2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1设()f x在0 xx处可导，则000()()lim2xf xxf xx（）A 012fx B02 fx C 0fx D 02 fx【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()f x在0 xx处可导,所以，由导数的定义可得：0000000()()()()11limlim222xxf xxf xf xxf xfxxx .故选：A 2已知1nx的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中的第 3 项为（）A8 B8x C228x D228x【答案】D【分析】利用二项式定理求得1nx的展开通项公式，从而得到关于n的方程，解之即可求得展开式中的第 3 项.【详解】因为1nx的展开通项为 1C 11Ckkkn kkkknnTxx，所以1nx的展开式的第1k 项的二项式系数为Ckn，因为1nx的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，所以26CCnn，由性质22CCnnn得26n，故8n，所以1nx展开式中的第 3 项为 2222381C28Txx.故选：D.3已知函数 cossinf xxxx，则6f的值为（）A2 B12 C1 D【答案】B【分析】先对 f x求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.第 2 页 共 16 页【详解】因为 cossinf xxxx，所以 cossincossinfxxxxxxx，所以sin66612f .故选：B.4因为疫情防控的需要，某校高二年级 4 名男教师和 3 名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务根据岗位需求应派 3 人巡视商户，且至少一名男教师；另外 4 人去不同的 4 个小区测量出入人员体温，则这 7 名教师不同的安排方法有（）种 A34 B816 C216 D210【答案】B【分析】先采用间接法求解巡视商户的 3 人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外 4人去不同的 4 个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果【详解】从 7 人中任选 3 人，不同的选法有37C种，而不选男教师的选法有33C种，则巡视商户的 3 人中至少一名男教师安排方法有3373CC34种，另外 4 人去不同的 4 个小区测量出入人员体温的安排方法有44A24种 则这 7 名教师不同的安排方法有3424816种 故选：B 5甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为 0.5，乙命中目标的概率为 0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（）A0.6 B0.625 C0.5 D0.3【答案】B【分析】先由题意求得目标至少被命中 1 次的概率，目标至少被命中 1 次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果【详解】记事件A为“甲命中目标”，事件B为“目标至少被命中 1 次”，则 1(10.5)(10.6)0.8P B ，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB，()0.5()0.625()0.8P ABP A BP B 故选：B.6已知2()ln1f xxxmx在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数 m 的取值范围是（）第 3 页 共 16 页 A4m B4m C3m D3m【答案】D【分析】求出导函数，推出12mxx 在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m的取值范围【详解】2()ln1f xxxmx在区间(1,2)上为单调递增函数 则1()20fxxmx在区间(1,2)上恒成立 即12mxx 在区间(1,2)上恒成立 设1()2h xxx，(1,2)x 22221)()2012(12(12xxxh xxxx 函数()h x在(1,2)上是减函数，则()(1)3h xh 所以3m 故选：D 7在 2391111xxxx的展开式中，3x的系数为（）A120 B84 C210 D126【答案】C【分析】先通过求出各项二项式中3x的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为1nx的展开通项为1C 1Ckn kkkkknnTxx，所以1x的展开式中没有3x这一项，21x的展开式中没有3x这一项，31x的展开式中3x的系数为33C，41x的展开式中3x的系数为34C，91x的展开式中3x的系数为39C，所以所求3x的系数为333434910CCCC210.故选：C.8定义在0,2上的函数(),()f xfx是()f x的导函数，且()tan()fxx f x 成立，第 4 页 共 16 页 2 32,2,3436afbfcf，则 a，b，c的大小关系为（）Abac Bcba Ccab Dabc【答案】B【分析】由条件可得cos()sin()0 x fxx f x，考虑构造函数 cosf xg xx，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数 g x在0,2上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2x时，cos0 x，所以()tan()fxx f x 可化为sin()()0cosxfxf xx，即cos()sin()0 x fxx f x，设 cosf xg xx，则 2cossincoscosf xfxxf xxgxxx，所以当0,2x时，0g x，所以函数 g x在0,2上的单调递减，因为643，所以346ggg 所以643coscoscos643fff，即2 3223643fff，所以cba，故选：B.二、多选题 9随机变量的分布列为：0 1 2 P a 2b 2b 其中0ab，下列说法正确的是（）A1ab B3()2bE C()D随 b的增大而减小 D()D有最大值【答案】ABD 第 5 页 共 16 页【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案【详解】根据分布列的性质得122bba，即1ab，故 A 正确；根据期望公式得3()012222bbbEa ，故 B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222bbbbbDa222333(0)(1)(1)(2)22222bbbbbb22959525()424936bbb ，因为01b，当509b时，()D随 b 的增大而增大；当519b时，()D随 b的增大而减小，故 C 错误；当59b 时，()D取得最大值2536，故 D 正确，故选：ABD 10已知1021(0)axax展开式的各项系数和为 1024，则下列说法正确的是（）A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在含6x的项 D展开式中含15x项的系数为 45【答案】BD【分析】由1x 结合展开式的各项系数和得出1a，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可【详解】展开式的各项系数之和为 1024，令1x，得10(1)1024a，a0，a1 则二项式为1021xx，其展开式的通项为：5201022110101CCrrrrrrTxxx 展开式中奇数项的二项式系数和为121024512，故 A 错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有 11 项，故展开式中第 6 项的系数最大，故 B 正确；令52062r，可得285r 不是自然数，则展开式中不存在含6x的项，故 C 错误；令520152r，解得2r，所以展开式中含15x项的系数为210C45，故 D 正确，故选：BD 11某学校共有 5 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）第 6 页 共 16 页 A四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125 B四人去了同一餐厅就餐的概率为11296 C四人中恰有 2 人去了第一餐厅就餐的概率为96625 D四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为45【答案】ACD【分析】对于 ABC，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于 D，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于 A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A5 4 3 22455 5 5 5125 ，故 A 正确；对于 B，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A5155 5 5 5125 ，故 B 错误；对于 C，四人中恰有 2 人去了第一餐厅就餐的概率为2244C46 4 49655 5 5 5625 ，故 C 正确；对于 D，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X服从二项分布14,5XB，所以14()455E X，故 D 正确.故选：ACD.12已知函数()lnf xxax有两个零点12,x x，且12xx，则下列选项正确的有（）A10,ea B()yf x在(0,e)上单调递减 C126xx D若22 1,eea，则212axxa【答案】AD【分析】根据参变分离构造函数 lnxg xx，根据 g x的性质，即可判断 A；求导得 fx，结合10,ea即可判断 B；构造函数 2e,e,2eF xf xfxx，利用导数求解12xx的范围，即可判断 C，根据 21,ffa与0的大小关系结合 f x的单调性即可判断 D【详解】对于 A，由 0f x 等价于lnxax，第 7 页 共 16 页 令 2ln1 ln,xxg xgxxx，令 0gx，得0ex，令 0g x，得ex，所以 g x在0,e单调递增；在e,单调递减，当ex时，g x取极大值 1e=eg，当 1,0 xg x；当1x 时，0g x，10g，则121e,e,xx10,ea，故 A 正确 对于 B，11axfxaxx，当10,xa时，()0fx，()f x单调递增；当1,xa时，()0fx，()f x单调递减，因为10,ea，则1ea，所以()f x在(0,e)单调递增，故 B 错误；对于 C，由 A 可知120exx，当22ex 时，122exx，当2e,2ex 时，令 elnln2e2e2e,e,2F xf xxxaxfxaxx，11112e()222e2e(2e)F xaaaaxxxxxx，22e,2e,2e2eexxxxx，2e22202eeFxaaxx，F x在e,2e上单调递增，e0F xF，2ef xfx，则 222ef xfx，又 21f xf x，122ef xfx，又 f x在0,e上单调递增，12e2e0 xx，122exx，122exx，综上122exx，故 C 错误；对于 D，f x在10,a单调递增，在1,a上单调递减，且22 1,eea，12110,xxaa，第 8 页 共 16 页 110faf x ，11x，2222ln2lne20ffxaa，22xa，21221axxaa，故 D 正确，故选：AD 三、填空题 13全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息 5 个学科，4 名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择 1 个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有 5 种，第二名同学的报名方法有 5 种，第三名同学的报名方法有 5 种，第四名同学的报名方法有 5 种，由分步乘法计数原理可得 4 名同学的不同的报名方法种数是5 5 5 5 种，即 625 种，故答案为：625.14同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则 4 次试验中至少有 2 次成功的概率是_【答案】67256【分析】由题意可知 4 次试验中成功次数X14,4B，由此即可得出答案【详解】同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，这次试验成功的概率为111224，在 4 次试验中成功次数X14,4B，4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C+CC44444256256256256 故答案为：67256 15若77017(21)xaa xa x，则7+11(1)iiiia_【答案】14【分析】由二项式定理可求0127,a a aa，利用组合数性质化简+1(1)iiia，结合二项式定理求值.第 9 页 共 16 页【详解】因为012707162 5707777772(1C 12C 122)C21C 12(1xxxxxx ，化简可得0122277777777C2C22(1CC2)xxxx，又77017(21)xaa xa x，所以72 C,0,1,2,3,4,5,6,7,iiiai 当1,2,3,4,5,6,7i 时，1767!6!C77C!7!1!61!iiiiiiii ，所以1+1+1+111766(1)(1)2 C(1)7C214C2iiiiiiiiiii ai ，所以77711+11166111(1)14C214C2iiiiiiiiiia，所以70126+10 615246 066661(1)14 C 12C 12C 12C 12iiiia，所以76+11(1)14 1214iiiia，故答案为：14.16若函数 g x在区间 D 上有定义，且,(),(),()a b cD g a g b g c均可作为一个三角形的三边长，则称 g x在区间 D 上为“M函数”已知函数 1lnxfxxkx在区间1,ee为“M函数”，则实数k 的取值范围为_【答案】2e4,【分析】先由题意得到 minmax2f xf x且 min0f x，再利用导数求得 f x在1,ee的最值，从而求得 k的取值范围.【详解】根据题意可知 g x在区间 D上为“M 函数”，则有 minmax2g xg x且 min0g x，因为 f x在区间1,ee为“M 函数”，所以 minmax2f xf x且 min0f x，因为 11ln1lne1exfxxkxkxxx，所以 22111xfxxxx，令 0fx，得1ex；令0fx，得11ex；所以 f x在1,1e上单调递增，在1,e上单调递减，则 max1f xfk，又111eln2eeefkk ，11e1lneeefkk，则 111e2e2e0ee2ff ，即 1eeff，所以 min12eefxfk，第 10 页 共 16 页 所以2 2e2e0kkk，解得2e4k，所以实数 k 的取值范围为2e4,.故答案为：2e4,.四、解答题 17为支援武汉抗击疫情，某医院准备从 6 名医生和 3 名护士中选出 5 人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于 2 人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？【答案】(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生 3 人护士 2 人和医生 2 人护士 3 人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于 2 人，可能的情况有医生 3 人护士 2 人和医生 2 人护士 3 人，所以共3223636375C CC C种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701 234C 种，其中只有医生的情况数有455C，不可能存在只有护士的情况 故共有70565种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18已知22mxx的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为12(1)求m的值；第 11 页 共 16 页(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率【答案】(1)7；(2)114 【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为12列出关于 m 的方程，解方程即可求得 m；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为 152222122rrmm rrrrrmmTCxxCx，展开式中第 4 项的系数为332mC，倒数第 4 项的系数为332mmmC，33332122mmmmCC，即611,722mm（2）展开式共有 8 项，由(1)可得当522rm 为整数，即0,2,4,6r 时为有理项，共 4 项，由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 1 14A AA 19已知函数2()e61xf xxx(1)求函数()f x的单调区间与极值；(2)求函数()f x在区间0,6上的最值【答案】(1)单调递增区间是(,1),(5,)，单调递减区间是(1,5)，极大值是18e，极小值是54e(2)最大值为6e，最小值为54e 【分析】（1）对()f x求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）2()e45e(5)(1)xxfxxxxx 令()0fx，得1x或5x；令()0fx，得15x，所以()f x的单调递增区间是(,1),(5,)，单调递减区间是(1,5)所以()f x的极大值是1(1)8ef，()f x的极小值是5(5)4ef （2）因为6(0)1,(6)eff，第 12 页 共 16 页 由（1）知，在区间0,6上，()f x有极小值5(5)4ef，所以函数()f x在区间0,6上的最大值为6e，最小值为54e 20将 10 株某种果树的幼苗分种在 5 个坑内，每坑种 2 株，每株幼苗成活的概率为 0.5 若一个坑内至少有 1 株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种 1 个坑需 20 元，用 X表示补种费用(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求 5 个坑中恰有 2 个坑需要补种的概率；(3)求 X 的数学期望【答案】(1)34(2)135512(3)25 元 【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得 E Y，再由数学期望的性质求得()E X，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是 2 株幼苗中至少有 1 株成活，所以其概率2212131 C24P.（2）由（1）得每坑要补种的概率1114P，所以 5 个坑中恰有 2 个坑需要补种的概率2322513135C44512P .（3）设 5 个坑中需要补种的坑数为Y，则Y服从二项分布，即15,4YB，所以15()544E Y 而20XY，故()20()25E XE Y（元），所以 X的数学期望为25元.21为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；答对得分，答错不得分；四轮答题中，每类题最多选择两次四轮答题得分总和不低于 10第 13 页 共 16 页 分进入决赛选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题 中等题 难题 答对概率 0.7 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 (1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为 X，求随机变量 X的数学期望【答案】(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172 【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到 X的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将 X的每一个取值的概率求出，从而得到 X的的分布列，从而求得 X的数学期望【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于 10 分的概率为10.7 0.70.49P；方案二：都选择难题，则总得分不低于 10 分的概率为20.3 0.30.09P；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于 10 分的概率为：30.7 0.30.21P；因为132PPP，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X的可能取值为 3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P XP X，11331177(8),(11)221040221040P XP X，11331133(12)2,(16)221020221040P XP X，所以 X的分布列为：第 14 页 共 16 页 X 3 7 8 11 12 16 P 740 720 340 740 320 340 所以77373317()3781112164020404020402E X .222022 年 2 月 4 日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕 冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步 当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为 5 元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a元(58)a的税收，预计当每件产品的售价定为x元(1317)x时，一年的销售量为2(18)x万件，(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；(2)求出L的最大值()Q a【答案】(1)2(10)(18),13,17Lxaxx(2)348,56.5277,6.58aaQ aaa 【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L求导，令0L得3823ax或18x，讨论3823a与区间13,17的位置情况判断L的符号，进而确定L的单调性，即可求得最大值【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x元(1317)x，而每件产品的成本为 5 元，且每件产品需向税务部门上交(5)a元(58)a，所以商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：2(10)(18),13,17Lxaxx（2）2(10)(18),13,17Lxaxx，(3823)(18)Laxx，令0L，解得：3823ax或18x，而58a，则38216183a，当38216173a，即56.5a时，当38213,3ax时，0L，L单调递增，第 15 页 共 16 页 当382,173ax时，0L，L单调递减，当3823ax时，L取最大值34(8)27a；当38217183a，即6.58a时，当13,17x时，0L，L单调递增，当17x 时，L取最大值7a，综上，348,56.5277,6.58aaQ aaa 23已知函数 e3xf xax在0 x 处的切线为=2y(1)求实数 a的值及函数 f x的极值；(2)用 t表示不超过实数 t的最大整数，如：0.80,1.42，若0 x 时，()e2xtxt 恒成立，求 t的最大值【答案】(1)1a；极小值为2，无极大值(2)2 【分析】（1）利用导数的几何意义得到 00f，从而求得1a，进而利用导数与函数的极值的关系求得 f x的极值；（2）将问题转化为e2e1xxxt恒成立问题，结合（1）中结论得到 g x在(0,)上有唯一零点，且012x，从而求得 0min1g xx，由此求得 t的最大值【详解】（1）根据题意，易得函数 f x的定义域为R，因为()exfxa，由已知得 00fk，即0e0a，则1a，所以 e3xxf x，e1xfx，令0fx，得0 x；令()0fx，得0 x；所以函数 f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以函数 f x的极小值为 02f，无极大值（2）因为当0 x 时，e10 x，故不等式()e2xtxt 等价于e2e1xxxt，第 16 页 共 16 页 令e2()e1xxxg x，则2ee3()e1xxxxg x，mintg x，由（1）得 e3xxf x 在(0,)上单调递增，又因为2(1)e 1 30,(2)e230ff，所以 f x在(0,)有唯一零点0 x，且012x，所以 g x在(0,)上有唯一零点，且012x，又当00,xx时，0f x，则()0g x；当0,xx时，0f x，则()0g x，所以 g x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，所以 g x的最小值为 0ming xg x，由 00gx得00e3xx，所以 00000000321e22e1xxxgxxxxx，因为012x，所以 023g x，因为 mintg x，所以 t的最大值为 2【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理