补集A即可；（2）先求出集合B，再根据并集的运算法则即可求出AB【详解】（1）由211011xxxx，故 1,1)A ，则(,1)1,)A；（2）由|2|1|3 2,1Bxxx，结合上一问有 1,1)A ，所以=2,1ABB 19某玩具所需成本费用为p元，且p关于玩具数量x（套）的关系为：211000510pxx，而每套售出的价格为q元，其中,xq xaa bbR（1）问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？（2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a、b的值（利润销售收入成本）【答案】（1）玩具厂生产100套时，平均成本最少；（2）25a，30b.【分析】（1）建立函数的解析式，利用基本不等式可求得函数的最值；（2）根据利润销售收入成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的基本性质建立条件关系，即可求出a、b的值.【详解】（1）由题意，每套玩具所需成本费用为第 8 页 共 10 页 21100051000100010525251010 xxpxxxxxx，当且仅当100010 xx时，即当100 x 时，每套玩具所需成本费用最少为25元；（2）利润 2211110005510001010 xyxq xpx axxxaxbb，若生产的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，则51501121015030abab ，解得25a，30b.【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，同时也考查了利用基本不等式和二次函数求最值，考查计算能力，属于中等题.20已知1x，2x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根(1)若两根异号，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，12123(2)(2)2xxxx 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由(3)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值【答案】(1)1,0(2)不存在，理由见解析(3)k的值为2或3或5 【分析】（1）结合韦达定理，即可求解；（2）利用反证法先假设存在实数k，使得12123222xxxx 成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95k，因此原假设不成立，故不存在；（3）根据题意22212121221121244224411xxxxxxkxxx xx xkk，可得1k 能被4整除，即可求出k的值.【详解】（1）由题意得12210444 410kx xkkkk ，即10k，所以实数k的取值范围为1,0.第 9 页 共 10 页（2）不存在，理由如下：因为1x，2x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根，所以2044 410kkkk ，所以0k，由根与系数的关系得121xx+，1214kx xk，所以21212121213(2)(2)2()92942kxxxxxxx xk ，解得95k，而0k，故不存在实数k使得12123(2)(2)2xxxx 成立（3）由根与系数的关系得212122112()4241xxxxxxx xk，因为41k的值为整数，而k为整数，所以1k 只能取1、2、4，又0k，所以整数k的值为2或3或5 21若对一个数集,0PP，若任取P中的两个非零元素，他们加、减、乘、除后的结果都仍属于P，则称数集P为数域，如有理数集Q为有理数域，实数集R为实数域.(1)判断整数集Z是否为数域，并说明理由；(2)判断数集|2,Q,QMx xab ab是否为数域，并说明理由；(3)若,A B为任意两个数域，判断,AB AB是否为数域，并说明理由.【答案】(1)不是，理由见解析；(2)是，理由见解析；(3)AB 是，AB 不是，理由见解析.【分析】（1）分析 Z 中两个非零元素的加减乘除是否属于 Z；（2）在 M中，任取两个非零元素，分析其加减乘除是否属于 M；（3）根据交集和并集的定义，先推理AB，再推理AB.【详解】（1）在 Z中取 1，2 两个元素，则1 20.5Z，所以不是；（2）在 M中取1111 12222 220,20 xab abxaba b，并且12xx，则有 1212122xxaabbM，121 22 1121 222x xaba ba abbM，第 10 页 共 10 页 1112 11 2121 222222222222222222xaba baba abbMxababab，所以 M 是数域；（3）对于AB，若存在两个元素aA bA,，并且,aB bB，则,aAB bAB，由数域的定义可知,abA abBabAB ，,abA abBabAB，,bbbABABaaa，所以AB 是数域；对于AB，不妨假设|2,Q,Q,|3,Q,QAx xab abBx xab ab，在 A 中取12xab，在 B 中23xab，0a ，则12,xAB xAB，12121223,xxaA xxBxxAB，所以AB 不是数域.综上，（1）Z不是数域；（2 ）M是数域；（3）AB 是数域，AB 不是数域.