2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 26 页 2022-2023 学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期 12 月联考数学试题 一、单选题 1已知直线斜率为33，则直线的倾斜角为（）A56 B23 C3 D6【答案】A【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.【详解】设倾斜角为，依题意3tan3，由于0，所以56.故选：A 2设抛物线2:8C xy的焦点为F，点P在C上，0,6Q，若PFQF，则PQ（）A4 2 B4 C4 3 D6【答案】A【分析】根据题意，结合焦半径公式得4,2P，再计算PQ即可.【详解】解：由题知抛物线2:8C xy的焦点为0,2F，因为0,6Q，所以4PFQF，因为点P在C上，所以，由焦半径公式得42PPFQFy，解得2Py，所以，4,2P，4 2PQ.故选：A 3如图，正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别是所在棱的中点，设经过,M N P的平面与平面11ADD A的交线为l，则l与直线1BC所成的角为（）第 2 页 共 26 页 A30 B45 C60 D90【答案】D【分析】通过线面之间的关系，在面上延长一部分线，题目条件中实实在在的线，补全立体图形，找到平面MNP与平面11ADD A的交线l，再将1BC平移到1A D，在同一个平面中，去求直线l与直线1BC所成的角.【详解】如图，延长MN交CD于E，连接PE交1DD于H，取DC的中点F，连接FM与FP，由三角形相似知H是1DD的中点，连接NH，NH即为所求的 l，由正方体可知11lADBC，又正方形11BCC B中11BCBC，第 3 页 共 26 页 1lBC，l与直线1BC所成的角为90，故选：D.【点睛】本题为立体几何线线角关系问题，当两个平面的交线没有直接画出时，需要我们利用题目所给条件来补出图形，将两条直线通过平移变换等手段，在同一个平面中处理其角度问题，对学生的空间想象力要求较高，学会几何中线线基本关系来处理线线角，为中档题.4如图，在棱长为1的正四面体OABC中，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OMMA，2CNNB，则MN等于（）A63 B23 C53 D2 39【答案】C【分析】由题知121333MNabc，再求向量的模即可.【详解】解：设OA a，OB b，OCc，点M在OA上，且2OMMA，2CNNB，1133OMOAa，121333ONOBBNOBOCOBbc，121333MNONOMabc，又空间四面体OABC的棱长均为1，1abc，,3a bb ca c 22222121141442333999999MNabcabca bb ca c 14141412159999292929 所以，53MN 故选:C 5设mR，过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)P x y，则第 4 页 共 26 页 PAPB的最大值是（）A4 B10 C5 D10【答案】C【分析】由题意可知两条动直线经过定点(0,0)A、()1,3B，且始终垂直，有PAPB，利用勾股定理求出|AB，再利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可知，动直线0 xmy经过定点(0,0)A，动直线30mxym即(1)30m xy，经过定点()1,3B，因为110 mm，所以动直线0 xmy和动直线30mxym始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，222|10PAPBAB，故22|52PAPBPAPB（当且仅当|5PAPB时取“”)，故选：C 6瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若ABC满足ACBC，顶点1,0A，1,2B，且其“欧拉线”与圆 M：2223xyr相切，则下列结论正确的是（）A圆 M上的点到原点的最大距离为32 B圆 M上不存在三个点到直线10 xy 的距离为2 C若点,x y在圆 M 上，则1yx的最小值是2 D若圆 M 与圆222xya有公共点，则3,3a 【答案】D【分析】由题意求出AB的垂直平分线可得ABC的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得r，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断 A；求出圆心到直线10 xy 的距离判断 B；再由1yx的几何意义，即圆上的点与定点(1,0)P 连线的斜率判断 C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得a的取值范围可判断 D.【详解】对于 A，由题意可得ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，因为1,0A，1,2B，所以AB的中点坐标为(0,1)，2011 1ABk ，所以线段AB的垂直平分线方程为1yx，即10 xy，第 5 页 共 26 页 因为“欧拉线”与圆 M：2223xyr相切，所以3 12 22r，所以圆 M：2238xy，所以圆 M上的点到原点的最大距离为32 2，所以 A 错误；对于 B，因为圆心(3,0)M到直线10 xy 的距离为3 122d，而圆的半径为2 2，所以圆 M上存在三个点到直线10 xy 的距离为2，所以 B 错误；对于 C，1yx表示圆上的点(,)x y与定点(1,0)P 连线的斜率，设过(1,0)P 与圆相切的直线方程为(1)yk x，即0kxyk，则 232 21kkk，解得1k ，所以1yx的最小值为1，所以 C 错误，对于 D，圆222xya的圆心为(0,)a，半径为2，因为圆 M：2238xy的圆心为(3,0)M，半径为2 2，所以要使圆 M与圆222xya有公共点，则只要圆心距的范围为 2,3 2，所以22233 2a，解得33a，所以 D 正确，故选：D.7已知点 P在圆225516xy上，点4,0A，0,2B，则错误的是（）A点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C当PBA最小时，3 2PB D当PBA最大时，3 2PB 【答案】B【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断选项 A 与 B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足PBA最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得PB判断选项 C 与 D【详解】圆22(5)(5)16xy的圆心为(5,5)C，半径为 4，直线AB的方程为142xy，即240 xy，圆心C到直线AB的距离为22|5254|1111 545512，第 6 页 共 26 页 则点P到直线AB的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105，所以点P到直线AB的距离小于 10，但不一定大于 2，故选项 A 正确，B 错误；如图所示，当ABP最大或最小时，PB与圆相切，(P点位于1P时PBA最小，位于2P时PBA最大），连接CP，BC，可知PCPB，22|(05)(25)34BC，|4CP，由勾股定理可得22|3 2BPBCCP，故选项 CD 正确 故选：B 8 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家 Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A B C D 第 7 页 共 26 页【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点 P作平行于12OO 的直线，与球1O 交于 F 点，与球2O 交于 E点，则PE，2PF 是过点 P作球2O 的两条公切线，2PEPF，同理1PFPF，1212PFPFPEPFOO，是定值，所以12,F F 是椭圆的焦点；正确；由以上的推导可知：121122,OOOOa OOa ，1OFc，11O F 平面，11111,O FOFOOF 是直角三角形，2221111O FOFOO，即22211O Fca，11O Fb，正确；11FOO 就是平面 与轴线12OO的夹角，在11Rt OOF 中，椭圆的离心率11cosOFceaOO，由余弦函数的性质可知当锐角 变大时，e 变小，错误；故选：C.二、多选题 9下列说法错误的是（）A若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为 B过不同两点 1122,A x yB x y的直线方程为112121yyxxyyxx 第 8 页 共 26 页 C线段AB的两个端点11,A x y和22,B xy，则以AB为直径的圆的方程为 12120 xxxxyyyy D经过点2,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为30 xy【答案】ABD【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可.【详解】若一条直线的斜率为tan，此时可以为负值，而直线的倾斜角的范围为0,，所以 A 不正确.由直线的两点式方程可知过不同两点 1122,A x yB x y 的直线方程为112121yyxxyyxx，但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故 B 错误.根据221212AyBxxy与 2221212224ABxxyyxy 易得圆的方程为：12120 xxxxyyyy，故C 正确.当截距为0时直线方程为12yx，故 D 错误.故选：ABD.10 圆O的半径为定长,r P是圆O上任意一点，A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点M，当点P在圆上运动时，点M的轨迹可能是（）A一个点 B椭圆 C抛物线 D双曲线【答案】ABD【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为A为圆O内的一定点，P为O上的一动点，线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA，即动点M到两定点,O A的距离之和为定值，当,O A不重合时，根据椭圆的定义，可知点M的轨迹是：以,O A为焦点的椭圆；当,O A重合时，点M的轨迹是圆；（2）当A为圆O外的一定点，P为O上的一动点，第 9 页 共 26 页 线段AP的垂直平分线交直线OP于点M，可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA，即动点M到两定点,O A的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点M的轨迹是：以,O A为焦点的双曲线；（3）当A为圆O上的一定点，P为O上的一动点，此时点M的轨迹是圆心O.综上可得：点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.故选：ABD 11已知12F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且2212AFF B，则该双曲线的离心率为（）A2 33 B3 C2 D2 3【答案】AC【分析】由题意可知：分2212AFF B和2212F AF B两种情况，分别求解，设2a，根据双曲线的几何性质，即可求得b的值，代入离心率公式，即可求解.【详解】如图，当2212AFF B时，设2F OA，则2BOA，设2a，双曲线的渐近线方程为byxa，所以tanba，在2Rt OAF中，2tanAFbOAa，设2,(0)AFbt OAat t，因为22222AFOAOF，所以222()()btatc，又因为222cab，所以1t，则2OAata，22,OFc AFbtb，所以22BFb，则3ABb，33tan,tan 222bbbbaa，第 10 页 共 26 页 所以2222tan4tan2=1tan414bbbb，即23424bbb，则243b，所以222 313cbeaa.如图，当 2212F AF B时，设2F OA，BOA，设2a，2F OB，1()FOB，在2Rt OAF中，2tanAFbOAa，设2,(0)AFbt OAat t，因为22222AFOAOF，所以222()()btatc，又因为222cab，所以1t，则2OAata，22,OFc AFbtb，所以22BFb，则ABb，tan,tan22bbbbaa，所以1tantan()tan()tanFOB，则tantantan()tan1tantan，即222122bbbbb，解得：212b，所以2212cbeaa.故选：AC.12 在直四棱柱中1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，160,2,BADABADAAP为1CC中点，点Q满足1,0,1,0,1DQDCDD.下列结论正确的是（）第 11 页 共 26 页 A若12，则四面体1ABPQ的体积为定值 B若AQ平面1A BP，则1AQC Q的最小值为103 10 C若1ABQ的外心为O，则11AB AO为定值 2 D若17AQ，则点Q的轨迹长度为23【答案】ABD【分析】对于 A，取1,DD DC的中点分别为,M N，由条件确定Q的轨迹，结合锥体体积公式判断 A，对于 B，由条件确定Q的轨迹为MN，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于 C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于 D，由条件确定点Q的轨迹为圆弧23A A，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于 A，取1,DD DC的中点分别为,M N，连接,MN DQAM AN，则12DDDM，2DCDN，1/MN DC，因为1,0,1,0,1DQDCDD，12，所以22DQDNDM，221，所以,Q M N三点共线，所以点Q在MN，因为11/DC AB，1/MN DC，所以1/MN AB,MN平面1A BP，1AB 平面1A BP，所以MN平面1A BP，所以点Q到平面1A BP的距离为定值，因为1A BP的面积为定值，所以四面体1ABPQ的体积为定值，所以 A 正确，第 12 页 共 26 页 对于 B，因为/AMBP，因为AM 平面1A BP，BP 平面1A BP，所以AM平面1A BP，又AQ平面1A BP，AQAMM，,AQ AM 平面AMQ，所以平面/AMQ平面1A BP，取11DC的中点E，连接PE，则1/PE DC，11/DC AB，所以1/PE A B，所以1,A B P E四点共面，所以平面/AMQ平面1ABPE，平面1ABPE平面11DCC DPE,平面1AMQ平面11DCC DMQ,所以/MQ PE，又1/PE DC，所以1/MQ DC，所以点Q的轨迹为线段MN，翻折平面AMN，使其与五边形11MNCC D 在同一平面，如图，则11AQC QAC，当且仅当1,A Q C三点共线时等号成立，所以1AQC Q的最小值为1AC，因为160,2BADABADAA，所以5,2AMMN，2212cos1204 1 2 2 172ANADDNAD DN ，所以222AMMNAN，在1C MN中，115C MC N，2MN，所以222111152510cos210252MCMNNCC MNMCMN，所以2113 10sin1 cos10C MNC MN，所以1113 10coscossin210AMCC MFC MF ，在1AMC中，5AM，15MC，13 10cos10AMC，所以2211113 102cos5525510ACMAMCMA MCAMC ，所以1103 10AC，即1AQC Q的最小值为103 10，所以 B 正确，第 13 页 共 26 页 对于 C，若1ABQ的外心为O，过O作1OHAB于H，因为221222 2AB，所以21111111142AB AOABAHHOAB AHAB，所以 C 错误，对于 D，过1A作111AKC D，垂足为K，因为1DD 平面1111DCBA，1AK 平面1111DCBA，所以11DDAK，因为1111C DDDD，111,C D DD 平面11DDC C，所以1AK 平面11DDC C，因为KQ 平面11DDC C，所以1AKKQ，又在11AKD中，1111112,23ADAKDAD K，所以111cos13KDAD，111sin33AKAD，在1A KQ中，13AK，17AQ，12AKQ，所以2KQ，则Q在以K为圆心，2 为半径的圆上运动，在111,DD DC上取点32,A A，使得13123,1D AD A，则322KAKA，所以点Q的轨迹为圆弧23A A，因为1131,3DKD A，所以323A KA，则圆弧23A A等于23，所以 D 正确，第 14 页 共 26 页 故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题 13 在y轴上的截距为 2 且倾斜角是直线:31lyx 的倾斜角的一半的直线的方程为_.【答案】32yx【分析】根据题意，得到所求直线的斜率和经过的点，利用点斜式，写出所求的直线方程.【详解】直线:31lyx 的斜率为3，设倾斜角为，0,，故23，则23，设所求直线为 l，其y轴上的截距为 2，故 l过点(0,2)，且斜率为tan33，所求直线 l：32yx.故答案为：32yx 14如图，二面角AB的大小为60，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若2,3,4PMMNNQ，则PQ _.【答案】21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQPMMNNQ，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.第 15 页 共 26 页【详解】根据题意，PQPMMNNQ，由二面角l 大小为120，可得,120PM NQ，22()PQPMMNNQ 222222PMMNNQPM MNNQ MNPM NQ 149 162 2 4212 ，所以21PQ，故答案为：21 15已知实数,x y满足2222xyxy，则4yx 的最大值为_.【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将4yx 看作曲线上的点与坐标为4,0的点连线的斜率，求出最大值.【详解】由“x”和“y”代入方程仍成立，所以曲线2222xyxy关于 x 轴和 y轴对称，故只需考虑0 x，0y 的情形，此时方程为2222xyxy，即22112xy，所以,x y的轨迹如下图，044yyxx，表示点,x y和4,0连线l的斜率，由图可知，当l曲线第四象限部分半圆（圆心为1,1，半径为2）相切时，斜率最大.设l：4yk x，则23121kk，解得1k 或17（舍去），所以4yx 的最大值为 1.故答案为：1.16 已知F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，直线2 20 xy与双曲线C相交于,A B两点，第 16 页 共 26 页 若90AFB，则双曲线C的离心率的取值范围是_.【答案】3 26,42【分析】先联立方程根据交点个数可得3 24e，再根据题意结合双曲线的对称性分析可得0F A FA，运算求解即可.【详解】联立方程222212 2xyabxy，消去 x 得：222228a byba 所以2280ba，即222228809caaca，解得3 24e，设,AAAx y，则可得222222888AAa bxyba，取双曲线的左焦点为F，连结,AF BF，由对称性知四边形AF BF为平行四边形，由,0,0FcF c 可得,AAAAF AxyFAxycc，90AFB，则90F AF，20AAAF A FAxcxcy，则222222298AAa bxycba 即222222989acacca，整理得4281890ee，解得612e，综上可得：3 2642e.故双曲线C的离心率的取值范围是3 26,42.故答案为：3 26,42.四、解答题 17求满足下列条件的曲线标准方程：第 17 页 共 26 页(1)两焦点分别为12,0F，22,0F，且经过点61,3P的椭圆标准方程；(2)与双曲线22146xy有相同渐近线，且焦距为2 5的双曲线标准方程.【答案】(1)2213xy(2)22123xy或22132yx 【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.【详解】（1）设所求椭圆的标准方程为222210 xyabab 两焦点分别为12,0F，22,0F，2c 又椭圆过点61,3P，221213ab，又222ab 23a，21b，所以椭圆的标准方程为2213xy.（2）方法一：(i),若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为22221(,0)xym nmn，因为22221(,0)xym nmn与双曲线22146xy有相同渐近线，所以62nm，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c 所以15c，所以22215mnc，联立226,25nmmn 解得222,3,mn则双曲线方程为22123xy，(ii),若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为22221(,0)yxm nmn，因为22221(,0)yxm nmn与双曲线22146xy有相同渐近线，所以62mn，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c 所以15c，所以22215mnc，联立226,25mnmn 解得223,2,mn则双曲线方程为22132yx，第 18 页 共 26 页 双曲线的标准方程为：22123xy或22132yx 方法二：设与双曲线22146xy有相同渐近线的双曲线方程为：2246xy（0）焦距为2 5，5c 465，12 双曲线的标准方程为：22123xy或22132yx 18 已知直线12:10,:40lxylxy，在1l上任取一点A，在2l上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C做1l的平行线l.(1)求直线l的方程；(2)已知两点1,0,0,1MN，若直线l上存在点P使得PMPN最小，求点P的坐标.【答案】(1)20l xy:；(2)(1,1)P.【分析】(1)由条件可得直线l到直线2l距离是直线l到直线1l的距离的两倍，由平行线距离公式列方程求解即可；(2)求点M关于l的对称点，由两点之间线段最短可确定PMPN的最小值及点P的位置.【详解】（1）因为l与直线1l平行，直线1l的方程为10 xy，故可设直线l的方程为01,4xyccc，由已知2BCCA，过点C作直线EFl，交直线1l与点F，交直线2l与点E，因为12/ll，1/ll，所以2CEl，1CFl，因为12/ll，所以CBECAF,又2BCCA，所以2CECF,所以141222cc，则2c 或 2c，结合图形检验可得2c 与条件矛盾，所以2c，故直线l的方程为20 xy；第 19 页 共 26 页 （2）设点M关于直线l的对称点(,)Mx y，则PMPM，所以PMPNPMPNMN，当且仅当,P M N三点共线时等号成立，连接MN与直线l交与P，即点P与点P重合时，PMPN取最小值，由已知，121112022yxxyxy ，所以点M的坐标为2,1，点N的坐标为0,1，所以:1M Ny，联立201xyy可得11xy，所以点P的坐标为(1,1)，故点P的坐标为(1,1)时PMPN最小.19 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，60BAD，点E是AB中点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ADDC，如图 2.(1)求证：1AE 平面BCDE；第 20 页 共 26 页(2)求二面角1BACD的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)427.【分析】（1）1AE 平面1111AEEDBCDEBEEDAEBEBEAEDBEAD面（2）以EB，ED，1EA所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，用向量解决.【详解】（1）在菱形 ABCD 中，60BAD，DEAB于点 E，DEBE，BEDC，DEDC，又1ADDC，1ADDED，1、ADDE平面1ADE，DC 平面1ADE，1AE 平面1ADE，1DCAE，又1AEDE，DCDED，、DCDE平面BCDE，1AE 平面BCDE；（2）1AE 平面BCDE，DEBE，以EB，ED，1EA所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图），则0,0,0E，10,0,2A，2,0,0B，4,2 3,0C，(0,2 3,0)D 12,0,2BA ，2,2 3,0BC，10,2 3,2DA，4,0,0DC 设平面1BAC的法向量为111,mx y z，平面1DAC的法向量为222,xny z 由10BA m，0BC m，得111122022 30 xzxy，令11y，得3,1,3m ，同理10,?0n DAn DC,2222 32040yzx,令21y，可得0,1,3n 第 21 页 共 26 页 27cos,772m nm nm n，求二面角1BACD的平面角的正弦值427.20已知圆22:9O xy，过点1,0P的直线l与圆O交于,A B两点.(1)若35AB，求直线l的方程；(2)记点A关于x轴的对称点为C（异于点,A B），试问直线BC是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)310 xy 或310 xy (2)直线BC过定点9,0 【分析】（1）由题设直线l的方程为1,0,0 xmyO到直线l的距离为d，进而根据弦长得12d，再根据点到线的距离公式得3m ，进而得答案；（2）设 1122,A x yB x y，则11,C xy.进而联立2219xmyxy得12122228,11myyy ymm ，假设直线BC过定点，由对称性可知所过定点在x轴上，设该定点为,0D t，再根据,B C D三点共线，结合韦达定理求解得2111219xxytxyy即可得答案.【详解】（1）解：由题意可知圆O的圆心坐标为0,0O，半径3r，当直线l的斜率为0时，直线l过圆心0,0O,6AB，不满足题意，所以，直线l的斜率不为0 设直线l的方程为1,0,0 xmyO到直线l的距离为d.因为35AB，所以22222 935rdd，解得12d.由点到直线的距离公式可得O到直线l的距离21121dm，解得3m .故直线l的方程为310 xy 或310 xy.（2）解：设 1122,A x yB x y，则11,C xy.第 22 页 共 26 页 联立2219xmyxy，整理得221280mymy，所以，12122228,11myyy ymm .假设直线BC过定点，由对称性可知所过定点在x轴上，设该定点为,0D t.因为,B C D三点共线，所以211211yyyxxtx，所以21112211221121212121212219xxymy yyyx yx ymy ytxyyyyyyyy.故直线BC过定点9,0 21如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，260o，BCABABCPBAC.(1)求CP与平面ABCD所成角的正弦值；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过,B Q两点的截面，且AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF 平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)34(2)在侧棱 PD上存在点 Q且当23DQDP时，使得平面 BEQF平面 PAD.【分析】对于（1），取 AB中点为 H，先由条件证得 PH平面 ABCD，后可得答案.对于（2），由（1）分析可知 ABAC，建立以 A为原点的空间直角坐标系，找到平面 BEQF，平面PAD法向量，后可得答案.【详解】（1）证明：取棱 AB 长的一半为单位长度.则在ABC中，AB=2，BC=4，ABC=60，根据余弦定理，得222126041616122ocosACABBCABBC 得2 3AC，故222ABACBCABAC.第 23 页 共 26 页 又 PBAC，PBAB=B，PB 平面 PAB，AB平面 PAB，故 AC平面 PAB.又AC平面 ABCD，AC平面 PAB，则平面 ABCD平面 PAB.取 AB中点 H，连接 PH，CH.因PAB是等边三角形，则 PHAB，又 PH 平面 PAB，平面 ABCD 平面 PABAB，平面 ABCD平面 PAB，故 PH平面 ABCD.得PCH是 CP 与平面 ABCD 所成的角.在直角三角形PCH中，3PH，2211213CHAHAC，4PC.故134sinPHPCHPC，即为所求.（2）假设存在点 Q，使得平面 BEQF平面 PAD.如图，以 A为原点，分别以AB AC，为 x，y轴的正方向建立空间直角坐标系 A-xyz，则0 0 02 0 02 2 3 01 03,，,，,，,ABDP，2 2 3 01 034 2 3 032 33,，,，,，,ADAPBDDP，设1111,nx y z是平面 PAD 的法向量，则 11111122 3030nADxynAPxz，取13 11,n.设DQDP，其中01.则34 2 32 33,BQBDDQBDDP 连接 EF，因 AC平面 BEQF，ACPAC 平面，平面 PAC平面 BEQF=EF，故 ACEF，则取与EF同向的单位向量0 1 0,j.设2222,nxyz是平面 BEQF 的法向量，则2222220342 3 130njynBQxyz，取230 43,n.由平面 BEQF平面 PAD，知12nn，有123340nn，解得23.故在侧棱 PD 上存在点 Q且当23DQDP时，使得平面 BEQF平面 PAD.第 24 页 共 26 页 【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量.22 在12PFF中，已知点 1213,0,3,0,FFPF与2PF边上的中线长之和为 6.记12PFF的重心G的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)若圆22:1,0,1O xyE，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点,A B，直线,EA EB与曲线C的另一个交点分别是点,P M，求EPM面积的最大值.【答案】(1)22104xyy(2)max6425EPMS 【分析】（1）由三角形的重心性质得1212264|3GFGFFF，进而结合椭圆定义即可得答案；（2）由题意知直线PEME，的斜率存在且不为0，PEME，不妨设直线 PE的斜率为(0)k k，则:1PE ykx，进而与椭圆联立方程得222841,41 41kkPkk，228141kPEkk，再用1k代替k，可得22814EMkk，进而得221324417EPMkkSkk，再设1kk，并结合基本不等式求解即可；第 25 页 共 26 页【详解】（1）解：根据三角形重心的性质及已知条件，得122643GFGF 124|FF，曲线 C 是以12,F F为焦点，长轴长24a 的椭圆（不含 x 轴上的两点）由2,3ac，得2221bac C的方程为22104xyy；（2）解：法一 因为(0,1)E，由题意知直线PEME，的斜率存在且不为0，PEME，不妨设直线 PE的斜率为(0)k k，则:1PE ykx.由22114ykxxy，解得2228414141kxkkyk或01xy，222841,41 41kkPkk 2222222184811414141kkkPEkkkk，用1k代替k，可得22221818111441kEMkkkk，222222218832(1)112 414(4)(14)EPMkkkSkkkkkk3422213232()44174417kkkkkkkk，设1kk，由0k，可得1122kkkk，当且仅当1kk，即1k 时，取等号，2，232329174(2)4EPMS，令 942f，函数 f在2,上递增，92542f，32649254，当2时，取等号，第 26 页 共 26 页 EPM面积的最大值为6425.法二设1122(,),(,)P x yM xy，易知PM斜率存在，设直线PM为ykxm 由2214ykxmxy得222148440kxmkxm，222222644 1 4446416160m kkmkm，12221228144414mkxxkmx xk (0,1)E，PEME 0EP EM，得1212110 x xyy，即1212110 x xkxmkxm 整理得：25230mm，35m（1m 舍去）3:5PMykx与y轴交于3(0,)5 22212221641 84164116252 55541541EPMkkmSxxakk 设21644255k 21616199552525EPMuSuuu在45时单调递减，当45u，即0k 时，max6425EPMS