2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用综合解答题》专题训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用综合解答题 专题训练（附答案）1如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB 是 A 到 l 的小路，现新修一条路 AD 到公路 l，小明测量出ADC30，ABC45，BD40m请你帮他计算出他家到公路 l 的距离 AC 的长度（结果保留根号）2如图，一个书架上放着 8 个完全一样的长方体档案盒，其中左边 7 个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点 D 在书架底部，顶点 F 靠在书架右侧，顶点 C 靠在档案盒上，若书架内侧 BG 的长为 60cm，DFG53，ED 长度约为 21cm 求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒（点 A、点 B、点 C、点 D、点 E、点 F、点 G 在同一平面内参考数据：sin530.80，cos530.60，tan530.75）3如图，点 A 是一个半径为 600m 的圆形森林的中心，在森林公园附近有 B，C 两村庄，现要在 B，C 两村庄之间修一条长为 2000m 的笔直公路将两村连通，现测得ABC45，ACB30问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明 4为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目滚铁环器材由铁环和推杆组成小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O 与水平地面相切于点 C，推杆 AB 与铅垂线 AD 的夹角为BAD，点 O，A，B，C，D 在同一平面内当推杆 AB 与铁环O 相切于点 B 时，手上的力量通过切点 B 传递到铁环上，会有较好的启动效果 （1）求证：BOC+BAD90（2）实践中发现，切点 B 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B 是该区域内最低位置，此时点 A 距地面的距离 AD 最小，测得 AD 的长为 50cm，铁环O 的半径为 25cm，推杆 AB 的长为 75cm，求 tanBAD 5如图 1，图 2 分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形 BCLK 的高 BK19cm，宽 BC40cm，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB76，支架 AF 的长为 240cm，篮板顶端 F 到篮筐 D 的距离 FD90cm（FE 与地面 LK 垂直，支架 AK 与地面 LK 垂直，支架 HE 与 FE 垂直），篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE66，求篮筐 D到地面的距离（精确到 1cm）（参考数据：sin66，cos66，tan66，sin760.96，cos760.24，tan764.0）6如图，是小明家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个长度可以伸缩变化的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 MA，如果梯子的底端 P 不动，顶端靠在对面墙上时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 NB，且此时 PNPM（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对而墙上，顶端刚好落在对面墙角 B 处，若AMP30，MP2 米，则甲房间的宽度 AB 米（2）当他在乙房间时，测得 NB1 米，梯子长度 MP2.6 米，且MPN90，求乙房间的宽 AB（3）当他在丙房间时，测得 MA2.9 米，且MPA75，NPB45 求MPN 的度数；求丙房间的宽 AB 7如图，为了测量河对岸两点 A、B 之间的距离，在河岸这边取点 C、D测得 CD100米，ACD90，BCD45，ADC1917，BDC5619设 A、B、C、D 在同一平面内（1）求 AC 的长；（2）求 A、B 两点之间的距离（参考数据：tan19170.35，tan56191.50）8点 C 处有一灯塔，CD 与直线 L 垂直，一轮船从点 B 出发驶到点 A，（A、B、D 三点都在直线 L 上），测量得到 CD 为 30 千米，CAD30，CBD45（1）求 AB 的长（结果保留根号）；（2）轮船从 B 点出发时，另一快艇同时从 C 点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在 M 点与轮船相遇，已知快艇行驶了 50 千米，问轮船相遇后能否在 1.3 小时之内到达点A（参考数据：1.73，1.41）9如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ 分别表示地面和墙壁的位置，OM 表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB 是两段式栏杆，其中 OA 段可绕点 O 旋转，AB 段可绕点 A 旋转图 1 表示栏杆处于关闭状态，此时 O、A、B 在与地面平行的一直线上，并且点 B 接触到墙壁；图 2 表示栏杆处于打开状态，此时 ABMQ，OA 段与竖直方向夹角为30 已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，OM120cm，OA120cm，AB150cm（1）求栏杆打开时，点 A 到地面的距离；（2）为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留 10cm 的安全距离，问一辆最宽处为 2.1m，最高处为 2.1m 的货车能否安全通过该入口？（本小题中取 1.73）10图 1 是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图 2 是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂）已知基座高度 MN 为 0.5 米，主臂MP 长为 3米，主臂伸展角 的范围是：060，伸展臂伸展角 的范围是：45135 （1）如图3，当45时，伸展臂PQ恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ长为 米；（2）若（1）中 PQ 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点 N 水平正前方多少米的土石（结果保留根号）11图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB115mm，支撑板长 CD70mm，且 CB35mm，托板 AB 可绕点 C 转动，且CDE60（1）求点 C 到直线 DE 的距离（计算结果保留根号）；（2）若DCB70时，求点 A 到直线 DE 的距离（计算结果精确到个位）；（3）为了观看舒适，把（1）中DCB70调整为 90，再将 CD 绕点 D 逆时针旋转，使点 B 落在 DE 上，则 CD 旋转的度数为 （直接写出结果）（参考数据：sin500.8，cos500.6，tan501.2，sin26.60.4，cos26.60.9，tan26.60.5，1.7）12小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2m 高的 B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住她若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离 BD、CE 分别为 1.8m 和 2.4m，BOC90（1）CEO 与ODB 全等吗？请说明理由（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置 A 处与距地面的高是 m 13投影仪，又称投影机，是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备如图是屏幕投影仪投屏情景图，如图是其侧面示意图，已知支撑杆 AD 与地面 FC 垂直，且 AD 的长为 12cm，脚杆 CD 的长为 50cm，AD 距墙面 EF 的水平距离为 240cm，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角EAD120，脚杆 CD 与地面的夹角DCB42，求光源投屏最高点与地面间的距离 EF（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73）14如图 1 是伸缩式雨棚的实物图，由骨架与伞面两部分组成，可抽象成矩形 ABCD（如图2），其中实线部分表示雨棚的骨架，矩形 ABCD 为雨棚的伞面，CD 固定不动，当横杆AB 自由伸缩时，骨架与伞面也跟着伸缩，当点 D，G，E 在一条直线上时，雨棚伞面面积最大，伸缩过程中伞面 ABCD 始终是矩形若测得 AB5m，DGCH2.5m，GEHFm，AEBF0.5m （1）当DGE90时，雨棚伞面的面积等于 m2；（2）当 cosCDG时，雨棚伞面的面积等于 m2 15如图 1 是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是 30cm，高为42.9cm 它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆 小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径 AB、CD 以及、组成的轴对称图形，直线 l 为对称轴，点M、N 分别是、的中点，如图 2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角AEC66，发现并证明了点 E 在 MN 上请你继续完成 MN 长的计算 参考数据：sin66，cos66，tan66，sin33，cos33，tan33 16“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 AB，用绳子拉直 AD 后系在树干 EF 上的点 E 处，使得 A，D，E 在一条直线上，通过调节点 E 的高度可控制“天幕”的开合，ACAD2m，BF3m（1）天晴时打开“天幕”，若65，求遮阳宽度 CD（结果精确到 0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，从65减少到45，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：sin650.90，cos650.42，tan652.14，1.41）17如图 1 的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面 145m，最低点距地面 55m如图 2 是该风力发电机的示意图，发电机的塔身 OD 垂直于水平地面 MN（点 O，A，B，C，D，M，N 在同一平面内）（1）求风轮叶片 OA 的长度；（2）如图 2，点 A 在 OD 右侧，且 14.4 求此时风叶 OB 的端点 B 距地面的高度（参考数据：sin44.40.70，tan44.40.98）18如（图 1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，MB 是攀爬梯，AC 是支撑梯在攀爬梯 MB 上焊接了 5 块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面 BC，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为 25cm，最上面一层踏板 DE 正好可以连接两边的梯子 MB 与 AC已知 ABAC，DE16cm，ADAM40cm（1）求这架人字梯的张角BAC 的大小；（2）求人字梯的最高点 M 到水平地面 BC 的距离（结果精确到 0.1cm）（参考数据：sin11.50.20，cos11.50.98，cos78.50.20，tan11.50.20）19 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC80cm，BC60cm，AB，DO 均与地面平行，支架 AC 与 BC 之间的夹角ACB90 （1）求两轮轮轴 A，B 之间的距离；（2）若 OF 的长度为 60cm，FOD120，求点 F 到 AB 所在直线的距离（结果精确到 0.1）（参考数据：1.414，1.732）20知识再现 如图 1，在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c sinA，sinB，c，c 拓展探究 如图 2，在锐角ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c 请探究，之间的关系，并写出探究过程 解决问题 如图 3，为测量点 A 到河对岸点 B 的距离，选取与点 A 在河岸同一侧的点 C，测得 AC60m，A75，C60请用拓展探究中的结论，求点 A 到点 B 的距离 参考答案 1解：由题意得ACD90，BDCDBC40，ADC30，ABC45，即，（1）AC40，AC20（），答：AC 的长度为 AC20（）m 2解：如图，设一个档案盒的宽度 DFxcm，则 DG607x21（397x）cm，在 RtDFG 中，DFG53，sinDFG，DGDFsinDFG 即 397xxsin53，解得 x5，即一个档案盒的宽度为 5cm，该书架中最多能竖放这样的档案盒个数为 60512（个），答：该书架中最多能竖放 12 个这样的档案盒 3解：此公路不会穿过该森林公园理由如下：如图，过 A 作 AHBC 于点 H，则AHBAHC90，ABC45，tanABCtan451，BHAH，ACB30，tanACBtan30，CHAH，BCBH+CH2000m，AH+AH2000m，解得：AH1000（1）m，1000（1）600，此公路不会穿过该森林公园 4（1）证明：方法 1：如图 1，过点 B 作 EFCD，分别交 AD 于点 E，交 OC 于点 F CD 与O 相切于点 C，OCD90 ADCD，ADC90 EFCD，OFBAEB90，BOC+OBF90，ABE+BAD90，AB 为O 的切线，OBA90 OBF+ABE90，OBFBAD，BOC+BAD90；方法 2：如图 2，延长 OB 交 CD 于点 M CD 与O 相切于点 C，OCM90，BOC+BMC90，ADCD，ADC90 AB 为O 的切线，OBA90，ABM90 在四边形 ABMD 中，BAD+BMD180 BMC+BMD180，BMCBAD BOC+BAD90；方法 3：如图 3，过点 B 作 BNAD，NBABAD CD 与O 相切于点 C，OCD90，ADCD，ADC90 ADOC，BNOC，NBOBOC AB 为 OO 的切线，OBA90，NBO+NBA90，BOC+BAD90（2）解：利用（1）中图 1，OCDADCCFE90，四边形 CDEF 为矩形，设 DECFx，则 AE50 x，OF25x，由（1）得OBFBAD，OFBBEA90，OFBBEA，即，BE753x，在 RtABE 中，AB2AE2+BE2，752（50 x）2+（753x）2，整理，得：x255x+2500，解得：x15，x250（不符合题意，舍去），BE60，AE45，tanBAD 5解：延长 FE 交地面 LK 于点 M，过点 A 作 AGFM，垂足为 G，如图：则FML90，AKGM，HEAG，FAGFHE66，在 RtACB 中，ACB76，BC40cm，ABBCtan76404160（cm），BK19cm，GMAKAB+BK179（cm），在 RtAFG 中，AF240cm，FGAFsin66240216（cm），FD90cm，DMFG+GMFD216+17990305（cm），篮筐 D 到地面的距离约为 305cm 6解：（1）在 RtAMP 中，A90，AMP30，MP2 米，APMP1 米，PBMP2 米，甲房间的宽度 ABAP+PB1+23（米）；故答案为：3；（2）MPN90，APM+BPN90，APM+AMP90，AMPBPN 在AMP 与BPN 中，AMPBPN（AAS），APNB1 米，PNMP2.6 米，PB2.4（米），ABAP+PB1+2.43.4（米）；乙房间的宽 AB 是 3.4 米；（3）MPN180APMBPN60；如图，过 N 点作 MA 垂线，垂足点 D，连接 NM 设 ABx，且 ABNDx，梯子的倾斜角BPN 为 45，BNP 为等腰直角三角形，PNM 为等边三角形（180457560，梯子长度相同），MND15 APM75，AMP15 DNMAMP，PNM 为等边三角形，NMPM AMPDNM（AAS），AMDN，ABDNAM2.9 米，即丙房间的宽 AB 是 2.9 米 7解：（1）在 RtACD 中，ADC1917，CD100 米，tanADC，ACtan1917CD0.3510035（米）答：AC 的长约是 35 米；（2）如图，过点 B 作 BECD，垂足为点 E，过点 A 作 AFBE，垂足为点 F ACD90，四边形 ACEF 是矩形 EFAC35 米，AFCE BCD45，BECD，BCE 是等腰直角三角形 设 CEx 米，则 AFBEx 米，ED（100 x）米，在 RtBED 中，tanBDC，BDC5619，tan5619，即1.50，x60，AFBE60 米，BFBEEF603525（米）在 RtABF 中，AB65（米）答：A、B 两点之间的距离约是 65 米 8解：（1）在 RtCDB 中，CDB90，CD30 千米，CBD45，DBDC30 千米，在 RtCDA 中，A30，ADCD30千米，AB（3030）千米；（2）在 RtCDM 中，DM40，BM403010 千米，船相遇后到达点 A 的时间1.19 小时，1.191.3，轮船相遇后能在 1.3 小时之内到达点 A 9解：（1）如图，在 RtOAD 中，OA120cm，OAD30，ADOA60（cm），ACAD+CD（60+120）cm，答：点 A 到地面的距离为（60+120）cm；（2）如图，取 FG 距地面高为 210cm，即 HC210cm，在 RtAFH 中，AH60+120210（6090）cm，FAH30，FHAH（6030）cm，FGFH+GH6030+21027030218.1（cm），218.1210+10，货车不能安全通过该入口，答：货车不能安全通过该入口 10解：（1）过点 M 作 MHPQ，垂足为 Q，则 HQMN0.5 米，在 RtPHM 中，PMH45，PM3米，PHPMsin4533（米），PQPH+HQ3+0.53.5（米），伸展臂 PQ 长为 3.5 米，故答案为：3.5；（2）当QPM135时，过点 Q 作 QAPM，交 MP 的延长线于点 A，连接 QM，APQ180QPM45，在 RtAPQ 中，PQ3.5 米，AQPQsin453.5（米），APPQcos453.5（米），PM3米，AMAP+PM（米），在 RtAQM 中，QM（米），在 RtQMN 中，QN（米），该挖掘机最远能挖掘到距点 N 水平正前方米的土石 11解：（1）如图，过点 C 作 CMDE，垂足为 M，在 RtCDM 中，CD70mm，CDE60，sinCDM，CM35，即：点 C 到直线 DE 的距离为 35mm；（2）如图，过点 A 作 ANDE，垂足为 N，过点 C 作 CPAN，垂足为 P，则 CMPN，DCB70，DCM906030，BCM703040，又CMAN，ABCM40，在 RtACP 中，AC1153580mm，ACP904050，sinACP，即 sin500.8，AP64，ANAP+PN64+35124，答：点 A 到直线 DE 的距离约为 124mm；（3）如图，连接 BD，在 RtBCD 中，BC35mm，CD70mm，tanBDC0.5，BDC26.6，BDECDECDB6026.633.4，故答案为：33.4 12解：（1）OBD 与COE 全等 理由如下：由题意可知CEOBDO90，OBOC，BOC90，COE+BODBOD+OBD90 COEOBD，在COE 和OBD 中，COEOBD（AAS）；（2）COEOBD，CEOD，OEBD，BD、CE 分别为 1.8m 和 2.4m，OD2.4m，OE1.8m，DEODOECEBD2.41.80.6（m），妈妈在距地面 1.2m 高的 B 处，即 DM1.2m，EMDM+DE1.8（m），答：爸爸是在距离地面 1.8m 的地方接住小丽的；（3）OAOB3（m），AMOD+DMOA2.4+1.230.6（m）秋千的起始位置 A 处与距地面的高 0.6m 故答案为：0.6 13解：过点 A 作 AGEF，垂足为 G，过点 D 作 DHEF，垂足为 H，则 ABGF，AGBF240cm，GAB90，在 RtDBC 中，DCB42，CD50cm，DBCDsin42500.6733.5（cm），AD12cm，GFABAD+DB45.5（cm），EAD120，EAGEADGAB30，在 RtEAG 中，EGAGtan3024080（cm），EFEG+GF80+45.5183.9（cm），光源投屏最高点与地面间的距离 EF 约为 183.9cm 14解：（1）连接 DE，如右图 2 所示，DG2.5m，GEm，DGE90，DE（m），DAE90，AE0.5m，AD（m），AB5m，雨棚伞面的面积是：ABAD5210（m2），故答案为：10；（2）过点 G 作 MNAB 交 AB 于点 N，交 DC 于点 M，如图 2 所示，则GMDGNE90，cosCDG，DG2.5m，解得 DM1.5m，MG（m），AE0.5m，ANDM，EN1.50.51（m），GEm，GNE90，GN1（m），MNMG+GN2+13（m），AB5m，当 cosCDG时，雨棚伞面的面积是 ABMN5315（m2），故答案为：15 15解：连接 AC，交 MN 于点 H，设直线 l 交 MN 于点 Q，M 是的中点，点 E 在 MN 上，AEMCEMAEC33，在AEC 中，EAEC，AEHCEH，EHAC，AHCH，直线 l 是对称轴，ABl，CDl，MNl，ABCDMN，ACAB，AC42.9cm，AHCHcm，在 RtAEH 中，sinAEH，即，则 AE39，tanAEH，即，则 EH33，MH6cm，该图形为轴对称图形，MQMH+HQ6+1521（cm），MN42（cm），即 MN 的长为 42cm 16解：（1）由对称知，CD2OD，ADAC2m，AOD90，在 RtAOD 中，OAD65，sin，ODADsin2sin6520.901.80m，CD2OD3.6m，答：遮阳宽度 CD 约为 3.6 米；（2）如图，过点 E 作 EHAB 于 H，BHE90，ABBF，EFBF，ABFEFB90，ABFEFBBHE90，EHBF3m，在 RtAHE 中，tana，AH，当65时，AH1.40m，当45时，AH3，当 从 65减少到 45时，点 E 下降的高度约为 31.401.6m 17解：如图，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作圆，延长 DO 交O 于点 P，设直线 DO 与O 交于点 Q，由题意得：PD145m，DQ55m，PQPDDQ1455590（m），OAOPPQ45（m），风轮叶片 OA 的长度为 45m；（2）如图，过点 B 作 BEMN，垂足为 E，过点 O 作 OFBE，垂足为 F，则四边形 ODEF 是矩形，DOF90，EFOD，由题意得：AOB120，AOD14.4，BOFAOB+AODDOF44.4，BFOBsin44.4450.7031.5（m），ODPDOP14545100（m），EFOD100m，BEBF+EF131.5（m），此时风叶 OB 的端点 B 距地面的高度为 131.5m 18解：（1）如图，过点 A 作 AFDE 于点 F，由题意可得，ADAE，DFEFDE8cm，DAFDAE，在 RtADF 中，sinDAF0.2 DAF11.5，BAC23；（2）在 RtADF 中，cosDAF0.98，AF0.98AD39.2cm，ADAM40cm，点 M 到 DE 的距离为 2AF78.4cm，相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为 25cm，人字梯的最高点 M 到水平地面 BC 的距离为 78.4+525203.4（cm）答：人字梯的最高点 M 到水平地面 BC 的距离为 203.4cm 19解：（1）支架 AC 与 BC 之间的夹角（ACB）为 90，AB100（cm），即两轮轮轴 A，B 之间的距离为 100cm；（2）过 C 点作 CHAB 于 H，过 F 点作 FGDO 延长线与 G，则扶手 F 到 AB 所在直线的距离为 FG+CH，OF 的长度为 60cm，FOD120，FOG18012060，G90，F30，OGOF30，FG30，由（1）知 AB100，AC80，BC60，SABCACBCABCH，即100CH6080，解得 CH48，FG+CH48+3048+301.732100.0cm，即扶手 F 到 AB 所在直线的距离为 100.0cm 20解：拓展探究 如图，作 CDAB 于点 D，AEBC 于点 E，在 RtABE 中，sinB，同理：sinB，sin，sin，AEcsinB，AEbsinBCA，CDasinB，CDbsinBAC，；解决问题 在ABC 中，CBA180AC180756045，AB30，点 A 到点 B 的距离为 30m