2023届江苏省南京天印高级中学高三下学期一模考试数学试题(解析版).pdf

第1页（共21页）2022-2023 学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷 一选择题（共 8 小题）1“xx|log3（2x）1”是“xx|x1|1”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 2已知复数 z 在复平面内对应的点都在射线 y3x（x0）上，且|z|，则 z 的虚部为（）A3 B3i C3 D3i 3在五边形 ABCDE 中，M，N 分别为 AE，BD 的中点，则（）A B C D 4衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A B C D 5某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为 6 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A144 B72 C36 D24 6已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到 f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则 等于（）第2页（共21页）A B C D 7某圆锥母线长为 2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A2 B C D1 8已知 e2.71828 是自然对数的底数，设 a，b，cln2，则（）Aabc Bbac Cbca Dcab 二多选题（共 4 小题）（多选）9对于两条不同直线 m，n 和两个不同平面，下列选项中正确的为（）A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn 或 mn C若 m，则 m 或 m D若 m，mn，则 n 或 n（多选）10已知函数 f（x），则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数 Bf（f（）1 Cf（x）是增函数 Df（x）的值域为1，+）（多选）11提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766 年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列an：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位 AU为单位）现将数列an的各项乘 10 后再减 4，得到数列bn，可以发现数列bn从第 3 项起，每项是前一项的 2 倍，则下列说法正确的是（）A数列bn的通项公式为 bn32n2 第3页（共21页）B数列an的第 2021 项为 0.322020+0.4 C数列an的前 n 项和 Sn0.4n+0.32n10.3 D数列nbn的前 n 项和 Tn3（n1）2n1（多选）12定义在（0，+）上的函数 f（x）满足 2f（x）+xf（x），f（1）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在 x处取得极大值，极大值为 Bf（x）有两个零点 C若 f（x）k在（0，+）上恒成立，则 k Df（1）f（）f（）三填空题（共 4 小题）13在二项式（13x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于 64，那么在这个展开式中，x2项的系数是 （用数字作答）14抛物线 C：x22py，其焦点到准线 l 的距离为 4，则准线 l 被圆 x2+y26x0 截得的弦长为 15若直线 y2x+与曲线 yax 相切，则 a 16已知椭圆 C：的两个焦点为 F1（2，0）和 F2（2，0），直线 l 过点 F1，点F2关于 l 的对称点 A 在 C 上，且6，则 C 的方程为 四解答题（共 6 小题）17已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1+2Sn13Sn（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA（1）若 a，c，求 b 的值；（2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D，a2，求ACD 的面积 192020 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为 3：2用分层抽样的方法，收 第4页（共21页）集了 100 户家庭 2019 年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过 1.5 万元的有 10 户居住在山区（1）完成 2019 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为该县 2019年家庭年收入超过 1.5 万元与地区有关 超过 1.5万元 不超过1.5 万元 总计 平原地区 山区 10 总计 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k）0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828（2）根据这 100 个样本数据，将频率视为概率 为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 2020 年 9 月到 12 月，每月从该县 2019 年家庭年收入不超过 1.5 万元的家庭中选取 4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X）20如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为 2 的菱形，BC1，AC，（1）证明：平面 A1BC平面 ABB1A1；（2）若 ACA1C，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 第5页（共21页）21在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别 F1、F2焦距为 2，且与双曲线y21 共顶点P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值 22已知函数 f（x）aexx2（aR）（其中 e2.71828 为自然对数的底数）（1）当 a1 时，求证：函数 f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的 x0，+）恒成立，求实数 a 的取值范围 第6页（共21页）2022-2023 学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题）1“xx|log3（2x）1”是“xx|x1|1”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要【解答】解：由 log3（2x）1 得 02x3，得3x20，得1x2，即 A1，2），由|x1|1 得1x11 得 0 x2，即 B0，2，则 xA 是 xB 的既不充分也不必要条件，故选：D 2已知复数 z 在复平面内对应的点都在射线 y3x（x0）上，且|z|，则 z 的虚部为（）A3 B3i C3 D3i【解答】解：因为复数 z 在复平面内对应的点都在射线 y3x（x0）上，设 za+3ai，aR，a0，所以|z|，解得 a1，故复数 z1+3i，所以 z 的虚部为 3 故选：A 3在五边形 ABCDE 中，M，N 分别为 AE，BD 的中点，则（）A B C D【解答】解：因为，M，N 分别为 AE，BD 的中点，所以 故选：C 4衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）第7页（共21页）A B C D【解答】解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶 一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，基本事件总数 n6，其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件个数 m3，则恰好有一袋垃圾投对的概率为 P 故选：D 5某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为 6 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A144 B72 C36 D24【解答】解：由正六棱柱的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即 BF，BE，可得正六边形的底面边长为 AB6214，则正六棱柱的底面积为 S6，则此包装盒的体积为 V 故选：B 6已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到 f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则 等于（）第8页（共21页）A B C D【解答】解：已知函数 g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到 f（x）的图象，则 f（x）sin（2x+），由，得|AB|BC|cosABC|AB|2，2|AB|BC|，cosABC，则ABC120，过 B 作 BEx 轴于 E，则 BE，AE3，即周期 T12，即12，得，故选：A 7某圆锥母线长为 2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A2 B C D1【解答】解：截面为SMN，F 为 MN 的中点，设 OFx（0 x），所以 SO1，故，所以当 x1 时，SSMN2，此时的截面面积最大 故选：A 8已知 e2.71828 是自然对数的底数，设 a，b，cln2，则 第9页（共21页）（）Aabc Bbac Cbca Dcab【解答】解：已知 e2.71828 是自然对数的底数，a，b，cln2，设 f（x），则 f（x），当 0 x时，f（x）0，函数 f（x）在 0 x上是增函数，当 x时，f（x）0，函数 f（x）在 x上是减函数，af（3），bf（2），而23，所以 ba，又因为 exx+1，x1，为常用不等式，可得，令 g（x）lnx，g（x），当 xe 时，g（x）0，函数 g（x）在 xe 上是减函数，故 g（2）g（e）0，则ln2，即ln2，则 cb，故：abc 故选：A 二多选题（共 4 小题）（多选）9对于两条不同直线 m，n 和两个不同平面，下列选项中正确的为（）A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn 或 mn C若 m，则 m 或 m D若 m，mn，则 n 或 n【解答】解：由两条不同直线 m，n 和两个不同平面，知：对于 A，若 m，n 且，则由线面垂直、面面垂直的性质得 m，n 一定垂直，第10页（共21页）故 A 正确；对于 B，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 B 错误；对于 C，若 m，则由线面平行、面面平行的性质得 m 或 m，故 C 正确；对于 D，若 m，mn，则由线面垂直的性质得 n 或 n，故 D 正确 故选：ACD（多选）10已知函数 f（x），则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数 Bf（f（）1 Cf（x）是增函数 Df（x）的值域为1，+）【解答】解：函数 f（x），其图像如图，由图可得，f（x）不是偶函数，也不是增函数，故 AC 错误，f（x）的最小值为1，无最大值，故值域为1，+），D 正确，f（）cos（）0，f（f（）f（0）1，即 B 成立，故选：BD（多选）11提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766 年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列an：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位 AU为单位）现将数列an的各项乘 10 后再减 4，得到数列bn，可以发现数列bn从第 3 项起，每项是前一项的 2 倍，则下列说法正确的是（）A数列bn的通项公式为 bn32n2 B数列an的第 2021 项为 0.322020+0.4 C数列an的前 n 项和 Sn0.4n+0.32n10.3 D数列nbn的前 n 项和 Tn3（n1）2n1 第11页（共21页）【解答】解：数列an各项乘 10 再减 4 得到数列bn：0，3，6，12，24，48，96，192，故该数列从第 2 项起构成公比为 2 的等比数列，所以，故选项 A 错误；所以，所以，故选项 B 错误；当 n1 时，S1a10.4，当 n2 时，当 n1 时，S10.4 也适合上式，所以，故选项 C 正确；因为，所以当 n1 时，T1b10，当 n2 时，Tnb1+2b2+3b3+nbn0+3（220+321+422+n2n2），则，所以可得，所以，又当 n1 时，T1也适合上式，所以，故选项 D 正确 故选：CD（多选）12定义在（0，+）上的函数 f（x）满足 2f（x）+xf（x），f（1）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在 x处取得极大值，极大值为 Bf（x）有两个零点 第12页（共21页）C若 f（x）k在（0，+）上恒成立，则 k Df（1）f（）f（）【解答】解：对 A，2f（x）+xf（x），且 x（0，+），可得 2xf（x）+x2f（x），可得：x2f（x），故 x2f（x）lnx+c（c 为常数），f（1）0 可得：12f（1）ln1+c，求得：c0，故 x2f（x）lnx，整理可得：f（x），x（0，+），f（x），当 12lnx0，即 lnxln，解得 0 x，f（x）0，此时 f（x）单调递增，当 12lnx0，即 lnxln，解得 x，f（x）0，当 12lnx0，即 lnxln，解得：x，f（x）0，此时 f（x）单调递减，x，f（x）取得极大值，f（），故 A 正确；对 B，x0+，f（x）0，x，f（），x+，f（x）0，画出 f（x）草图：如图：根据图象可知：f（x）只有一个零点，故 B 说法错误；对 C，要保证 f（x）k 在（0，+）上恒成立，第13页（共21页）即：保证 f（x）+k 在（0，+）上恒成立，f（x），可得+k 在（0，+）上恒成立，故只需 k，令 G（x）+，G（x），当 0 x时，G（x）0，当 x时，G（x）0，当 x时，G（x）0，则 G（x）maxG（），k，故 C 说法正确，对 D，根据 0 x，f（x）单调递增，x，f（x）单调递减，1，可得 f（1）f（），又f（），f（），f（2）f（），故 f（1）f（）f（2）f（），故 D 说法正确 综上所述，正确的说法是：ACD 故选：ACD 三填空题（共 4 小题）13在二项式（13x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于 64，那么在这个展开式中，x2项的系数是 135 （用数字作答）【解答】解：在（13x）n中，令 x1 得所有项的系数之和为（2）n，（2）n64，解得 n6（13x）6的展开式的通项为 Tr+1（3）rC6rxr令 r2 得展开式中含 x2项的系数是 135 故答案为 135 14抛物线 C：x22py，其焦点到准线 l 的距离为 4，则准线 l 被圆 x2+y26x0 截得的弦长为 2 【解答】解：抛物线 C：x22py，其焦点到准线 l 的距离为 4，可得 p4，所以抛物线的准线方程为 y2，第14页（共21页）圆 x2+y26x0 的圆心（3，0），半径为 3，所以准线 l 被圆 x2+y26x0 截得的弦长为 22，故答案为：2 15若直线 y2x+与曲线 yax 相切，则 a 3 【解答】解：设切点为（m，n），yax 的导数为 yx2a，可得切线的斜率为 m2a，由切线的方程 y2x+，可得 m2a2，2m+m3am，解得 a3，m1，故答案为：3 16已知椭圆 C：的两个焦点为 F1（2，0）和 F2（2，0），直线 l 过点 F1，点F2关于 l 的对称点 A 在 C 上，且6，则 C 的方程为 【解答】解：因为 A 与 F2关于直线 l 对称，所以直线 l 为 AF2的垂直平分线，所以|AF1|F1F2|4，由椭圆的定义可得|AF2|2a4，设直线 l 与 AF2交于点 M，则 M 为 AF2的中点，且，所以（）（）（2+3）2+33 3|，解得 a3 或 1（舍去），所以 a3，b2a2c25，则 C 的方程为：，故答案为：四解答题（共 6 小题）第15页（共21页）17已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1+2Sn13Sn（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）由题意，设等比数列an的公比为 q，则当 q1 时，Sn+1+2Sn1（n+1）a1+2（n1）a13n1，3Sn3na13n，Sn+1+2Sn13Sn，显然 q1 不符合题意，故 q1，当 q1 时，Sn，Sn+1，Sn1，Sn+1+2Sn13Sn，+23，即 1qn+1+2（1qn1）3（1qn），化简，得 qn1（q2）（q1）0，q1 且 q0，q2，an12n12n1，nN*（2）由（1）知，Sn，Sn+1，则，Tnb1+b2+bn+1 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA（1）若 a，c，求 b 的值；第16页（共21页）（2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D，a2，求ACD 的面积【解答】解：（1）因为 tanA，所以 cosA，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA7，即 b23b40，解得 b4 或 b1（舍），（2）因为，所以，因为CADBAD，所以，因为 a2，由余弦定理得，故 c2，所以 SABC，ACD 的面积 SACD 192020 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为 3：2用分层抽样的方法，收集了 100 户家庭 2019 年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过 1.5 万元的有 10 户居住在山区（1）完成 2019 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为该县 2019年家庭年收入超过 1.5 万元与地区有关 超过 1.5万元 不超过1.5 万元 总计 平原地区 第17页（共21页）山区 10 总计 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k）0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828（2）根据这 100 个样本数据，将频率视为概率 为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 2020 年 9 月到 12 月，每月从该县 2019 年家庭年收入不超过 1.5 万元的家庭中选取 4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X）【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超过 1.5 万元的频率为（0.5+0.4+0.1）0.50.5，所以超过 1.5 万元的户数有 1000.550 户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为 3：2，抽取了 100 户，故平原地区的共有 60 户，山区地区的共有 40 户，又样本中家庭年收入超过 1.5 万元的有 10 户居住在山区，所以超过 1.5 万元的有 40 户居住在平原地区，不超过 1.5 万元的有 20 户住在平原地区，有 30 户住在山区地区，故 2019 年家庭年收入与地区的列联表如下：超过 1.5 万元 不超过 1.5 万元 总计 平原地区 40 20 60 山区 10 30 40 总计 50 50 100 则K2 第18页（共21页），所以有 99.9%的把握认为该县 2019 年家庭年收入超过 1.5 万元与地区有关；（2）由（1）可知，选 1 户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X 的可能取值为 0，1，2，3，4，所以 P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 因为 X 服从二项分布 XB（4，），所以 X 的数学期望 E（X）20如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为 2 的菱形，BC1，AC，（1）证明：平面 A1BC平面 ABB1A1；（2）若 ACA1C，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【解答】（1）证明：因为侧面 BCC1B1是矩形，所以 BCBB1，又因为 BC1，AB2，AC，所以 BC2+AB2AC2，所以 BCAB，又 ABBB1B，所以 BC平面 ABB1A1，第19页（共21页）又因为 BC平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 ABB1A1；（2）解：取 AA1的中点 M，连接 CM，BM，因为 ACA1C，所以 CMAA1，又因为 CB平面 ABB1A1，所以 BMAA1，且 CMBMM，所以 AA1平面 BCM；因为 CM2，所以 BM，所以三棱柱 ABCA1B1C1的体积为：VSBCMAA1BMBCAA112 21在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别 F1、F2焦距为 2，且与双曲线y21 共顶点P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值【解答】解：（1）由题意得 c1，a22（2 分）故椭圆的方程为（3 分）（2）因为 P（0，1），F1（1，0），所以 PF1的方程为 xy+10 由，解得点 Q 的坐标为 （5 分）设过 P，Q，F2三点的圆为 x2+y2+Dx+Ey+F0（6 分）则解得 所以圆的方程为（8 分）第20页（共21页）（3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即 所以，解得（10 分）所以（12 分）因为，所以，当且仅当，即 1 时，取等号最大值为 （14 分）22已知函数 f（x）aexx2（aR）（其中 e2.71828 为自然对数的底数）（1）当 a1 时，求证：函数 f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的 x0，+）恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）证明：a1 时，f（x）exx2，f（x）ex2x，设 g（x）f（x）ex2x，则 g（x）ex2，令 g（x）0，解得：xln2，故 g（x）在区间（，ln2）递减，在（ln2，+）递增，故 g（x）的最小值是 g（ln2）22ln2，即 f（x）对任意 xR 恒成立，故函数 f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意 x0，+），ln（x+1）x，exx2+x+1，令 h（x）ln（x+1）x，h（x）1，令 h（x）0，解得：x0，故 h（x）在区间（1，0）递增，在（0，+）递减，故 h（x）h（0）0，故 ln（x+1）x，令 p（x）exx2x1，p（x）ex2xm（x），m（x）ex2，令 m（x）0，解得 xln2，故 m（x）在区间（，ln2）递减，在区间（ln2，+）递增，第21页（共21页）故 m（x）m（ln2）0，故 p（x）0，p（x）递增，故 p（x）p（0）0，故 exx2+x+1，x0，+），f（x）ln（x+1）+cosx 对于任意 x0，+）恒成立，f（0）ln（0+1）+cos01，故 a1，当 a1 时，f（x）ln（x+1）cosx aexx2ln（x+1）cosxexx2ln（x+1）cosx x2+x+1x2ln（x+1）cosxxln（x+1）+1cosx xx+1cosx1cosx0，即对于任意的 x0，+）恒成立，综上，a 的取值范围是（1，+）