2022-2023学年天津市河北区高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年天津市河北区高二上学期期末数学试题 一、单选题 1直线 3x2y60 的斜率为 k，在 y轴上的截距为 b，则有()Ak32，b3 Bk23，b2 Ck32，b3 Dk23，b3【答案】C【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程 y=kx+b，即可找出直线的斜率 k 及与 y轴的截距 b即可【详解】方程3260 xy变形为：332yx，此直线的斜率32k ，直线在 y 轴上的截距3b 故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键 2圆224630 xyxy的圆心和半径r分别为（）A4,6，16r B2,3，4r C2,3，4r D2,3，16r 【答案】C【分析】利用配方法进行求解即可.【详解】222246302316xyxyxy，所以该圆的圆心为2,3，4r，故选：C 3椭圆2212516xy的离心率是 A35 B45 C53 D34【答案】A【解析】由椭圆方程得出,a b c，可求出离心率.【详解】由椭圆2212516xy，可得5,4ab，则223cab 第 2 页 共 12 页 所以椭圆2212516xy的离心率为35cea 故选：A 4双曲线221916xy的渐近线方程是 A916yx B169yx C43yx D34yx【答案】C【详解】由220916xy，得43yx 所以双曲线221916xy的渐近线方程是43yx 选 C 5抛物线22yx的准线方程是（）A12x B12y C=1x D1y 【答案】A【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.【详解】解：由抛物线22yx，可得其准线方程是12x .故选：A.6在等比数列 na中，若112a，44a，则公比q的值等于（）A12 B2 C2 D4【答案】C【分析】由等比数列通项公式求解即可.【详解】在等比数列 na中，因为3414aa q，112a，所以382qq，故选：C.7等比数列 1，12，14，18，的前n项和为（）A1122n B112n C12n D1122n【答案】D【分析】由条件求出等比数列的公比q，利用等比数列求和公式求其前n项和.【详解】设该数列为 na，数列 na的公比为q，由已知11a，212a，所以2112aaq，第 3 页 共 12 页 所以数列 na的前n项和111112 12122nnnnaqSq，故选：D.8若双曲线C与椭圆2214924yx有公共焦点，且离心率54e，则双曲线C的标准方程为（）A221169yx B221169xy C2214xy D2214yx【答案】A【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由2214924yx可知，该椭圆的焦点在 y 轴，且半焦距为49245，设双曲线的方程为：22221(0,0)yxabab，所以该双曲线的半焦距为5c，因为该双曲线的离心率54e，所以有5544aa，所以2225 163bca，因此双曲线C的标准方程为221169yx，故选：A 9如图，长方体1111ABCDABC D中，1222AAABBC，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A1010 B35 C105 D45【答案】D【分析】连接1AB，1BC，11AC，根据题中条件，得到11ABC为异面直线1AB与1AD所成角或其补角，结合题中数据，即可求出解.第 4 页 共 12 页【详解】连接1AB，1BC，11AC，在长方体1111ABCDABC D中，易知11/ADBC，所以11ABC为异面直线1AB与1AD所成角或其补角，又在长方体1111ABCDABC D中，1222AAABBC，所以115ABBC，112AC，在11ABC中，由余弦定理得115524cos5255ABC.因为异面直线所成的角的取值范围是0,2，所以异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为45.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角 10若直线:4l mxny和圆22:4O xy没有交点，则过点(,)P m n的直线与椭圆22194xy的交点个数为（）A0 个 B至多有一个 C1 个 D2 个【答案】D 第 5 页 共 12 页【分析】根据题意得到224mn，求得点(,)P m n是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点，根据圆224mn内切于椭圆，得到点(,)P m n是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线:4l mxny和圆22:4O xy没有交点，可得220042mn，即224mn，所以点(,)P m n是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆22194xy，可得3,2ab，所以圆224mn内切于椭圆，即点(,)P m n是椭圆22194xy内的点，所以点(,)P m n的一条直线与椭圆的公共点的个数为2.故选：D.二、填空题 11在数列 na中，114a ，111nnaa 2n，则数列 na的第 5 项为_.【答案】5【分析】根据1a及递推公式计算可得结果.【详解】因为114a ，111nnaa 2n，所以211111514aa ，321141155aa ，4311111445aa ，541111514aa .故答案为：5.12已知两点19,4P，23,6P，则以线段12PP为直径的圆的标准方程为_.【答案】22(6)(5)10 xy【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果.第 6 页 共 12 页【详解】依题意可得圆心坐标为6,5，半径为2211(93)(46)401022，所以以线段12PP为直径的圆的标准方程为：22(6)(5)10 xy.故答案为：22(6)(5)10 xy.1321与21的等比中项是_.【答案】1【分析】利用等比数列的定义即可求解.【详解】设21与21的等比中项是X，则22121X，即21X，解得：1X ，故答案为：1 三、双空题 14已知倾斜角为 45的直线l经过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则焦点F的坐标为_；线段AB的长为_.【答案】(1,0)8【分析】根据焦点坐标公式即可求解；根据弦长公式即可求解.【详解】因为24yx，所以24p，所以2p，24yx的焦点为(,0)2p，即为(1,0).倾斜角为 45的直线l经过抛物线24yx的焦点F，所以直线的方程为01(1)yx，联立214yxyx，所以2610 xx，所以12126,1xxxx，第 7 页 共 12 页 222212121()41 1648ABkxxx x 故答案为：(1,0)8 15已知数列 na的前n项和公式为32nnS，则1a _；数列 na的通项公式na _.【答案】1；11,12 3,2,Nnnnn【分析】利用代入法，结合na与nS之间的关系进行求解即可.【详解】在32nnS 中，令1n 中，得111321aS；当2,Nnn时，11132322 3nnnnnnaSS，显然11a 不适合，因此数列 na的通项公式11,12 3,2,Nnnnann，故答案为：1；11,12 3,2,Nnnnn 四、解答题 16已知等差数列 na中，32a，4620aa.(1)求首项1a和公差d；(2)求该数列的前 10 项的和10S的值.【答案】(1)16,4ad；(2)120.【分析】（1）根据等差数列通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】（1）因为在等差数列 na中，32a，4620aa，所以有1111226,43520adadadad；（2）因为在等差数列 na中，16,4ad，第 8 页 共 12 页 所以10110610 9 41202S .17已知椭圆22221(0)xyabab的一个顶点为0,1A，离心率为22，过点0,2B及左焦点1F的直线交椭圆于CD、两点，右焦点设为2F.(1)求椭圆的方程；(2)求2CDF的面积.【答案】(1)2212xy(2)4 109 【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可；（2）写出直线CD的方程，利用弦长公式可求得CD，并可计算点2F到直线CD的距离d，故12SCD d.【详解】（1）解：椭圆22221xyab的一个顶点为0,1A，1b，又离心率为22212cbeaa，22a，椭圆的方程为2212xy.（2）解：11,0F，21,0F直线1BF的方程为22yx，由222212yxxy，消去y，得291660 xx，2164 9 6400 所以直线与椭圆有两个公共点，设为1122,C x yD xy，则121216923xxx x，221212121254CDxxxxx x 216210 254939，第 9 页 共 12 页 又点2F到直线1BF的距离22024 5512d，故214 1029CDFSCD d【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 18如图，在长方体1111ABCDABC D中，1112AAAD，2 2AB，1AC与1BD交于点N，CD的中点为M.(1)求证：AN平面BMN；(2)求直线1DC与平面ABN所成角的正弦值；(3)求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)直线1DC与平面ABN所成角的正弦值为66；(3)平面CBN与平面ABN夹角的余弦值为33.【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明,ANBM ANBN，结合线面垂直判定定理证明AN平面BMN；(2)求直线1DC的方向向量和平面ABN的法向量，利用向量夹角公式求直线1DC与平面ABN所成角的正弦值；(3)求平面CBN的法向量，利用向量夹角公式求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以点A为原点，1,AB AD AA为,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为第 10 页 共 12 页 1112AAAD，2 2AB，1AC与1BD交于点N，CD的中点为M，所以0,0,0A，2 2,0,0B，2,2,0M，10,0,2A，2 2,2,0C，2,1,1N，所以2,1,1AN，2,2,0BM ，2,1,1BN ，所以2200AN BM ，2 1 10AN BN ，所以,ANBM ANBN，即,ANBM ANBN，又BMBNB，,BM BN 平面BMN，所以AN平面BMN；（2）由(1)，10,2,2D，所以12 2,0,2DC，2,1,1AN，2 2,0,0AB，设平面ABN的法向量为1,nx y z，则10nAN，10nAB，所以20 xyz，2 20 x，取1y，可得0,1xz，所以向量10,1,1n 为平面ABN的一个法向量，设直线1DC与平面ABN所成角为，则11111126sincos,62 32DC nDC nDCn，所以直线1DC与平面ABN所成角的正弦值为66；（3）由(1)，2,1,1BN ，0,2,0BC，设平面CBN的法向量为2,nr s t，则20nBN，20nBC，所以20rst ，20s，取1r，则0,2st，所以21,0,2n 为平面CBN的一个法向量，又向量10,1,1n 为平面ABN的一个法向量，设平面CBN与平面ABN夹角为，则12121223coscos,323n nn nnn，第 11 页 共 12 页 所以平面CBN与平面ABN夹角的余弦值为33.19已知数列 na是等差数列，nb是公比不等于 1 的等比数列，且1122ba，132aab，326baa.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)设21nnncab，*nN，求数列 nc的前n项和nS.【答案】(1)nan，Nn；2nnb，Nn(2)12326nnSn，Nn.【分析】（1）设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；（2）将na，nb代入21nnncab中化简，然后利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为(1)q q，由1122ba，132aab，326baa，所以111221112151 3aadbqdqbqadadqd 解得12dq或01dq（舍去），所以等差数列 na的通项公式为：1111naandnn，Nn，等比数列 nb的通项公式为：111222nnnnbb q，Nn.（2）由（1）nanNn，2nnb Nn 所以21221nnnncabn，所以1231 23 25 221 2nnSn ，所以234121 23 25 221 2nnSn ，第 12 页 共 12 页：3411222221 2nnnSn，即2341122222421 2nnnSn，即112(12)421 212nnnnS，即112 22421 2nnnSn ，即123 26nnnS，即12326nnSn，Nn.