2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期中考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 1在等差数列 na中，19a ，51a 记12(1,2,)nnTa aa n，则数列 nT（）A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511 925 15 1aad，则其通项公式为：11912211naandnn ，注意到123456701aaaaaaa，且由50T 可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列 nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa ，故数列 nT中的正项只有有限项：263T，463 15945T.故数列 nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.2公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A5101900米 B510990米 第 2 页 共 13 页 C4109900米 D410190米【答案】D【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，由110.1 10010nna，解得4n，再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，所以110.1 10010nna，解得4n，所以444411100 11011111001190aqSq.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力.属于中档题.3 已知等比数列 na的各项都为正数，且当2n时有211nnnaae，则数列lnna的前 20 项和为（）A190 B210 C220 D420【答案】B【分析】根据等比数列的性质可得nnae，即可求出数列lnna的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：依题意等比数列 na的各项都为正数，且当2n时有211nnnaae 所以22nnae，所以nnae 所以lnlnnnaen 所以数列lnna的前 20 项和为1202012202102 故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.4设等差数列na的前n项和为nS，10a 且11101921aa，则当nS取最小值时，n的值为（）第 3 页 共 13 页 A21 B20 C19 D19或20【答案】B【解析】由题得出1392ad，则2202ndSndn，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d，由11101921aa得11102119aa，则112110199adad，解得1392ad，10a，0d，211+2022nn ndSnadndn，对称轴为20n，开口向上，当20n 时，nS最小.故选：B.【点睛】方法点睛：求等差数列前 n 项和最值，由于等差数列2111+222nn nddSnadnan是关于n的二次函数，当1a与d异号时，nS在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a与d同号时，nS在1n 取最值.5 如图，函数的图象在 P 点处的切线方程是8yx ,若点P的横坐标是 5，则 5 5ff()A12 B1 C2 D0【答案】C【详解】试题分析：函数 yf x的图象在点 P 处的切线方程是8yx ，所以，在 P 处的导数值为切线的斜率，55ff5 8 1 2，故选 C【解析】本题主要考查导数的几何意义 点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值 6已知函数()f x和()g x在区间,a b上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）第 4 页 共 13 页 A()f x在 a 到 b 之间的平均变化率大于()g x在 a 到 b 之间的平均变化率 B()f x在 a 到 b 之间的平均变化率小于()g x在 a 到 b 之间的平均变化率 C对于任意0(,)xa b，函数()f x在0 xx处的瞬时变化率总大于函数()g x在0 xx处的瞬时变化率 D存在0(,)xa b，使得函数()f x在0 xx处的瞬时变化率小于函数()g x在0 xx处的瞬时变化率【答案】D【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.【详解】解：()f x在 a 到 b 之间的平均变化率是()()f bf aba，()g x在 a 到 b 之间的平均变化率是()()g bg aba，又()()f bg b，()()f ag a，()()()()f bf ag bg ababa，A、B 错误；易知函数()f x在0 xx处的瞬时变化率是函数()f x在0 xx处的导数，即函数()f x在该点处的切线的斜率，同理可得：函数()g x在0 xx处的瞬时变化率是函数()g x在该点处的导数，即函数()g x在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：0(,)xa b时，函数()f x在0 xx处切线的斜率有可能大于()g x在0 xx处切线的斜率，也有可能小于()g x在0 xx处切线的斜率，故 C 错误，D 正确 故选：D 7已知2()23f xxx，P 为曲线:()C yf x上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为,4 2，则点 P 的横坐标的取值范围为（）第 5 页 共 13 页 A1,2 B 1,0 C0,1 D1,2【答案】D【解析】设点 P 的横坐标为0 x，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.【详解】设点 P 的横坐标为0 x，则点 P 处的切线倾斜角与0 x的关系为00000()()tan()lim22xf xxf xfxxx ,4 2，tan1,)，0221x，即012x ，点 P 的横坐标的取值范围为1,2 故选：D 8已知数列 na满足：11,a 13,21,nnnnnaaaaa为奇数为偶数，则6a A16 B25 C28 D33【答案】C【解析】依次递推求出6a得解.【详解】n=1 时，21 34a ，n=2 时，32 4 19a ，n=3 时，49312a，n=4 时，52 12125a ，n=5 时，625328a.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9数列15，17，19，111，的通项公式可能是na（）A(1)32nn B1(1)23nn C(1)23nn D1(1)32nn【答案】C【分析】由分母构成等差数列即可求出.第 6 页 共 13 页【详解】数列的分母5,7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为51223nn，所以 123nnan.故选：C.10已知函数 yf x满足 010fx，当0 x 时，002f xxf xx（）A20 B20 C120 D120【答案】A【分析】根据导数的定义有0 x 时 000()()f xxf xfxx，即可知 002fxxfxx.【详解】000()()10f xxf xfxx，而0 x，0000()(2)2f xxf xxf xxf xx，故 00220f xxf xx.故选：A 11 某物体的运动方程为2()3s tt（位移单位：m，时间单位：s），若 033lim18m/tstsvst，则下列说法中正确的是（）A18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B18m/s是物体从3s到(3)t s 这段时间内的速度 C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D18m/s是物体从3s到(3)t s 这段时间内的平均速度【答案】C【解析】由瞬时变化率的物理意义判断【详解】0(3)(3)limtstsvt是物体在3s这一时刻的瞬时速度.故选：C.12函数 yf x的图象如图所示，fx是函数 f x的导函数，则下列数值排序正确的是（）A 242242ffff 第 7 页 共 13 页 B 224224ffff C 222442ffff D 422422ffff【答案】B【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知()fx在(0,)上单调递增 故(4)(2)(2)(4)42ffff，即 224224ffff 故选：B 二、填空题 13数列na满足2(1)31nnnaan，前 16 项和为 540，则1a _.【答案】7【分析】对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nnnaan，当n为奇数时，231nnaan；当n为偶数时，231nnaan.设数列 na的前n项和为nS，16123416Saaaaa 13515241416()()aaaaaaaa 111111(2)(10)(24)(44)(70)aaaaaa 11(102)(140)(5172941)aa 118392928484540aa，17a.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.第 8 页 共 13 页 14已知过点1,1（）P 的直线m交x轴于点A，抛物线2xy上有一点B使PAPB,若AB是抛物线2xy的切线，则直线m的方程是_【答案】320 xy或20 xy.【详解】分析：由题设2,B t t，求导得到直线2:2,AB ytxt 然后分0t和0t 两种情况讨论即可得到直线m的方程.详解：由题设2,B t t，求导2xy即2ABkt，则直线2:2,AB ytxt 当0t时，验证符合题意，此时2,0A ，故:20m xy，当0t 时，,02tA，0111042tPA PBttt 或1t （,B P重合，舍去）此时1,1,2,0PA，故:320m xy 点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.15如图，画一个边长为 2cm的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样共画了 8 个正方形，则这 8 个正方形的面积和为_cm2 【答案】25532【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以 4 为首项，12为公比的等比数列，结合等比数列的前 n 项公式分析可得答案【详解】根据题意，第一个正方形的边长为2cm，其面积为24cm，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的12 这些正方形的面积组成以 4 为首项,12为公比的等比数列，则这 8 个正方形的面积和88141()255213212S.第 9 页 共 13 页 故答案为：25532【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，根据正方形的面积公式得到面积关系是解决本题的关键属于基础题.16 若点2,1A在曲线 yf x上，且 22f ，则曲线 yf x在点A处的切线方程是_ 【答案】250 xy【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】由题意知，切线的斜率2k 所以，曲线 yf x在点2,1A处的切线方程为122yx ，即250 xy 故答案为：250 xy 三、解答题 17设数列 na的前 n项和为nS，满足*142nnSanN，且11a (1)若2nnnac，求证：数列 nc是等差数列；(2)求数列 na的前 n项和nS【答案】(1)证明见解析(2)13422nn 【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn作差得到114()nnnaaa，从而得到11111111144()42222222nnnnnnnnnnnnnaaaaaaa，即可得证；（2）首先求出 nc的通项公式，再根据2nnnac求出 na的通项公式，最后根据142nnSa代入计算可得；【详解】（1）解：因为*142nnSanN，且11a，当1n 时2142Sa，则25a，当2n时142nnSa，所以114242nnnnSSaa，即114()nnnaaa，所以11111111144()42222222nnnnnnnnnnnnnaaaaaaa，即112nnnccc，所以 nc是等差数列；（2）解：因为111122ac，222524ac，所以21513424cc，所以 nc是以12为首项，34为公差第 10 页 共 13 页 的等差数列，所以13311244nncn，所以31224nnnnnac，则1312231224424nnnnSnan，所以13422nnSn 18已知曲线3212313yxxx.（1）求该曲线斜率为-3 的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P，过点P作直线l与x轴、y轴的正半轴交于,A B两点，求OAB面积的最小值.【答案】（1）310 xy 或93350 xy.（2）43【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3 即可求出切点坐标，进而可求切线方程；（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出,A B两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由3212313yxxx，得243yxx，2433xx，解得0 x 或4x.当0 x 时，1y；当4x 时，13y .切线方程为13yx 或1343yx，即310 xy 或93350 xy.（2）2243211yxxx ，当2x 时，切线的斜率取得最大值 1，此时13y，即P点坐标为12,3.由题意，设,0A a，0,Bb（0a，0b），则直线l的方程为1(0,0)xyabab.2113ab.21121223OABSababab 221242183933baab，当且仅当218baab，即6ab时取“”号.将6ab代入2113ab，解得4a，23b.直线l的方程为3142xy，即640 xy时，OAB面积的最小值为43.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点第 11 页 共 13 页 坐标，属于基础题型.19在等差数列 na中，2723aa，10145S.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列nnab是首项为1，公比为a的等比数列，求 nb的前n项和nS.【答案】（1）32nan；（2）当1a 时，232nnnS，当0a 且1a 时，21312nnannSa.【分析】（1）设等差数列 na的公差为d，根据已知条件可得出关于1a、d的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列 na的通项公式；（2）求得132nnban，分1a、1a 两种情况讨论，结合等差数列求和公式以及分组求和法可求得nS的表达式.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，则27110127231045145aaadSad ，解得113ad ，因此，1132naandn；（2）由题意可得111nnnnabaa，则132nnban.当1a 时，31nbn，则2231322nnnnnS；当1a 且0a 时，则21114732nnSaaan 21 321131212nnnnaannaa.综上所述，当1a 时，232nnnS，当0a 且1a 时，21312nnannSa.20蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为 120155T tt，其中T t为体温（单位：），t为太阳落山后的时间（单位：min）（1）求从0t至10t，蜥蜴的体温下降了多少？（2）从0t到10t，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？（3）求 5T并解释它的实际意义【答案】（1）16；（2）表示从0t到10t 这段时间内变化率为1.6，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6；（3）表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为1.2 C/min【分析】（1）由题意从0t至10t 的体温为 100TT，即可求值.第 12 页 共 13 页（2）根据平均变化率的定义求0t到10t 的平均变化率，说出其实际含义即可.（3）利用导数的定义求 5T，并说明其实际含义即可.【详解】（1）12012010015151610505TT，即从0t到10t，蜥蜴的体温下降了16（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为 1001.6C/min100TT，它表示从0t到10t 这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6（3）12012015155512555510TtTtttt ，当t趋于 0 时，55TtTt趋于1.2，即 51.2 C/minT，它表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为1.2 C/min 21在等比数列 na中，125aa，且2320aa.（1）求 na的通项公式；（2）求数列3nnaa的前 n 项和nS.【答案】（1）14nna；（2）nS4121nn.【解析】（1）由数列 na是等比数列，及125aa，且2320aa，两式相除得到公比q，再代入125aa可求1a，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列3nnaa的前 n 项和nS.【详解】解：（1）因为等比数列 na中，125aa，且2320aa.所以公比23124aaqaa，所以12155aaa，即11a，故14nna.（2）因为14nna 所以1133 42nnnnaa，第 13 页 共 13 页 所以141231412nnnS 4121nn 422nn.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n项和公式的应用，属于基础题.22已知函数2()f xxx 图象上两点(2,(2)Af、(2,(2)(0)Bx fxx .（1）若割线AB的斜率不大于1，求x的范围；（2）求函数2()f xxx 的图象在点(2,(2)Af处切线的方程.【答案】（1）(0,)；（2）340 xy.【解析】（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式1yx 可得；（2）求出2x 进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程【详解】（1）由题意得，割线AB的斜率为(2)(2)yfxfxx 2(2)(2)(42)xxx 24()3xxxxx ，由31x ，得2x ，又因为0 x，所以x的取值范围是(0,).（2）由（1）知函数2()f xxx 的图象在点(2,(2)Af处切线的斜率为 00limlim33xxykxx ，又2(2)222f ，所以切线的方程为(2)3(2)yx ，即340 xy.