2023届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期线上统练摸底考试数学试题(解析版).pdf

塘沽一中 2023 届高三线上统练摸底考试 数 学 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合0,1,2,3,4,5U，2,4,5A，0,2,4B，则UAB（）A2,4 B2,5 C5 D0,2,4,5 2已知xR，“320 xx”是“13x”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差 4已知函数|1()ln|xf xxx，其图象大致为（）A B C D 5已知32a，ln2b，0.32c，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bcba Cbca Dcab 6已知抛物线21:80Cyax a，直线l倾斜角是45且过抛物线1C的焦点，直线l被抛物线1C截得的线段长是16，双曲线22222:1xyCab的一个焦点在抛物线1C的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线2C的一条渐近线的距离是 A2 B3 C2 D1 7以 ABC 为底的两个正三棱锥PABC 和QABC 内接于同一个球，并且正三棱锥PABC 的侧面与底面 ABC 所成的角为45，记正三棱锥PABC 和正三棱锥QABC 的体积分别为1V和2V，则12VV=（）A12 B13 C14 D15 8已知正实数 x，y，z 满足236xyz，则不正确的是（）A111xyz B236xyz C236xyz D24xyz 9设函数 fx=sin（5x）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是12 295 10，)其中所有正确结论的编号是 A B C D 第卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共 11 小题，共 105 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3分，全部答对的给 5 分.10已知复数1 3i1 i12iz，则z _.11若2nxx的展开式的二项式系数和为 32，则展开式中3x的系数为_.12设20ab，那么412ab ab 的最小值是_.13 已知A袋内有大小相同的 1 个红球和 3 个白球，B袋内有大小相同的 2 个红球和 4 个白球.现从AB两个袋内各任取 2 个球，则恰好有 1 个红球的概率为_；记取出的 4 个球中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望为_.14已知函数 2,0ln,0 xxf xx x，2g xx x，则 2f g_，若方程 0f g xg xm的所有实根之和为 4，则实数 m 的取值范围是_.15 如图，在ABC中，ABa，ACb，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且2AEEB.若BPxayb，则xy_；若3AB，4AC，3BAC，则BP ED_.三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知ABC的面积为13 15,2,cos4bcA (1)求a和sinC的值；(2)求cos(2)6A的值 17 如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA平而 ABCD，ACADABBCBCA，602APADAC，E为 CD的中点，M在 AB上，且2AMMB (1)求证：EM平面 PAD；(2)求平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角的余弦值；(3)点 F 是线段 PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线 EF与 AC所成角为 45，求 AF的长.18 已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶 点(0,2)A，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4 5 （1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线交y=-3 交于点 M，N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围 19已知数列 na中，11a，1133nnnan naan n为奇数为偶数.（1）求证：数列232na是等比数列.（2）记nS是数列 na的前n项和：求2nS；求满足0nS 的所有正整数n.20已知函数1()(1)lnf xaxaxx，Ra.(1)若0a，求 yf x的单调区间.(2)若1a，且 1f x 在区间1,ee上恒成立，求 a 的范围；(3)若1ea，判断函数 1g xx f xa的零点的个数.1页 1C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为0,1,2,3,4,5U，2,4,5A，0,2,4B，所以U1,3,5B，所以U5AB，故选：C 2D【分析】分别解不等式320 xx和13x，求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，可得答案.【详解】解不等式320 xx，即(2)(2)0 x xx 得(2,0)(2,)x ；解不等式13x，即+13x 或13x ，解得(,4)(2,)x ，由于(2,0)(2,)x 推不出(,4)(2,)x ，(,4)(2,)x 也推不出(2,0)(2,)x，故“320 xx”是“13x”的既不充分也不必要条件，故选：D 3A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案【详解】设 9 位评委评分按从小到大排列为123489xxxxxx 则原始中位数为5x，去掉最低分1x，最高分9x，后剩余2348xxxx，2页 中位数仍为5x，A 正确 原始平均数1234891()9xxxxxxx，后来平均数234817xxxxx（）平均数受极端值影响较大，x与x不一定相同，B 不正确 222219119Sxxxxxx 222223817sxxxxxx 由易知，C 不正确 原极差91=x-x，后来极差82=x-x可能相等可能变小，D 不正确【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4A【分析】利用排除法，首先根据解析式判断函数的对称性，再确定01x时()f x的符号，即可确定函数图象.【详解】由|1|1()ln|ln|()xxfxxxf xxx，知：()f x关于原点对称，排除 B、D；当01x时，()0f x，排除 C.故选：A 5B【分析】首先根据指数对数互化公式以及换底公式求出a，然后再利用中介值“1”即可比较a，b，c的大小.【详解】由32a可得，3ln2log 2ln3a，因为ln31ln20，所以ln2ln21ln3，又因为0.30221c，所以cba.故选：B.6D【详解】3页 抛物线的焦点为(2,0)a,由弦长计算公式有2081616,1sin 45aaa,所以抛物线的标线方程为28yx,准线方程为2x ,故双曲线的一个焦点坐标为(2,0),即4c ,所以224 13bca ,渐近线方程为3yx,直线l 方程为2yx,所以点(0,2)P,点 P 到双曲线的一条渐近线的距离为-213 1,选 D.点睛:本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质,属于中档题.先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出a的值,根据双曲线中,a b c的关系求出b,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点 P 到双曲线的一条渐近线的距离.7C【分析】由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三棱锥高的关系得答案【详解】如图，正三棱锥PABC和正三棱锥QABC内接于同一个球，设P到底面ABC的距离为1h，Q到底面ABC的距离为2h，则1122VhVh，取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，记PQ与平面ABC的交点为R，由两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，故PQ一定为球O的直径，记其中点为O即为球心，且由题意可知，R为正三角形ABC的中心，因此，PR，QR分别为正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的高1h，2h，由PAPB，QAQB，CACB，且M为AB的中点，可得PMAB，QMAB，CMAB，则PMR为正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为45，4页 1MRPRh，122RCMRh，记球的半径为r，于是1ORrh，在Rt ORC中，由勾股定理可得，22222211()4OCrORRCrhh，解得152rh，于是11112254QRPQPRrhhhhh，则1214hh,112214VhVh 故选：C 8B【分析】首先把指数式化成对数式，表示出xyz，.选项 A，取倒数再根据换底公式可以判断 A；选项 B，根据换底公式转化为比较36236，的大小关系；选项 C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项 D，把xy利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果.【详解】设236xyzt，1t，则2logxt，3logyt，6logzt.选项 A，1log 2tx，1log 3ty，1log 6tz，则111log 2log 3log 6tttxyz，故 A 正确；选项 B，2222loglogxtt，33333loglogytt，66666loglogztt，下面比较36236，的大小关系，因为 628，6339，6666，所以 66663623，即63623，又1t，所以3632636lglglgloglogloglg3lg2lg6tttttt，即326yxz，故 B 不正确；选项 C，241loglog22xtt，3271loglog33ytt，6661loglog66ztt，因为64276，又1t，所以642766lglglgloglogloglg4lg27lg6tttttt，即236xyz，故 C 正确；选项 D，223lglglglogloglg2lg3lg2 lg3tttttxy，因为22lg6lg2lg3lg2 lg324，所以224 lglg6txy，又2622244 lgloglg64tzt，所以24xyz，故 D 正确；故选：B.5页【点睛】指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法：（1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较；（2）比较与 0，1 的关系，也可以找中间值比较大小；（3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小；（4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较；（5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小；（6）构造函数，利用函数的单调性比较大小.9D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265，结合正弦函数的图像分析得出答案【详解】当0,2 x时，,2555x，f（x）在0,2 有且仅有 5 个零点，5265，1229510，故正确，由5265，知,2555x时，令59,5222x时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是 2 个也可能是 3 个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当0,10 x时，(2),5510 x，若 f（x）在0,10单调递增，则(2)102，即3，1229510，故正确 故选 D【点睛】极小值点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角 6页 函数问题，属于中档题 102【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数求模公式计算得答案【详解】解：1 3i 1 i42i 1 2i42i10i2i1 2i1 2i1 2i 1 2i5z，则2zz.故答案为：2.1110【解析】根据二项式系数和求得n，根据二项式展开式的通项公式求得3x的系数.【详解】依题意2nxx的展开式的二项式系数和为32，所以232n，即5n.二项式52xx展开式的通项公式为5152rrrCxx 5 252rrrCx.令523,1rr，所以3x的系数为 115210C.故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题.1216【分析】利用均值不等式求(2)b ab的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答.【详解】因20ab，则221122(2)2(2)()2228babab abb ab，当且仅当22bab，即14ba时取“=”，因此，442222211118()8 21628aaaaab abaa，当且仅当221aa，即1a 时取“=”，所以，当11,4ab时，412ab ab取最小值 16.7页 故答案为：16 13 715 76【分析】利用古典概型公式得解【详解】从AB两个袋内各任取 2 个球，有2246CC种，恰好有 1 个红球有112211134324+CCCCCC 从AB两个袋内各任取 2 个球，则恰好有 1 个红球的概率为1122111343242246+7=15CCCCCCCC 取出的 4 个球中红球的个数为随机变量X，则X可能取值为0,1,2,3 223422461(0)=5CCP XCC;7(1)=15P X;1111221324322246+3(2)=10CCCCCCP XCC;11213222461(3)=30CCCP XCC;17317()012351510306E X 故答案为：715，76【点睛】熟练掌握超几何分布是解题关键.14 1 1m【分析】（1）先求得 2g的值再利用分段函数解析式即可求得 2f g的值；（2）按实数 m分类讨论利用函数图像的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数 m的取值范围【详解】20g，则 02021f gf 令 txg，则 0f ttm 的实根个数即 函数()yf x与函数ymx图像交点个数 当1m时，函数()yf x与函数ymx图像有 1 个交点，且交点横坐标大于 1，即 1g xt，函数 yg x与函数1yt t有 2 个交点，则方程 0f g xg xm有两根，且两根和为 2，不符合题意；8页 当1m 时，函数()yf x与函数ymx图像有 2 个交点，120,1tt 即 0g x 或 1g x，则10 x 或21x 或32x，则方程 0f g xg xm有 3 个根，且 3 根和为 3，不符合题意；当1m时，函数()yf x与函数ymx图像有 2 个交点，340,01tt 即 30g xt或 4g xt，401t 函数 yg x与函数330ytt无交点，不符合题意；函数 yg x与函数4401ytt有 4 个交点，且 4 个交点横坐标之和为 4，则方程 0f g xg xm有 4 个根，且 4 根和为 4，符合题意 综上，实数 m 的取值范围是1m 故答案为：1；1m 15 13 43【分析】利用平面向量基本定理求解出2133BPab 及1162EDab，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.【详解】连接 DF，9页 因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是ABC的中位线，所以12DFPDABAP，则2212133233BPBAAPABADABABACab ，所以21,33xy，所以13xy；21113262EDEAADABABACab ，故222111171781cos336291861833BP EDababaa bbab 718413 418233 故答案为：13，43 16（1）8a，15sin8C（2）157 316【分析】（1）由面积公式可得24,bc 结合2,bc可求得解得6,4.bc再由余弦定理求得 a=8.最后由正弦定理求 sinC 的值;（2）直接展开求值.【详解】（1）ABC 中,由1cos,4A 得15sin,4A 由1sin3 152bcA,得24,bc 又由2,bc解得6,4.bc由2222cosabcbcA,可得 a=8.由sinsinacAC,得15sin8C.（2）23cos 2cos2 cossin2 sin2cos1sincos6662AAAAAA,157 316【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.17(1)证明见解析(2)217 10页(3)2 【分析】(1)通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；(2)分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；(3)根据已知条件求出点F的坐标，再计算长度即可.【详解】（1）由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，则3 33(0,0,0),(0,2,0),(,0),(,1,0),223ACBM(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)PED.(1)3(1,0,0),(0,2,0),3EMAC 则0EM AC，所以ACEM，又ACAD，所以/EMAD，又EM 平面 PAD，AD 平面 PAD,所以 EM平面 PAD.（2）3 3(0,2,2),(,2)22PCPB.设平面PBC的法向量为(,)nx y z，则有22003302022yzPC nPB nxyz，可取3,1,1)3(n，11页 由题意，平面PAD的一个法向量可取(0,1,0)m，设平面 PAD与平面 PBC 所成锐二面角为，则121cos|cos,|7111 13m n ，所以平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角的余弦值为217.（3）设000(,)F xyz，PFPD(01)，即000(,2)(2,0,2)xyz，可得(2,0,22)F，所以(21,1,22)EF,又(0,2,0)AC，由题意有22222|cos,|22(21)(1)(22)EF AC ,解得12或1（舍）所以(1,0,1)F，所以222|(1 0)(00)(1 0)2AF 18（1）22154xy；（2）3,1)(1,3【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设1122,B x yC x y，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PMPN，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PMPN，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过0,2A，故2b，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5，故1224 52ab，即5a，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）12页 设1122,B x yC x y，因为直线BC的斜率存在，故120 x x，故直线112:2yAB yxx，令=3y，则112Mxxy，同理222Nxxy.直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx，故22900100 450kk，解得1k 或1k.又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x，所以0MNx x 又1212=22MNxxPMPNxxyy 2212121222212121222503024545=5253011114545kkkx xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk 故515k 即3k，综上，31k 或13k.19（1）证明见详解；（2）2213123nnSn；满足0nS 的所有正整数有1和2.【解析】（1）设232nnba，推导出113nnbb，由此能证明数列232na是等比数列；（2）推导出12311263nna 1123n，由2211213nnaan，得21233 21nnaan 13页 111156232nn，1212111233nnnnaa 1692693nnn ，从而 21234212nnnSaaaaaa；：由的求和式子由此能求出满足 Sn0 的所有正整数 n 的值【详解】（1）设232nnba，因为2122122133213223322nnnnnnanabbaa 22136213232nnanna 2211132332nnaa，所以数列232na是以232a 即16为首项，以13为公比的等比数列.（2）由（1）得12311263nnnba 1123n，即2113232nna，由2211213nnaan，得21233 21nnaan 111156232nn，所以1212111233nnnnaa 1692693nnn ，21234212nnnSaaaaaa 21112333n 6 1 29nn 111332113n 1692n nn 211 363nnn 213123nn，显然当*nN时，2nS单调递减，14页 又当1n 时，2703S，当2n 时，4809S ，所以当2n时，20nS；2122nnnSSa 231536232nnn，同理，当且仅当1n 时，210nS，综上，满足0nS 的所有正整数n为1和2.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前 n 项和的正整数的最大值的求法，解题的关键是根据等比数列的通项公式得出2211213nnaan，21233 21nnaan 111156232nn，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想 20(1)f x的单调减区间为0,1，f x的单调增区间为1,.(2)2,(3)1ea时，g x的零点个数为 1 【分析】对于（1），求导即可得单调区间；对于（2），1f x 在区间1,ee上恒成立等价于 f x在1,ee上的最小值大于 1；对于（3），判断出 g x单调性，后由零点存在性定理可得答案.【详解】（1）当0a 时，1lnfxxx，0,x.则 22111xfxxxx，由0fx，得01x；由 0fx，得1x.故 f x的单调递增区间为0,1，f x的单调递减区间为1,.（2）1f x 在区间1,ee上恒成立，则 f x在1,ee上的最小值大于 1 2222111111axxaxaxaafxaxxxx，15页 当1a 时，2210 xfxx，得 f x在1,ee上单调递增，故 12min1eeefxf，又e2.7，则1122 7202 7e.e.，即1a 不合题意.当1a 时，11a，由0fx，得10 xa或1x；由 0fx，得11xa.故 f x在101,，,a上单调递增，在1,1a上单调递减.i 当11ea，即ea 时，111minfxfa.ii 当11ea，即ea 时，1min1min,efxff，由题有 1111e11eefaafa 22ee 1aa，又222213221 723201111eeee.eeee，则2ea.综上 a 的范围为2,（3）由题 2111lng xaxaxxax，0,x.则 21 lngxaxax，设 21 lnm xaxax，则 1212aaxamxaxx，当 0m x，得12axa；当 0m x，得102axa，故 m xgx在102,aa上单调递减，在12,aa上单调递增.则 111122lnaagxgaaa，又1ea，则111122222eeaaa，故11102lnaaa.16页 则 g x在0,上单调递增.注意到521035211162ln1eeeagaaaa，设 326elnh aaa，则 32ehaa，由 0h a，得320ea；由 0h a，得32ea.则 h a在320,e上单调递减，在32,e上单调递增.则 322220lneh ah，得 0h a 恒成立 3326261lnelneaaaa，又11eeaa，则5210352721111162ln11eeeeeaagaaaaa 72272111111110eeeeeea，又 120ga，故5211,exa，使 0g x，即1ea时，g x有唯一零点.【点睛】关键点点睛：本题涉及恒成立问题及求含参函数零点个数，难度较大.（1）问较为基础，（2）问难点在于ea 时，不清楚 1f与1ef大小，采用 1111e11eefaafa 可避免讨论，（3）问难点在于零点所在区间的寻找.