2023届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 20 页 2023 届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1设集合2ln143 0AxxBx xx，则 ABR()A(3),B(0,3)C(0,3 D(0,e)【答案】B【分析】根据对数不等式解法求出集合 A，根据二次不等式解法求出集合 B，从而根据集合补集和并集的概念即可得到答案【详解】ln1lnlne0eAxxxxxx，243 03101Bx xxx xxx x或3x，13BxxR，则03ABxxR 故选：B 2已知 f x是定义域在R上的奇函数，且满足11f xf x当0,1x时，21xf x，则2log 3f（）A73 B73 C4 D4【答案】A【分析】首先得到函数的周期性，再根据奇函数的性质计算可得；【详解】解：由11f xf x得 2f xf x，所以 f x是周期为 2 的周期函数，且 f x是定义域在R上的奇函数，所以 fxf x，所以2223log 3log 32log4fff24log322447loglog21333ff ，故选：A 3设5log 4a，则151log3b，0.20.5c，则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dca2.因此，实数m的取值范围是2m m 或2m.故答案为：2m m 或2m.第 11 页 共 20 页 14赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若DEF的面积为3，且3 3tan5CAF，则ABC的面积为_ 【答案】1334#13 34【分析】由DEF的面积解出2EF，设AFx，在ACF中利用正弦定理建立等式，解出1x，得13AC，计算三角形面积.【详解】在DEF中，213sin60324DEFSEF DFEF，则2EF，设AFx，则CEx，在ACF中，sinsinCFAFCAFACF，由CAF为三角形内角，且sin3tan30cos5CAFCAFCAF，因为22sincos1CAFCAF，得3 39sin26CAF，5 13cos26CAF，3139sinsin sincossin32226ACFCFACAFCAFCAFCAF，所以2sinsin3xxCAFCAF，即23 39392626xx，解得1x，在ACF中，sinsinCFACCAFAFC，即3sinsin120ACCAF，则13AC，21313sin603244ABCSAB ACAC 故答案为：1334 15已知函数 sin0,0f xx 在一个周期内的图象如图所示，图中 102f，5012f，则512f_.第 12 页 共 20 页 【答案】32【分析】根据图象和已知信息求出 f x的解析式，代值计算可得512f的值.【详解】由已知可得 1sin20 f，f x在0 x 处附近单调递增，且0，故6，又因为点5,012是函数 sin6f xx在y轴右侧的第一个对称中心，所以，5126，可得2，故 sin 26f xx，因此，523sinsinsin123332f .故答案为：32.16已知0a，0b，242ln 211log961log 729ln24abb，则2ab的最小值为_.【答案】296【分析】利用换底公式和对数计算公式进行化简，得到21 3127ab，然后用基本不等式求最小值即可.【详解】原式化简22222log21log31log 27log21 31log 27abab，21 3127ab，12717172922131221 3122723636366ababab，当且仅当52a，76b 时取“”号 故答案为：296.四、解答题 17已知函数()yf x(R)x是偶函数当0 x 时，2()2f xxx 第 13 页 共 20 页(1)求函数 f x的解析式；(2)若函数 f x在区间,2a a上单调，求实数a的取值范围；(3)当1a 时，记 f x在区间,2a a上的最小值为()g a，求()g a的表达式【答案】(1)222,0()2,0 xx xf xxx x(2)3a a 或1a (3)21,112,1ag aaa a 【分析】（1）设0 x，则0 x，求得2()2fxxx，结合函数为偶函数，即可求解；（2）由 f x的图象可得 f x的单调区间，可得,2(,1a a 或,21,)a a 根据包含关系列不等式即可求解；（3）分11a 和1a 结合 f x的图象以及单调性求 f x的最小值即可求解.【详解】（1）设0 x，则0 x，可得22()()2()2fxxxxx，又由 f x为偶函数，所以()()fxf x，所以当0 x 时2()2f xxx，所以222,0()2,0 xx xf xxx x.（2）作出函数 f x的图象如图：可得 f x的增区间为1,)，1,0，减区间是(,1，0,1，又函数 f x在区间,2a a上具有单调性，所以,2(,1a a 或,21,)a a，即21a或1a，解得：3a 或1a，故实数a的取值范围是3a a 或1a 第 14 页 共 20 页 （3）当11a 时，123a，此时 2min()(1)12 11g af xf ，当1a 时，f x在区间,2a a上单调递增，所 2min()()2g af xf aaa，所以 21,112,1ag aaa a .18已知函数 2cossin 23cos2 sinsin2 sin62f xxxx，且 f x的图象关于5,012对称.(1)求4f的值；(2)将 f x图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移12个单位长度，得到函数 g x的图象.若 g x在0,m上的值域为1,2，求m的取值范围.【答案】(1)3(2),6 3 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简，再根据函数的对称性求出，即可得函数 f x的解析式，即可得解；（2）根据周期变换和平移变换求出函数 g x的解析式，再根据函数的值域列出不等式，从而可得出答案.【详解】（1）解：由题意得 312cossin 22sincos2sin2622f xxxx 2cossin 22sincos 266xx 第 15 页 共 20 页 2sin 26x，因为 f x的图象关于5,012对称，所以52126kkZ，即3kkZ，又2，所以3，所以 2sin 26fxx，故22sin343f；（2）解：由题意得 2sin 42sin 41266g xxx，因为0,xm，所以4,4666xm，因为 g x在0,m上的值域为1,2，所以74266m，得63m，故m的取值范围为,6 3.19如图，四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为矩形，1DD 平面ABCD，E，F分别是1BB，1DC的中点，1DA，12DCDD.（1）求证：/EF平面ABCD；（2）求直线1DC与平面EAD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】（1）取CD的中点G，连接FG，BG，证明四边形FGBE是平行四边形得出/EF BG即可证明；第 16 页 共 20 页（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1DC和平面EAD的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】解：（1）证明：取CD的中点G，连接FG，BG.因为F是1DC的中点，所以1FG/CC，112FGCC.因为E是1BB的中点，所以1/EB CC，112EBCC.所以/FG EB，FGEB.所以四边形FGBE是平行四边形.所以/EF BG.因为EF 平面ABCD，BG 平面ABCD，所以/EF平面ABCD.（2）因为底面ABCD为矩形，1DD 平面ABCD，所以DADC，1DDDA，1DDDC.以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，1DD为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.因为1DA，12DCDD，所以0,0,0D，1,0,0A，1,2,1E，10,2,2C.所以1,0,0DA，1,2,1DE，10,2,2DC.设平面EAD的法向量为,nx y z，所以00n DAn DE，即020 xxyz，令1y，则2z .所以0,1,2n.第 17 页 共 20 页 所以1210cos,102 25DC n.所以直线1DC与平面EAD所成角的正弦值1010.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20已知数列 nb是首项为1的等差数列，数列 na满足1310nnaa，且321ba，11a (1)证明12na是等比数列(2)nnnca b，求数列 nc的前n项和nT【答案】(1)证明见解析(2)121 32138nnnn nT 【分析】（1）由1310nnaa 得1113()22nnaa，即可证明数列为等比数列；（2）计算 na，nb的通项公式，用分组求和与错位相减法求和求nc的前 n项和.【详解】（1）证明：因为1310nnaa，所以131nnaa，所以1113()22nnaa，又11113120,0,312222nnnaaaa，所以数列12na是首项为32，公比为3的等比数列（2）由 1知11333222nnna，所以312nna，3213ba，设等差数列 nb的公差为 d，1d，所以11nbnn ，所以313222nnnnnnncabn，211(1 32 33)(123)22nnTnn 21(1)(1 32 33)24nn nn ，令21 32 33nnSn ，2131 3133nnnSnn ，第 18 页 共 20 页 两式相减，得21113(1 3)13233333()31 322nnnnnnSnnn ，所以1(21)334nnnS，111(21)33(1)(21)32(1)32448nnnnn nnn nT.21已知函数3()sincoscos2.2f xxxx(1)求函数()f x的最小正周期及函数的单调递增区间；(2)求函数()f x在0,2上的值域【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为5,(Z)1212kkk(2)3,12 【分析】（1）利用倍角公式辅助角公式化简，根据公式求函数最小正周期，根据正弦函数的性质求得单调区间（2）由题意可得 22,333x，利用正弦函数的单调性求值域.【详解】（1）313()sincoscos2sin2cos2sin 22223f xxxxxxx，()f x的最小正周期 22T；令 2 22(Z)232kxkk，解得：5(Z)1212kxkk，()f x的单调递增区间为5,(Z)1212kkk；（2）当 02x时，22333x，3sin(2)123x，3()12f x，即()f x在 0,2上的值域为3,12.22已知函数 ln()2f xxaxaR.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 2exg xx，且当(0,)x时 f xg x恒成立，求a的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）e 3.第 19 页 共 20 页【分析】（1）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx的正负得单调性；（2）不等式采取分离参数法化为2eln2xxxax，引入新函数2eln2()xxxG xx，利用导数求得()G x的最小值(1)e3G，从而得出结论【详解】解:（1）由题可知 1 0fxa xx.当0a 时0fx，所以 f x在(0,)上单调递增，当a0时，令 0fx，可得1xa，当10,xa时，()fx，()f x单调递增，当1,xa 时，()0fx，()f x单调递减.综上，当0a 时，()f x在0,上单调递增；当a0时，()f x在10,xa上单调递增，在1,xa 上单调递减.（2）由(0,)x时 f xg x恒成立，可得2eln2xxxax恒成立.设2eln2()xxxG xx，则222(1)e(1)lne(1)ln1()xxxxxxxxG xxx.令 e1xxx，则 1exx，因为0 x，所以 0 x，所以 x在(0,)上单调递增，所以 00 x，即e1xx.因为e10 xx，当0,1x时，10 x，ln0 x，当(1,)x时，10 x，ln0 x，所以在0,1上 0G x，G x单调递减，在(1,)上 0G x，G x单调递增，所以在(0,)上，1e3G xG.所以e 3a .所以a的最大值为e3.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，由不等式恒成立求参数范围解题关键是掌握导数与单调性的关系，解题方法是求出导函数()fx，然后由()0fx得增区间，()0fx得减区间，含有参数时一般需要分类讨论，而对不等式恒成立问题的处理方法之一是用分离参数法变形不等式，然后引入新函数，由导数求得新函数的最值，从而得出参数范围难点在于求新函数最值或单调性时，第 20 页 共 20 页 需要对新函数的导数进行二次求导（对其中一部分形成的函数求导确定单调性、正负、零点等等），经过反复运算最终得出最值