2022-2023学年湖南省益阳市高三上学期期末质量检测数学试题.pdf

益阳市 2022-2023 学年高三上学期期末质量检测 数学试题卷 姓名_准考证号_ 本试卷共 4 页，22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2,1,0,1,2,3U ，集合1,3,0,2,3AB，则UAB为（）A.2,1,0,1,2 C.2,1 B.1,0,2,3 D.2 2.设复数i12 izz，则z（）A.1 3i B.15i C.i D.1i3 3.如图所示的矩形ABCD中，,E F满足BEEC，2,CFFD G为EF的中点，若AGABAD，则的值为（）A.12 B.23 C.34 D.2 4.在一次劳动技术课上，某 12 人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（）（忽略制作过程中的损耗，3.14）A.38.7cm C.310.6cm B.39.6cm D.312.4cm 5.已知函数 e,0ln,0 xxf xaxx，若 00ff b，则ab的值为（）A.2e B.e C.2e D.1e 6.2022年 10 月 12 日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 9 种不同的种子中随机抽取 2 种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为 10 的概率为（）A.19 B.115 C.536 D.445 7.已知函数 sin06,2fxx，若771212fxfx，03f，则,对应的值为（）A.4,3 B.3,6 C.2,3 D.1,6 8.已知函数 lnxf xx，若方程 210fxm f xm有 3 个不等的实根，则实数m的取值范围为（）A.10,e B.1,1e C.1,e D.1,e 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.如图为国家统计局于 2022 年 11 月 15 日发布的社会消费品零售总额同比增速折线图，则 2021 年 10 月至2022年 10 月同比增速的（）（注：2022 年1 2月份合并统计为一个数据）A.平均数大于 0 B.中位数为 2.7 C.极差为 17.8 D.第 25 百分位数为3.5 10.已知函数 32f xxxx，则（）A.fx有 2 个极大值点 B.fx有 1 个极小值点 C.215f D.点 1,1f处的切线方程为1y 11.已知双曲线22:143xyC，则（）A.C 的离心率为72 B.C的渐近线方程为32yx C.直线312yx与C有 2 个公共点 D.过右焦点的直线l与C的交点分别为,A B，当4AB 时，这样的直线l有 3 条 12.已知函数 fx及其导函数 fx的定义域均为R，记 g xfx，若 fx关于直线2x 对称，42gx为奇函数，则（）A.20f B.20242020gg C.218gg D.42g 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.5(2)xyxy的展开式中含33x y项的系数为_（用数字作答）.14.已知长方体1111ABCDABC D中，12,3ABAAAD，点E为棱AB的中点，则异面直线11,AE BC所成角的余弦值为_.15.已知圆22:1O xy，圆C的圆心在x轴上，过点2,3，若圆C与圆O外切，则圆C的方程为_.16.已知抛物线2:2C yx的焦点为F，圆22:3O xy与C交于,M N两点，其中点M在第一象限，点P在直线2x 上运动，记,OPOMON R.当OPOM时，有3 24FMPS；当OPON时，有32；PMN可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知数列 na的前n项和为nS，且213,1nnaSan.（1）求 na的通项公式；（2）若1 22 311,nnnnnbTbbb bb ba，求nT.18.（本小题满分 12 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2sincos1cos sin2cos sinABABBC.（1）求B；（2）证明：2222acb.19.（本小题满分 12 分）某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为A类体操），原来的大课间运动体操（记为B类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关，分别对使用A类体操与 B 类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了 100 个学生的问卷调查情况，得到如下数据：喜爱 不喜爱 A 类体操 70 30 B 类体操 40 60（1）试根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关？（2）从样本的喜爱大课间运动的学生中，按A B类分层抽取 11 名学生参加一个座谈会，再从中抽取 3 名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率.附：22()n adbcabcdacbd，0.050 0.010 0.001 ax 3.841 6.635 10.828 20.（本小题满分 12 分）如图所示的正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别是棱111,BB DC的中点.（1）证明：平面AEC 平面11BDD B；（2）求平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，条件离心率为12；点P在C上运动，且124PFPF；点31,2在C上.从任选两个条件作为已知，解决下列问题：（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点2F的直线l与椭圆C交于,M N两点，点4,0Q，直线MQ NQ的斜率分别记为MQNQkk，试探讨MQNQkk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知函数 11 e1xf xxx.（1）求函数 fx的单调区间；（2）讨论函数 ln1F xf xk xx的零点个数.益阳市 2022-2023 学年高三上学期期末质量检测 数学参考答案 1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A 二多选题 9.AC 10.BCD 11.ABD 12.ABC 三填空题 13.40 14.4 6565 15.22(3)4xy 16.四解答题 17.解：（1）因为21nnSan，所以当2n时，211(1)1nnSan，两式相减得：121nnnaaan，即121nan，所以21nan，且13a 符合，所以 na的通项公式为21nan.（2）由（1）可知1121nnban，所以11111121 2322123kkb bkkkk，所以1 2231nnnTbbb bb b 11111111123557792123nn 1 112 3233 23nnn.18.解：（1）由2sincos1cos sin2cos sinABABBC，得2cos1cos sinsin cos2cos sinBABABBC，即2cos1sin2cos sinBCBC，2cos2cos sin1 sinBBCC，2 1 sincos1 sinCBC，因为0C，所以sin0C，所以1 sin0C，所以2cos1B，即1cos2B，又因为0B，所以3B.（2）依题要证明2222acb，即证明2222acb，由（1）及正弦定理得：22222222sinsin4sinsinsin3acACACbB 4 1cos21cos242(cos2cos2),32233ACAC 又因为23ACB，所以4223CA，所以4cos2cos2cos2cos233AAAA cos2coscos2sinsin233AAA 13cos2sin2cos 2223AAA，因为203A，所以52333A，所以当23A时，cos 213A 此时42cos2cos233AC有最大值 2，即2222acb，所以2222acb得证.19.解：（1）零假设为：0H：是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B体操无关.根据列联表中的数据，得到22200(70 6030 40)20018.182100 100 110 901110.828，根据小概率值0.001的独立性检验，推断0H不成立，即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关.（2）由样本中的数据可知，抽取 11 名学生中，其中喜爱 A 类体操有 7 名学生，喜爱 B 类体操有 4 名学生，从 11 名学生抽取 3 名学生的所有情况有31111 10 9C1653 2 1，而3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况有122174744 37 6C CC C7412622 1种，所以1264216555P.所以参加发言的学生既有喜爱A 类体操也有喜爱B类体操的概率为4255.20.证明：（1）因为1111ABCDABC D为正方体，所以ACBD，又因为1DD 平面ABCD，所以11,DDAC BDDDD，所以AC 平面11BDD B，又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面11BDD B.（2）由条件可知1,DA DC DD两两垂直，所以分别以1,DA DC DD所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系（如图所示），设正方体的棱长为2a，则0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,2,DAaCaEaa a，0,2Faa，所以2,2,0,0,2,2,2ACaaAEa aAFa aa ，设平面AEC的一个法向量为1,nx y z，则 11,0,2,00,2,2,000 x y za anAEx y zaanAC，所以20yzxy，令1x，得1,2yz，所以11,1,2n，又设平面AEF的一个法向量为2,nx y z，则 22,0,2,00,2,200 x y za anAEx y za aanAF，所以20220yzxyz，令2y，得3x，4z ，所以23,2,4n ，所以121212cos,n nn nnn 1,1,23,2,47 174174629，所以平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值为7 174174.21.解：（1）选择，因为122PFPFa，联立方程组22224213,21aacbacabc 所以椭圆C的方程为：22143xy.选择，因为122PFPFa，联立方程组2222219124243,1aabababcc 所以椭圆C的方程为：22143xy.选择，222221914213,21abacbacabc 所以椭圆C的方程为：22143xy.（2）由（1）知椭圆C的方程为：22143xy，所以21,0F，当直线l的斜率为 0 时，易知0MQNQkk，所以MQk0NQk，当直线斜率不为 0 时，设直线方程为1xty，1122,M x yN xy，联立方程组221431xyxty，整理得2234690tyty，0t R，所以12122269,3434tyyy ytt ，所以121244MQNQyykkxx 121212124444y xyy xyxx 12121212141444y tyyytyyxx 221212121296232334344444ttty yyyttxxxx 0，综上可知MQNQkk为定值 0.22.解：（1）由 11 e1xf xxx，得 1e1xfxx，当0 x时，1e10 xfxx，当0 x 时，记 1e1,1xxxxx 1e0,xx单调递增，又因为 10，所以当0,1x时，0,1,fxx时，0fx，所以 ,1,0,xfxf x 的单调递减区间是,1，1,0,xfxf x的单调递增区间是1,.（2）由题可知 ln1(F xf xk xxx 1）1eln(0)xk x x，且 10F，211eexxkxkFxxxx，令 21exh xxk，则 212e0 xh xxx，所以 h x在0,单调递增，当0k时，0,FxF x在0,单调递增，且 10F，即此时 F x有唯一零点.当0k 时，令 0Fx，即 21e0 xh xxk，因为 00hk ，取max 1,pk，0h p，所以存在00,x，使0120exxk0，当00,xx时，0,FxF x单调递减；当0,xx时，0,FxF x单调递增，所以 01min000()1 elnxF xF xxk x，当1k 时，0min1,()10 xF xF，此时 F x有唯一零点.当01k时，因为 00,11hkhk 0，所以001x，因为 10F，所以 min0()0F xF x，111111e1e1ee1eln ee1e1kkkkkkFk，令 e1xt xx，则 1 extxx，当,1x 时，0,txt x单调递减，当1,x 时，0,txt x单调递增，所以 11e10t xt ，所以11e1e1e10kk 即 F x在10e,kx存在一个零点，此时 F x共有 2 个零点.当1k 时，因为 1110,e1)0khkhkk，所以01x，因为 10F，所以 min0()0F xF x，且 e12ee1 ekkkFk，因为当1x 时，e1xx，所以e1kk，所以 e12e122ee1 eeee0kkkkkkFkkkkkkk，即 F x在0,ekx存在一个零点，此时 F x共有 2 个零点.综上，当0k或1k 时，F x有唯一零点.当01k或1k 时，F x有 2 个零点.