2022-2023学年北京市通州区高二上学期期末质量检测数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年北京市通州区高二上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 1已知椭圆22142xy的焦点分别为1F，2F，点 P 为椭圆上一点，则12PFPF（）A2 B4 C6 D8【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】解：因为椭圆方程为22142xy，所以 2a=4，又因为椭圆22142xy的焦点分别为1F，2F，点 P 为椭圆上一点，所以由椭圆的定义得12PFPF2a=4，故选：B 2已知双曲线2212yx，则其渐近线方程为（）A12yx B22yx C2yx D2yx 【答案】C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可【详解】由于双曲线为2212yx，所以其渐近线方程为2yx.故选：C.3已知数列 na的前 5 项为 1，12，13，14，15，则数列 na的一个通项公式为（）A1nan B11nan C121nan D12nan【答案】A【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.【详解】观察数列的各项，容易发现，分子均为 1，分母均与项数相同，则数列 na的一个通项公式可以为1nan.第 2 页 共 14 页 经验证，其他选项均不能满足.故选：A.4已知等差数列 na的通项公式21nan，则数列 na的首项1a和公差 d 分别为（）A11a ，2d B11a ，2d C11a，2d D11a，2d 【答案】D【分析】直接计算首项1a，根据等差数列的定义计算公差 d.【详解】因为等差数列 na的通项公式21nan，所以首项12 1 11a ，公差121 2(1)12nndaann.故选：D.5在等比数列 na中，23a，13nnaa，则数列 na的前 5 项和为（）A40 B80 C121 D242【答案】C【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前 n 项和公式计算即可.【详解】因为23a，13nnaa 所以公比13nnaqa，首项21313aaq.则前 n 项和1(1)1(1 3)3111 32nnnnaqSq,所以数列 na的前 5 项和为55311212S.故选：C.6已知圆222(0)23xyrr与 y轴相切，则r（）A2 B3 C2 D3【答案】C【分析】利用圆心23（，）到直线0 x 的距离等于半径求解即可.【详解】因为圆22223xyr与 y 轴相切，所以圆心23（，）到直线0 x 的距离等于半径,r 第 3 页 共 14 页 即2r，故选：C.7如图，在圆224xy上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D为垂足，当点 P在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程为（）A2214xy B22142xy C22143xy D2212xy【答案】A【分析】设(,)M x y，(PP x,)Py，利用M为线段PD的中点，得到P点坐标与动点M坐标之间的关系，将P点坐标用M点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点M的轨迹方程；【详解】设(,)M x y，(PP x,)Py，则(PD x,0)M为线段PD的中点，02PPxxyy，即Pxx，2Pyy 又点P在圆22:4O xy上，22(2)4xy，即2214xy 故点M的轨迹方程为2214xy 故选：A 8如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA平面 ABCD，2ABAP，点 E，F分别是 PC，PD的中点，则点 C到平面 AEF 的距离为（）第 4 页 共 14 页 A22 B2 C32 D2【答案】B【分析】易证PD 平面 AEF，得到 PF 为点 P 到平面 AEF 的距离，再根据 E 是 PC的中点，得到点C与点 P到平面 AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，所以CDAD，CDPA，又ADPAA，所以CD 平面 PAD，又PD 平面 PAD，所以CDPD，因为点 E，F 分别是 PC，PD 的中点，所以/CDEF，所以PDEF，又PAAD，则AFPD，且EFAFF，所以PD 平面 AEF，所以 PF 为点 P 到平面 AEF 的距离，又因为 E 是 PC 的中点，所以点 C 与点 P 到平面 AEF 的距离相等，即2PF，所以点 C 到平面 AEF的距离为2，故选：B 9已知抛物线24yx与直线22yx相交于 A，B 两点，则线段 AB的长为（）A5 B10 C2 5 D5【答案】D【分析】将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】设11(,)A x y，22(,)B xy，联立方程组2422yxyx整理可得：2310 xx，则有12123,1xxx x，由弦长公式可得：2212114345ABkxx，故选：D.第 5 页 共 14 页 10已知数列 na满足121nan n，数列 na的前 n 项和为nT，若2419nnTnnR对任意*nN恒成立，则的取值范围是（）A,4 B,2 5 C,5 D,6【答案】C【分析】利用裂项相消法求出2(1)nnTn，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为11 11()2(1)21nan nnn，所以1231nnnTaaaaa 1111111111(1)22233411nnnn 2(1)nn，因为2419nnTnnR对任意*nN恒成立，也即24192(1)nnn对任意*nN恒成立，因为2419116116(1)2(2(1)2)52(1)2121nnnnnnn（当且仅当16(1)1nn，也即3n时等号成立）所以5，故选：C.二、填空题 11点1,2到直线3450 xy的距离为_【答案】2【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点1,2到直线3450 xy的距离为d，由点到直线的距离公式可得：223 85234d，故答案为：2.第 6 页 共 14 页 12 如图，点 M为四面体 OABC 的棱 BC 的中点，用OA，OB，OC表示AM，则AM _ 【答案】1122OAOBOC【分析】由向量的减法可得：AMOMOA，再利用OM为OBC的中线即可求解.【详解】连接OM，所以AMOMOA，又因为M为BC的中点，所以1()2OMOBOC，所以1122AMOAOBOC，故答案为：1122OAOBOC.13已知曲线 E的方程为214x xy，给出下列四个结论：若点,M x y是曲线 E上的点，则2x，yR；曲线 E 关于 x轴对称，且关于原点对称；曲线 E 与 x 轴，y轴共有 4 个交点；曲线 E 与直线12yx只有 1 个交点 其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由214x xy，分别得到214x xy ，214x xy 求解判断；设点,M x y是曲线E 上的点，分别得到点,M x y关于 x轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断；由214x xy，分别令0 x，0y 求解判断；分0 x 和0 x，曲线方程与直线方程联立求解判断.【详解】若点,M x y是曲线 E上的点，由214x xy，得2104x xy ，即4x x，第 7 页 共 14 页 当0 x 时，02x，当0 x 时，成立，综上2x，而21R4x xy，则Ry，故正确；设点,M x y是曲线 E上的点，点,M x y关于 x轴对称的对称点为,Mxy，因为214x xy，所以曲线 E 关于 x 轴对称，点,M x y关于原点对称的对称点为,Mxy，因为214x xy，所以曲线 E 不关于原点对称，故错误；由214x xy，令0 x，得21y，解得1y ，曲线 E 与 y 轴的交点为 0,1,0,1，令0y，得 4x x，解得 2x，曲线 E与 x轴的交点为 2,0，所以曲线 E与 x轴，y 轴共有 3 个交点，故错误；当0 x 时，由221412xyyx，解得222xy，所以曲线 E与直线曲线 E 与直线12yx的交点为22,2；当0 x 时，方程组221412xyyx无解，则曲线 E 与直线12yx无交点，所以曲线 E与直线12yx只有 1 个交点，故正确，故答案为：三、双空题 14已知抛物线220 xpy p经过点2,2，则该抛物线的方程为_；准线方程为_【答案】22xy 12y 【分析】根据抛物线220 xpy p经过点2,2，代入求得 p 即可.【详解】解：因为抛物线220 xpy p经过点2,2，所以2222p，解得1p，所以该抛物线的方程为22xy；准线方程为12y ，故答案为：22xy，12y 第 8 页 共 14 页 15已知有穷数列 na的各项均不相等，将数列 na的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 np，称数列 np为数列 na的“序数列”例如，数列1a，2a，3a满足132aaa，则其“序数列”为 1，3，2设各项均不相等的数列 2，3 t，1t，5（tR）为数列 若0t，则数列 的“序数列”为_；若数列 的“序数列”为 3，4，1，2，则 t的取值范围为_【答案】4，2，1，3.(4,)【分析】根据“序数列”定义直接求解即可.【详解】因为0t，所以数列 为：2,3,1,5，由“序数列”定义可得：0t时，数列 的“序数列”为4，2，1，3.因为数列 的“序数列”为 3，4，1，2，而数列 为 2，3 t，1t，5，由“序数列”定义可得：1523tt ，解得：4t，所以t的取值范围为(4,)，故答案为：4，2，1，3；(4,).四、解答题 16已知两点1,1A，1,1B，直线 l：10 xy (1)若直线1l经过点 A，且1ll，求直线1l的方程；(2)若圆心为 C的圆经过 A，B两点，且圆心 C 在直线 l上，求该圆的标准方程【答案】(1)0 xy(2)22(1)5xy 【分析】(1)根据直线1ll，设直线1l的方程为：0 xym，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心 C在直线 l上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.【详解】（1）因为直线1ll，直线 l：10 xy，设直线1l的方程为：0 xym，因为直线1l经过点(1,1)A，所以1 10 m，解得：0m，第 9 页 共 14 页 所以直线1l的方程为：0 xy.（2）因为1,1A，1,1B，所以AB的中点(0,1)D，则AB的中垂线方程为：0 x，由圆的性质可得：圆心C在AB的中垂线上，又因为圆心 C在直线 l上，所以联立方程组：010 xxy，解得：(0,1)C，圆的半径1 45rCA，所以所求圆的标准方程为：22(1)5xy.17已知双曲线的顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 2，离心率2e(1)求双曲线的标准方程；(2)若抛物线220ypx p的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且3MF，求点 M 的坐标【答案】(1)2213yx (2)(1,2 2)或(1,2 2)【分析】(1)根据题意可知：1a，结合离心率得到2c，进而求出b即可求解；(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点 M 的坐标.【详解】（1）由题意可知：22a，则1a，又离心率2e，所以2c，则223bca，因为双曲线的顶点在 x轴上，也即焦点在 x轴上，所以双曲线方程为2213yx.（2）因为抛物线220ypx p的焦点(,0)2pF，且抛物线220ypx p的焦点 F 与该双曲线的一个焦点相同，所以22pc，则4p，所以抛物线方程为28yx，设点00(,)M xy，由抛物线的定义可知：00232pMFxx，所以01x，又因为2008yx，所以02 2y ，第 10 页 共 14 页 故点M的坐标为(1,2 2)或(1,2 2).18在等比数列 na中，11a，公比2q，设32nnbna(1)求3a的值；(2)若 m 是3a和4b的等差中项，求 m 的值；(3)求数列 nb的前 n项和nS【答案】(1)4(2)11(3)23222nnn 【分析】（1）先求通项公式，再求3a的值；（2）先求nb的通项公式，可得3a和4b的值，从而可求 m 的值；（3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1）因为等比数列 na中，11a，公比2q，所以111331 2224nnnaa；（2）因为132322nnnbnan，所以4 1423 4128b，又因为34a，所以3a和4b的等差中项4 18112m；（3）因为1322nnbn，所以11 47321 224nnSn 22111 32332222212122nnnnnnnnn 19如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ABAA，2AD，点 E 为11BC的中点 第 11 页 共 14 页 (1)求证：AE平面1CD E；(2)求平面1CD E与平面1111DCBA的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）证明一条直线垂直于平面只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算夹角的余弦值.【详解】（1）在AEC 中，22222221111113,2,AEAAA BB ECECCC E 2222225,ACABBCACAECEAECE；同理可证1AEED，CE 平面1CED，1ED 平面1CED，1CEEDE，AE 平面1CED；（2）以 A 为原点，AB为 x 轴，AD为 y 轴，1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系如下图：则有1,1,1E，由（1）的结论可知nAE 是平面1CED 的一个法向量 ，1,1,1n，显然0,0,1m 是平面1111DCBA 的一个法向量，设平面1CED与平面1111DCBA的夹角为，则3cos3n mn m；第 12 页 共 14 页 综上，平面1CED与平面1111DCBA的夹角的余弦值为33.20 已知椭圆 C：222210 xyabab的焦距为2 3，点31,2在椭圆 C上，点 B的坐标为1,0，点 O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过4,0A 的直线 l交椭圆 C 于11,M x y，2212,N x yxx两点，判断ABM和OBN的大小，并说明理由【答案】(1)2214xy(2)ABMOBN，证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，列出关于 a，b，c的方程组求解，即可得到椭圆的方程；（2）显然直线 l的斜率存在，设直线 l的方程，再联立椭圆 C的方程，即可得到关于 x 的一元二次方程，再根据韦达定理求得12xx，12xx，再根据题意将比较ABM和OBN的大小转化为比较1k和2k的大小(1k为直线BM的斜率，2k为直线BN的斜率)，再用作差法得出21+kk与 0 的符号关系即可得出结论【详解】（1）依题意有2222222 31314cababc，解得222341cab，所以椭圆 C的标准方程为2214xy；（2）如图，显然直线 l的斜率存在，则可设直线 l的方程为4yk x，联立22414yk xxy，消 y 整理得222214326440kxk xk，则21223214kxxk，212264414kxxk，设直线BM的斜率为1k，直线BN的斜率为2k，第 13 页 共 14 页 则比较ABM和OBN的大小，比较直线BM的倾斜角的补角和直线BN的倾斜角的大小，比较1k和2k的大小，则 2121142121212121444141+=111111k xk xk xxk xxyykkxxxxxx 2222222121222222121222644322582581288 16083214140644321644321411414kkxxxxkkkkkkkkkkxxxxkkkkk ，所以12kk，即ABMOBN 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：设出直线方程，设交点为11,A x y，22,B xy；联立直线与曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程；写出韦达定理；将所求问题转化为12xx，12xx（或12yy，12yy）的形式；代入韦达定理求解 21 已知等差数列 na的第 2 项为 4，前 6 项的和为 42，数列 nb的前 n 项和为nT，且23nnnTba (1)求数列 na的通项公式；(2)求证：数列1nb 是等比数列，并求数列 nb的通项公式；(3)设1,141,21nnnncnba，求证：12512nccc【答案】(1)2nan(2)证明见解析，=31nnb(3)见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解，（2）根据前 n 项和为nT与nb的关系即可得1131nnbb，进而可证其为等比数列，即可求解通项，第 14 页 共 14 页（3）2n时，11322=3nnncn，根据等比求和公式即可证明.【详解】（1）设 na的首项和公差分别为1,a d，由题意可知114,61542adad，解得12,2ad，故2122nann（2）由23nnnTba得：当2n时，11123nnnTba，故得 1111223323nnnnnnnnTTbababb，因此1131nnbb 故1131nnbb，因此1nb 是等比数列，且公比为3，在23nnnTba取1n，则12b，所以1nb 的首项为113b ，因此11=3 3=3nnnb，进而=31nnb，（3）由1,141,21nnnncnba得1,141,2322nnncnn，当2n时，11322=3nnncn，所以当1n 时，115412c显然成立，当2n时，2112321111511514334122312311311133nnnnccc，故得证.