2022届百师联盟高三练习题(一)数学题开卷有益.pdf

选择题 集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】先 化 简 集 合，为，再 根 据求解.因为，所以.故选：B 选择题 若、满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.C.D.【答案】A【解析】根据、满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在 y 轴上截距最小时的最优点，此时目标函数取得最大值.由、满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数，转化为，平移直线，当直线在 y 轴上截距最小时，经过点，此时目标函数取得最大值，所以 的最大值为 2.故选：A 选择题 已知，则的值等于（）A.B.C.2 D.4 【答案】D【解析】先 利 用 商 数 关 系 和 平 方 关 系，将，转 化 为，再由求解.因为，所以.故选：D 选择题 若均为正数，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，设，根据指对数互化，求得的值，根据对数运算得出 与 之间的关系式.解：由题可知，均为正数，设，则，则，所以，即：.故选：D 选择题 等差数列中，若，则的值是（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】利用等差数列的性质，由，得到，再将，转化为，再通过等差数列的性质求解.因为，所以，所以 .故选：A 选择题 已知圆，设；：圆上至多有 2个点到直线的距离为，则 是 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由圆的圆心为，得到其到直线的距离为，利用“”法，分析当，时，圆上的点到直线的距离为的个数，再根据逻辑条件的定义求解.圆的圆心为，其到直线的距离为 当时，圆上没有点到直线的距离为；当时，圆上恰有一个点到直线的距离为；当时，圆上有 2 个点到直线的距离为；当时，圆上有 3 个点到直线的距离为；当，圆上有 4 个点到直线的距离为 若圆上至多有 2 个点到直线的距离为 2，则 所以 是 的充要条件 故选：C 选择题 已知定点，点 在圆上运动，为圆心，线段的垂直平分线交于点，则动点 的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意，利用椭圆的定义判断点 的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭圆，求出的值，求出椭圆的标准方程，即可得出动点 的轨迹方程.解：由题可知，圆，圆心，所以点 的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭圆，所以，所以动点 的轨迹方程为，故选：A 选择题 已知定义在上的函数满足：，当时，则，的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据，得到是上的偶函数，再根据，得到在上是增函数再根据，利用单调性求解.由知，是上的偶函数，又，得在上是增函数，在上是减函数 因为，所以，因为，所以，即.故选：B 选择题 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例 作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图 1它来源于斐波那契数列（），又称为黄金分割数列根据该作图规则有程序如图 2，此时若输入数值，输出 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】先验证，再根据，依次进行验证，直至终止时对应的值即为所求.已知，此时，此时，此时，此时，此时，所以当时，.故选：D 选择题 为了支持山区教育，某中学安排 6 位教师到、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（）A.180 种 B.172 种 C.168 种 D.156 种【答案】D【解析】根据题意，分三种情况讨论，利用排列组合的性质，结合特殊元素和部分平均分配问题，最后利用分类加法原理，即可求出结果.解：由题可知，分三种情况讨论：（1）甲，乙两位教师均没有去山区，共有种；（2）甲，乙 两 位 教 师 只 有 一 人 去或山 区，共 有种；（3）甲，乙两位教师分别去或山区，共有种，故共有：种安排方案 故选：D 选择题 已知函数若关于的方程有 8 个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设，将方程有 8 个不相等的实数根，转化 为的 方 程有 两 个 不 等 实 根，设，根 据 二 次 函 数 图 像 的 性 质，得 出，即可求出实数 的取值范围.解：由于关于 的方程有 8 个不相等的实数根，设，则，作出的图像，由图 1 知，关于 的方程有两个不等实根，设，则由图 2 知，所以，所以，解得：，即：实数 的取值范围为.故选：B 图 1 图 2 选择题 已 知 函 数，若，使 得，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】直接对和进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出在区间上是单调减函数和在区间上是单调增函数，由于，使得，则，即可求出实数 的取值范围.解：因为函数，在区间上是单调减函数，所以，在区间上是单调增函数，所以，由于使得，所以，当时，得或，所以或，所以，得 故选：B 填空题 已知是偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】先利用是偶函数，当时，求得时的解析式，再利用导数的几何意义求函数切线方程.设，则，因为，所以，又，所以切线方程为，即 故答案为：填空题 某居民小区要把如图所示的凸四边形用来修一个健身运动场所，经过测量，得到如图所示的数据，则健身运动场所的面积大约为_（保留到小数点后一位）【答案】68.3【解析】根据题意，连结，在中，根据余弦定理求得，由图中角的关系，得出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理，求得，最后根据，即可求出四边形的面积，即可得出健身运动场所的面积.解：如图，连结，在中，由余弦定理得：，所以，所以为等腰三角形，因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，设，则，所以，所以=，所以四边形的面积大约为，即健身运动场所的面积大约为.故答案为：.填空题 中，为的重心，为的外心，则_【答案】【解析】根据三角形的外心的性质，得出，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值.解：因为为的重心，为的外心，所以，所以，即.故答案为:填空题 定 义 在上 的 函 数满 足，当时，则函数在区间上的零点个数是_【答案】502【解析】根 据 函 数 周 期 性，得 出是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，令，得，则函数在区间上的零点个数转化为与在 上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.解：因为，所以，所以是周期为 4 的周期函数 令，得，在同一坐标系下画出与的图像，由图知，当时，函数有 3 个零点 又因为，即在区间上有 167 个完整的周期，零点个数为，所以函数在区间共有 502 个零点.故答案为：502 解答题 为认真贯彻落实党中央国务院决策部署，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，坚持调控政策的连续性和稳定性，进一步稳定某省市商品住房市场，该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价，并取得了一定效果，下表是 2019 年 2 月至 6 月以来该市某城区的房价均值数据：（月份）2 3 4 5 6（房价均价：千元/平方米）9.80 9.70 9.30 9.20 已知：（1）若变量、具有线性相关关系，求房价均价（千元/平方米）关于月份 的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测该市某城区 7 月份的房价（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式）【答案】（1）（2）9.02 千元/平方米【解析】（1）根据表格中的数据，可求得，进而求得，写出回归方程.（2）利用（1）所求得的线性回归方程，将，代入求解.（1）由表格中的数据，可得，因为，所以，所以，所以线性回归方程为（2）利用（1）所求得的线性回归方程，可预测 7 月份的房价（千元/平方米）所以该市某城区 7 月份的房价为 9.02 千元/平方米 解答题 设为实数，给出命题，；命题：函数的值域为 （1）若为真命题，求实数 的取值范围；（2）若为真，为假，求实数 的取值范围【答案】（1）（2）【解析】先化简命题：，则，有解，设，求其最小值即可.命题：函数的值域为则只需真数取遍一切正实数，则由求解.（1）若为真，则都为真求解.（2）若为真，为假，则、一真一假，分 真 假和 假 真，两种情况分类求解.设，则在上时增函数，故当时，的最小值为，若 为真，则；因为函数的值域为，则只需真数取遍一切正实数，所以，所以或 若 命题为真命题，则（1）若为真，则实数 满足，即实数 的取值范围为；（2）若为真，为假，则、一真一假 若 真 假，则实数 满足；若 假 真，则实数 满足；综上所述，实数 的取值范围为 解答题 如图所示，四棱锥中，点分别为的中点 （1）证明：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题可知，结合为正三角形，进而证得，利用面面平行的判定定理，即可证明：平面平面；（2）取中点，连结，通过线面垂直的性质和判定定理，即可证出平面，建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出空间异面直线的夹角的余弦值.（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，平面；又，所以为正三角形，又，所以，又，所以，平面 因为，所以平面平面（2）如图，取中点，连结，因为，所以为正三角形，所以，又因为为等腰三角形，所以，所以三点共线，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以平面 以为坐标原点，分别为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 解答题 临近开学季，某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆，其成本是每件 15 元经多数商家销售经验，这款书包在未来 1 个月（按 30 天计算）的日销售量（个）与时间（天）的关系如下表所示：时间（/天）1 4 7 11 28 日销售量（/个）196 184 172 156 88 未来 1 个月内，前 15 天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且 为整数），后 15 天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且 为整数）（1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据（个）与（天）的关系式；（2）试预测未来 1 个月中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？（3）在实际销售的第 1 周（7 天），商家决定每销售 1 件商品就捐赠元利润给该城区养老院 商家通过销售记录发现，这周中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围【答案】（1）（2）第 5 天时的销售利润最大，最大值 2025 元（3）【解析】（1）若选一次函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意，若选反比例函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意.（2）设日销售利润为元，根据（1）的结果，分当，时，讨论求解.（3）建立函数模型，根据每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，因为，则由二次函数的性质，对称轴应求解.（1）若选一次函数，则设为，代，得，解得 所以，代入中，符合题意；若选反比例函数，则设为，代，得，解得，不合题意 所以，与 的函数关系式为（2）设日销售利润为元，当时，所以当时，有最大值 2025 元 当时，因当时，随 的增大而减小，故当时，有最大值 952元 综上所述，第 5 天时的销售利润最大，最大值 2025 元（3），对称轴为，因为，且 为整数，随 的增大而增大，开口向下，所以，所以，故所以 解答题 设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点 设函数，（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数 的取值范围【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据新定义，当时，求出，即可得出函数的不动点；（2）由于函数在上不存在不动点，则在区间上无解，即在上无解，利用换元法，令，转化为在区间上无解，构造新函数并求出单调区间，结合函数的恒成立问题，即可求出实数 的取值范围 解：（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当时，得，所以，所以，所以函数的不动点为 0（2）根据已知，得在区间上无解，所以在上无解，令，所以，即在区间上无解，所以在区间上无解，设，所以在区间上单调递增，故，所以或，所以或，又因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，设，所以在区间上单调递增，故，所以，所以 综上，实数 的取值范围是 解答题 已知函数，（1）当时，设函数在区间上的最小值为，求；（2）设，若函数有两个极值点，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，则，通过分类讨论参数，利用导数研究函数在区间上的单调性和最值，即可求得.（2）要证，即证，当时，则，构造函数，利用导数求出在单调递增，得出，即可证明出.解：（1）当时，函数，则，当时，在上单调递增，所以 当时，令，解得，（i）当时，即时，在上单调递增，由上知，此时；（ii）当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；（iii）当时，即时，在上单调递减，此时 综上得：，即当时，属于一次函数，由于，则在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，则，所以在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，综合上述得出：（2）原式转化为求证，当时，所以是方程的两根，所以，因为且，所以，所以，令，则，所以在单调递增，所以，即