2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二(实验班)上学期期末考试数学试题(解析版).pdf

1 滁州市定远县育才学校 2021-2022 学年高二年级上学期期末考试卷（实验班）数学试题（仅在答题卡指定范围内作答）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知直线1l：20 xay与直线2l：240axaya平行，则 a 的值是（）A.4 B.1 C.4或 1 D.4 或1【答案】B【解析】【分析】根据给定条件列出关于 a的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l：20 xay与直线2l：240axaya平行，则有(2)40a aa，解得1a 或4a ，当1a 时，直线1l：20 xy与直线2l：3310 xy 平行，当4a 时，直线1l：420 xy与直线2l：2840 xy，即420 xy重合，所以 a 的值是 1.故选：B 2.已知空间向量1,2amm，2,1,4b ，且ab，则m的值为（）A.103 B.10 C.10 D.103【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80mm，即可求出m的值.【详解】,2(1)8010abmmm.故选：B.3.已知直线1:0lxaya和直线2:2310laxay，下列说法不正确的是（）A.2l始终过定点2 1,3 3 B.若12ll，则1a 或3 C.若12ll，则0a 或 2 D.当0a 时，1l始终不过第三象限【答案】B【解析】【分析】对于 A选项，提出a让其前面的系数为0，即可验证 A 正确.对于 B选项，当1a 2 则1l与2l重合，故 B 错误.利用两直线垂直，即可得到a，得到 C 正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证 D 正确【详解】2:2310laxay，(2)310a xyy，202 1(,)3103 3xyy，即2l始终过定点2 1,3 3，故 A 正确.若12ll，当1a 则1l与2l重合，故 B 错误.1(32)00aaaa或2a，故 C 正确.当0a 时，直线11:1lyxa 始终过点(0,1)，斜率为负，不会过第三象限，故 D 正确.故选：B.4.已知直线:(1)l ym x被圆22:230C xyx截得的弦长为 2，则|m（）A.2 B.3 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于m的等式，则可解得m的值.【详解】圆22:230C xyx的圆心为(1,0)C，半径为2r，圆心 C到直线 l的距离为2|2|1mdm，由题意可知，2222|2|121mm，解之得23m，即|3m.故选：B.5.在棱长为 1的正四面体ABCD中，点M满足1AMxAByACxy AD，点N满足1DNDBDC，当线段AM、DN的长度均最短时，AM AN（）A.23 B.23 C.43 D.43【答案】A【解析】【分析】根据题意得到M 平面BCD，N 直线BC，从而求得,AM DN最短时，得到M为BCD的中心，N为BC的中点，求得AM的长，结合向量的运算公式，即可求得 3 AM AN的值.【详解】解：如图所示，因为(1)AMxAByACxy AD，1DNDBDC，可得M 平面BCD，N 直线BC，当,AM DN最短时，AM平面BCD，且DNBC，所以M为BCD的中心，N为BC的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为 1，所以1636NMDN，32AN，所以63AM，因为AM平面BCD，所以AMMN，所以RtANM中，62 23cos332AMMANAN，所以3262 22cos333AM ANAMANMAN 故选：A 6.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为2,4B，若将军从点2,0A 处出发，河岸线所在直线方程为-2+80 xy，则“将军饮马”的最短总路程为()A.4 655 B.10 C.10 2 D.4 2【答案】A 4【解析】【分析】求出点A关于直线对称点为A，则可得AB即为“将军饮马”的最短总路程，求出A的坐标，即可求出AB【详解】如图，点A关于直线的对称点为A，则AB即为“将军饮马”的最短总路程，设,A a b，则22+8=0221122abba ，解得2224,55ab，则2222244 6524555A B 故“将军饮马”最短总路程为4 655 故选：A 7.已知椭圆22:143xyC的上下顶点分别为,A B，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C交于D点，则直线BD的斜率BDk为（）A.32 B.34 C.52 D.32【答案】B【解析】【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线 AD的方程，进而求出点 D 的坐标计算作答.5【详解】依题意，椭圆22:143xyC的上顶点(0,3)A，下顶点(0,3)B，左焦点1(1,0)F，右焦点2(1,0)F，由椭圆的光学性质知，反射光线 AD必过右焦点2F，于是得直线 AD的方程为：33yx，由22333412yxxy 得点83 3(,)55D，则有3 3(3)358405BDk，所以直线BD的斜率BDk为34.故选：B 8.已知()f x是定义在R上的增函数，函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，若不等式2162 3(2)0fxfk x-的解集为区间,a b，且2ba，则k（）A.3 B.3 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】根据条件可得函数()f x是定义在R上的奇函数且在R上的增函数，进而可得216(2)2 3xk x，再利用数形结合即得.【详解】函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，函数()f x的图象关于点(0,0)对称，又()f x是定义在R上的增函数，函数()f x是定义在R上的奇函数且在R上的增函数，由2162 3(2)0fxfk x，可得 2162 3(2)2 3(2)fxfk xfk x-+，216(2)2 3xk x的解集为区间,a b，且2ba，作出函数216yx与(2)2 3yk x的图象，6 函数216yx表示圆心在原点，半径为 4 的圆的上半部分，(2)2 3yk x表示过定点2,2 3A 的直线，由图象结合条件可知4b，又2ba，2a，即直线与半圆的交点N的横坐标为 2，故2,2 3N，2 32 3322k.故选：B.【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关系，基本思路为：构造函数 f x（或 f x与 g x），作出 f x（或 f x与 g x）的图象，找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点.9.已知1F，2F是椭圆22:143xyC的两个焦点，点 M在椭圆 C 上，当12MFMF取最大值时，三角形12MF F面积为（）A.2 3 B.3 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的,x y的范围可求得12MFMF取最大值时，点M在椭圆的短轴上.【详解】设点M的坐标为11,M x y，根据椭圆的焦半径公式可得：1121112,222MFx MFx 7 则有：2121144MFMFx 根据椭圆的特点，可知：122x 可得：当10 x 时，12MFMF取最大值 此时，点M在椭圆的短轴上，则有：1 23MF FS 故选：B 10.设双曲线 C：222210,0 xyabab的左右焦点分别为12,F F，点 P 在双曲线 C上，若线段1PF的中点在 y轴上，且12PFF为等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为（）A.12 B.2 C.22 D.2【答案】A【解析】【分析】根据12PFF是等腰直角三角形，再表示出12,PF PF的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段1PF的中点在 y轴上,设1PF的中点为 M，因为 O为12FF的中点，所以2OMPF,而12OMFF,则212PFFF，12PFF为等腰三角形，故212|=|=2cPFFF，由12|-|=2PFPFa，得1|=2+2PFac，又12PFF为等腰直角三角形，故112|=2|PFFF，即2222acc，解得21ca，即21e，故选：A.11.已知 A，B 两点在以 F为焦点的抛物线24yx上，并满足3AFFB，过弦 AB的中点 8 M 作抛物线对称轴的平行线，与 OA交于 N点，则 MN的长为（）A.13 B.12 C.23 D.34【答案】C【解析】【分析】由已知结合抛物线的性质，求得,A B坐标，进而求得,M N坐标，即可得解.【详解】由3AFFB，利用抛物线的对称性，不妨设 A在第一象限，作11,AA BB垂直于抛物线准线，垂足分别为11,A B，作1BCAA于 C,如图所示，设BFm，由抛物线的定义知113,AAm BBm,在ABC中，2,4ACm ABm，则2 3BCm,所以2 3tan32ABkBAC，所以直线 AB的方程为3(1)yx,与抛物线的方程联立得231030 xx，解得13x，213x,所以3,2 3A，12 3,33B，故 AB的中点5 2 3,33M,直线 OA 的方程为2 33yx，令2 33y，得1x，2 31,3N 所以 MN长为52133 故选：C 12.过抛物线C：26yx的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：22210 xyaa所截得线段长度为2 2，则双曲线的渐近线方程为（）9 A.320yx B.230yx C.30yx D.20yx【答案】A【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点坐标及线段长度可求出a的值，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】易知抛物线26yx的焦点坐标为3,02，所以点3,22在双曲线2221xya上，即29214a，因为0a，所以解得32a.所以双曲线的渐近线方程为23yx，即320yx.故选：A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知圆22:16C xy，直线:()(32)0lab xba ya（,a b不同时为 0），当,a b变化时，圆C被直线 l截得的弦长的最小值为_.【答案】26【解析】【分析】由题意知直线l恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C被直线 l截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0lab xba ya化为(21)(3)0a xybxy 2103301xyxxyy ，恒过定点(3,1)，当圆C被直线 l截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为223+1=10，圆心到直线:()(32)0lab xba ya距离最大值时即为10，此时直线弦长为最小值2 16 102 6.故答案为：26.14.已知双曲线1C：22148xy，与1C共渐近线的双曲线2C过2,4，则2C的方程是_.10【答案】22184yx【解析】【分析】设双曲线2C的方程为：2248xy，求出即得解.【详解】设双曲线2C的方程为：2248xy，由题得2224,121,48 所以双曲线2C的方程为：221,48xy 即：22184yx.故答案为：22184yx 15.已知点F为双曲线222210,0 xyabab的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若31FAAB，则此双曲线的离心率是_【答案】3【解析】【分析】利用直线的斜截式方程得直线FA的方程，再利用双曲线的性质及几何意义得双曲线的一条渐近线方程，最后利用平面向量的坐标运算，结合双曲线的性质计算得结论【详解】因为过点F，A的直线方程为+1xycb ，双曲线的一条渐近线方程为byxa ，联立，解得交点,acbcBac ca，由31FAAB，(,),(,)acabFAc bABac ca，得31accac，解得3ca，故3e 故答案为：3 16.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线220ypx p，一条平行于抛物线对称轴的 11 光线从点3,1A向左发出，先经抛物线反射，再经直线3yx反射后，恰好经过点A，则该抛物线的标准方程为_.【答案】216yx【解析】【分析】根据抛物线的聚焦特点，3,1A经过抛物线后经过抛物线焦点,02pF，再经直线3yx反射后经过点A，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B，抛物线的焦点为F，则可得：1,12Bp 抛物线的焦点为：,02pF 则直线BF的方程为：11222pyxpp 设直线BF与直线3yx的交点为M，则有：112223pyxppyx 解得：2222436,2121pppMpppp 则过点M且垂直于3yx的直线的方程为：222222436563212121pppppyxxpppppp 根据题意可知：点3,1A关于直线2256321ppyxpp 的对称点1A在直线BF上 设点122,A xy，1AA的中点为C，则有：2231,22xyC 直线1AA垂直于2256321ppyxpp ，则有：12 22113yx 点C在直线2256321ppyxpp 上，则有：2222135632221yxpppp 点1A在直线BF上，则有：2211222pyxpp 化简得：80p p 又0p 故8p 故答案为：216yx【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分.）17.已知圆22:1236Cxy，直线:520l kxyk（1）求证：直线l与圆C恒有两个交点；（2）设直线l与圆C的两个交点为A、B，求AB的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）4,12【解析】【分析】（1）根据直线l的方程可得直线经过定点5,2P5,2，而点P5,2到圆心1,2C的距离小于半径，故点P在圆的内部，由此即可证明结果（2）由圆的性质可知，当l过圆心时，AB取最大值，当l和过5,2P的直径垂直时，AB取最小值，由此即可求出结果.【小问 1 详解】证明：由于直线:520l kxyk，即 520k xy 13 令5020 xy，解得5,2xy，所以l恒过点5,2P，所以225 1224 26PC ，所以点5,2P在圆22:1236Cxy内，所以直线l与圆C恒有两个交点；【小问 2 详解】解：当l过圆心1,2C时，AB取最大值，即圆的直径，由圆22:1236Cxy的半径6r，所以AB的最大值为12；当l和过5,2P的直径垂直时，AB取最小值，此时圆心1,2C到5,2P的距离225 1224 2 PC，所以222 64 24AB，故AB的最小值为4 综上，AB的取值范围4,12.18.设直线 l的方程为1520axyaaR （1）求证：不论 a为何值，直线 l必过一定点 P；（2）若直线 l分别与 x轴正半轴，y 轴正半轴交于点,0AA x，0,BBy，当AOB面积为 12 时，求AOB的周长；【答案】（1）见解析（2）102 13【解析】【分析】（1）将直线方程整理成关于a的式子，再令其系数为 0，解关于x和y的方程组，即可；（2）易知5201Aaxa，520Bya，由1122ABSxy，求出参数a的值，从而可得,A B的坐标，即可求出答案.【小问 1 详解】证明：将(1)520axya 整理成(2)50 xaxy，令2050 xxy，解得2x，3y，所以定点P为(2,3)，故不论a为何值，直线l必过一定点P(2,3)；【小问 2 详解】14 解：由题意知，10a，由1520axya，当0y 时，521Aaxa，当0 x 时，52Bya，由5201520aaa，得1a ，所以AOB面积11 52(52)12221ABaSxyaa，解得12a，此时(4,0)A，(0,6)B，22|462 13AB，所以AOB的周长为462 13102 13，故当AOB面积为 12 时，AOB的周长为102 13.19.如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD 底面 ABCD，PDDC，E、F 分别是 PC、AD 中点.（1）求证：/DE平面 PFB；（2）求平面 PBC 与平面 PBD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）取 PB的中点 M，连接 EM，FM，证明DEFM，再利用线面平行判定定理，即可得到答案；（2）如图，以 D为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2DPDC，求出两个面的法向量，再求向量夹角的余弦值，即可得到答案；【小问 1 详解】证明：取 PB 的中点 M，连接 EM，FM，15 E，M分别是 PC，PB 的中点，EMBC，12EMBC，四边形 ABCD是正方形，F是 AD中点，DFBC，12DFBC，四边形 DEMF平行四边形，DEFM，又DE 平面 PFB，FM 平面 PFB，DE 平面 PFB.【小问 2 详解】如图，以 D为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2DPDC，则0,0,0D、2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、00 2P,、0,1,1E、1,0,0F，设平面 PBD 的法向量为,mx y z，0,0,2DP，2,2,0DB 00m DPm DB，20220zxy，1,1,0m 设平面 PBC 的法向量为,nx y z，2,0,0BC ，2,2,2BP ，00n BCn BP，202220 xxyz，0,1,1n 11cos,222m n，设平面 PBC 与平面 PBD的夹角为，则1coscos,2m n，故平面 PBC 与平面 PBD夹角的余弦值为12.20.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直 16 线:20l xy与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为1k，2k，且125kk，求证：直线AB过定点.【答案】（1）2212xy（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线l与圆相切，可得b的值，由a，b，c与离心率的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M的坐标，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线AB恒过定点【小问 1 详解】等轴双曲线的离心率为2，椭圆的离心率22，又直线:20l xy与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，222|1|1b，即1b，可得22222112cbeaa，即22a，则椭圆的方程为：2212xy；【小问 2 详解】若直线AB的斜率不存在，设方程为0 xx，则点0(A x，0)y，0(B x，0)y，由125kk，即0000115yyxx，解得025x ，此时直线AB的方程为25x ；若直线AB的斜率存在，设AB的方程为ykxm，由题意可得1m ，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则22220ykxmxy，整理可得：222(12)4220kxkmxm，222222168 121210k mkmkm ，17 且122412kmxxk，21222212mx xk，由125kk，可得1212115yyxx，即1212115kxmkxmxx，即12122(1)5xxkmx x，2251kmkm，521km，故直线AB的方程为21()1255kykxk x，即直线AB过定点(125,)，综上所述：直线AB过定点(125,)21.已知抛物线2:2(0)Cypx p，点(2 4)P，在抛物线C上（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点的直线:l yxm与抛物线交于不同两点P，Q，若OPOQ，求m的值【答案】（1）28yx（2）8【解析】【分析】（1）由点(2 4)P，在抛物线C上可得p的值，进而求出抛物线的方程；（2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之积，由若OPOQ可得实数m的值【小问 1 详解】点(2 4)P，在抛物线C上，164p，即4p，抛物线C的方程为28yx；【小问 2 详解】设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立28yxmyx，得22(28)0 xmxm，22(28)40mm，得2m，1282xxm，212x xm，又OPOQ，则1 2120OP OQx xy y，222121212121212()()2()2(82)0 x xy yx xxm xmx xm xxmmmmm，8m 或0m，经检验，当0m 时，直线过坐标原点，不合题意，又82m ，综上：m的值为8 18 22.已知双曲线2222:10,0 xyCabab，1F，2F分别为其左，右焦点，双曲线 C上存在点 P，满足124FPF，且12FPF的面积为23 12 a（1）求双曲线 C的离心率；（2）设 A 为双曲线 C 的左顶点，Q为第一象限内双曲线 C上的任意一点，问是否存在正实数，使得22QF AQAF恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）2；（2）存在，2.【解析】【分析】（1）不妨设点 P在双曲线的右支上，设12,PFm PFn，由双曲线的定义可得到2mna，由余弦定理可得22422cmnmnmn，结合三角形的面积公式即可求出223ba，从而可求出双曲线 C 的离心率；（2）先从特殊情况22QF A时，寻找出的值；再求满足条件222QF AQAF 的轨迹，与双曲线完全一致即可.【小问 1 详解】不妨设点 P在双曲线的右支上，设12,PFm PFn，则2mna，在12FPF中，由余弦定理，得22242cos4cmnmn，即22422cmnmnmn，所以2422bmn，因为12FPF的面积为23 12 a，所以1sin24mn23 12 a.所以223ba，所以2212cbeaa.【小问 2 详解】由（1）知222213xyaa，3,2ba ca.当22QF A时，2,3Qaa，23AFa，所以24QAF，此时222QF AQAF，即2；下面求满足条件222QF AQAF 的轨迹，19 设,M x y为轨迹上任意一点，则222MF AMAF，因为22tan,tan2yyyMF AMAFxcaxxa，因为222222tantantan21tanMAFMF AMAFMAF，所以22221yyxayaxxa，化简，得22233xya，即222213xyaa，与双曲线完全一致，所以存在2，使222QF AQAF 成立.