2021-2022学年黑龙江省大庆市东风中学高二下学期第一次月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 12 页 2021-2022 学年黑龙江省大庆市东风中学高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1为促进中学生综合素质全面发展，某校开设 5 个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加 1 个社团，则不同的报名方式共有（）A60 种 B120 种 C125 种 D243 种【答案】C【分析】采用分步乘法计数原理进行计算。【详解】由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加 1 个社团，所以每个人有 5 种选择则不同的报名方式共有5 5 5125（种），故选：C 2曲线1e2sin(1)xyx在点(1,1)处的切线方程为（）A320 xy B320 xy C320 xy D320 xy【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；【详解】解：因为1e2sin(1)xyx，所以1e2cos(1)xyx，当1x 时，1 11|e2cos(11)3xy，所以曲线1e2sin(1)xyx在点(1,1)处的切线的斜率3k，所以所求切线方程为13(1)yx，即320 xy，故选：D.3将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种 B120 种 C240 种 D480 种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选 2 人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列第 2 页 共 12 页 方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C 种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.4函数21()ln3f xxx的单调递减区间为（）A6,2 B66,22 C60,2 D6,2【答案】C【分析】求得导函数，利用()0fx，及定义域0,解不等式即可得出结果.【详解】21()ln,03f xxxx 22123(),33xfxxxx 当()0fx时，解得602x，则函数21()ln3f xxx的单调递减区间为60,2.故选：C.52020 年北京冬季奥运会组委会招聘了 5 名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有（）A120 B96 C48 D24【答案】B【分析】首先求出甲的派遣方法，再考虑其余 4 人的安排方法，再根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：根据题意，甲有 4 种派法，其余 4 人共有4424A 种派法，于是共有4 2496种派遣方法 故选：B 6函数 f x的定义域为开区间,a b，导函数 fx在,a b内的图像如图所示，则函数 f x在开区间,a b内有极小值点（）第 3 页 共 12 页 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】A【分析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数 fx在区间,a b内的图象可知，函数 fx在,a b内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数 f x在开区间,a b内的极小值点有1个，故选：A.7生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率为（）A710 B760 C920 D4760【答案】B【分析】分“数”排在第一位和第二位两种情况讨论即可.【详解】“礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有66A720（种）排法，其中“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类：“数”排在第一节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有123423C A A48（种）排法；“数”排在第二节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有123323C A A36（种）排法.故“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排法共有483684（种），所以“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率84772060P，故选 B.8已知函数2()ln1f xxax在(1,2)内不是单调函数，则实数 a 的取值范围是（）第 4 页 共 12 页 A(2,8)B2,8 C(,28,)D2,8)【答案】A【分析】求导得 22xafxx，等价于 22g xxa在区间1,2的函数值有正有负，解不等式组 120280gaga即得解.【详解】解：222axafxxxx，令 22g xxa，由于函数 2ln1f xxax在1,2内不是单调函数，则 22g xxa在区间1,2的函数值有正有负，而二次函数 22g xxa开口向上，对称轴为y轴，所以 22g xxa在区间1,2上递增，所以 120280gaga，解得28a.所以实数a的取值范围是2,8.故选：A.9若函数 1lnfxxax在区间1,e上只有一个零点，则常数a的取值范围为（）A1a Bae C111ae D11ae【答案】C【分析】将问题转化为函数 1lng xxx与函数 h xa的图像只有一个交点，利用导数研究 g x的极值或最值即可得到答案.【详解】令1ln0 xax，则1ln xax，因为函数 1lnfxxax在区间1,e上只有一个零点 则函数 1lng xxx与函数 h xa的图像只有一个交点 又 221110 xgxxxx，1,ex 1lng xxx在1,e上单调递增，则 11,1exg 111ea 第 5 页 共 12 页 故选：C.10已知函数3()22sinf xxxx，若对任意,()0 x，不等式(ln1)()0fxf ax恒成立，则实数 a的取值范围为（）A21,e B21,1e C21,e D21,e【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数的性质判断函数的单调性，最后利用常变量分离法构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，结合新函数的单调性进行求解即可.【详解】由已知得3()()2()2sin()()fxxxxf x ，所以()f x为奇函数.因为22()322cos32(1cos)0fxxxxx，所以()f x为 R 上的增函数.由(ln1)()0fxf ax得(ln1)()()fxf axfax，则ln1xax，得ln1xax.令ln1()xg xx，则22ln()xg xx，令()0g x，得2ex，当20ex时，()0g x，()g x单调递增；当2ex 时，()0g x，()g x单调递减.故 2max21()eeg xg，所以21ea，即21ea ，故选：C.【点睛】关键点睛：利用常变量分离法是解题的关键.二、多选题 11已知函数 f x及其导数 fx，若存在0 x，使得 00f xfx，则称0 x是 f x的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是（）A 2fxx B exf x C lnf xx D 1f xx【答案】ACD【分析】求出导数 fx，解方程 00f xfx，根据方程的解逐项判断可得答案.【详解】对于 A，22，fxxfxx由22xx，解得0,2x，因此此函数有“巧值点”0，第 6 页 共 12 页 2；对于 B，ee，xxf xfx由 eexx ，即 e0 x，无解，因此此函数无“巧值”；对于 C，1()ln,()f xx fxx，由1ln xx，分别画出图象：1ln,(0)yx yxx，由图象可知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；对于 D，211f xfxxx，由 211xx ，解得 1x，因此此函数有“巧值点”1.故选：ACD.12（多选）已知a，0,eb，且ab，则下列式子中不一定正确的是（）Alnlnabba Blnlnabba Clnlnaabb Dlnlnaabb【答案】ACD【分析】根据选项构造函数 ln xfxx和 lng xxx，利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.【详解】设 ln xfxx，则 21 ln xfxx 当0,ex时，0fx，f x单调递增 又0eab，所以 f af b，即lnlnabab，所以lnlnbaab，A 不正确，B 正确 设 lng xxx，则 1 lng xx 当10,ex时，0gx，g x单调递减，当1,eex时，0g x，g x单调递增，C，D 均不正确 故选：ACD 三、填空题 13若函数 sin2f xx，则0(3)()limxfxfxx _.【答案】8 第 7 页 共 12 页【分析】首先利用导数求出 0f，然后根据导数的定义可求出答案.【详解】由 sin2f xx，可得 2cos2fxx，所以 02cos02f，则0300(3)()(03)(0)(0)(0)lim3 limlim4(0)83xxxfxfxfxffxffxxx 故答案为：8 14 甲和乙等5名志愿者参加进博会ABCD、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少 1 人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有_种不同的参加方法(结果用数值表示).【答案】216【分析】根据条件，采用间接法，先求总的分组分配方法，再求甲和乙分配在同一个岗位的方法种数，即可得到结论.【详解】由条件可知可知，有一个岗位是 2 人，另外 3 个岗位是 1 人，共有2454240C A 种方法，其中甲和乙在同一个岗位有4424A 种方法，则采用间接法，甲和乙不在同一个岗位有24024216种方法.故答案为：216 15函数 212ln2fxxxx在区间1,2e上的最小值为_.【答案】32【解析】首先求出函数的导数，再令 0fx、0fx得到函数的单调性，从而可得函数的最值；【详解】解：因为 212ln2fxxxx，则定义域为0,所以 221221xxxxfxxxxx 令 0fx解得1x，即 f x在1,上单调递增，令 0fx解得01x，即 f x在0,1上单调减，所以 f x在1x 处取得极小值，也就是最小值且 312f，又因为1,2xe，112ln228f，2122f eee 所以函数 212ln2fxxxx在区间1,2e上的最小值为32，故答案为：32【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.第 8 页 共 12 页 16若点 P是曲线2lnyxx上任意一点，则点 P 到直线2yx的最小距离为_【答案】2【分析】由题意得，当过点P的切线和直线2y=x平行时，点P到直线2y=x的距离最小，用导数法求出切点坐标，再用点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意得，点P是曲线2lnyxx上任意一点，当过点P的切线和直线2y=x平行时，点P到直线2y=x的距离最小，直线2y=x的斜率为1，又12yxx，令121xx，解得1x 或12x （舍去），所以曲线2lnyxx上和直线2y=x平行的切线经过的切点坐标为 1,1，点 1,1到直线2y=x的距离等于221 1 221(1)，所点P到直线2y=x的最小距离为2 故答案为：2 四、解答题 17解方程：233223110 xxxxxCCA；【答案】4【分析】根据排列数和组合数的公式及性质，化简得到2120 xx，即可求解.【详解】由233223110 xxxxxCCA，即2333110 xxxCA，即5333110 xxCA，可得(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，即11120(2)!10(1)(2)!xx xx，可得2120 xx，解得4x 或3x，因为20 x且2xN，即2x 且xN，所以4x.18求下列函数的导数（1）22331yxx（2）233xyx（3）y(1cos2x)3 第 9 页 共 12 页【答案】（1）21889xx；（2）222633xxx；（3）48sinxcos5x【分析】根据导数的运算法则分别求解即可.【详解】（1）2223322332yxxxx 224323 231889xxxxx；（2）22222333(3)333xxxxxxxy 2222223326333xxxxxxx；（3）23(1cos2)(1cos2)yxx 23(1cos2)(sin2)(2)xxx 26sin2(1cos2)xx 226sin 22cosxx 46sin 24cosxx 548sincosxx.19有四个编有 1234 的四个不同的盒子，有编有 1234 的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？【答案】（1）256种；（2）916；（3）23种.【解析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取 2 球放在一起作为一个球，共 3 个球放到 3 个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4 个球的全排列数减去编号全相同的排法 1 即可得【详解】（1）每个球都有 4 种方法，故有4 4 4 4256 种（2）从 4 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A 种不同的放法.概率为：144925616（3）每个盒子不空，共有4424A，24123 种 第 10 页 共 12 页【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用难点是事件“4 个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4 个球放到 3 个盒子中，其中有一个盒子中必有 2 个球，由此可选取 2 个球放在一起作为一个球，4 个球看作 3 个球放入 4 个盒子中的 3 个中，用排列知识可求解 20已知函数 32391f xxxx （1）求函数 f x在点0,1处的切线方程；（2）求函数 f x的单调区间及极值【答案】（1）9yx+1；（2）单调增区间是3,1，单调减区间是,3 和1,，极大值为 16f，极小值为 326f 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率(0)9f，求出(0)1f后利用点斜式即可得解；（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出()0fx、()0fx时x的取值范围即可得解.【详解】（1）因为 32391f xxxx，所以 2369xfxx，01,09ff 切线方程为190yx，即9yx+1；（2）2369313fxxxxx ，所以当1x 或3x 时，0fx，当31x 时，0fx，所以函数的单调增区间是3,1，单调减区间是,3 和1,，极大值为 16f，极小值为 326f 21 如图，从点1(0,0)P作x轴的垂线交曲线xye于点1(0,1)Q，曲线在1Q点处的切线与x轴交于点2P，再从2P作x 轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1P，1Q；2P，2Q；nP，nQ记kP点的坐标为(,0)kx（1,2,kn）（1）试求kx与1kx的关系（2kn）第 11 页 共 12 页（2）求1122nnPQPQPQ【答案】（1）11kkxx2kn（2）11neee【详解】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项nnPQ的表达式，然后再求和（1）设点1kP的坐标是1(,0)kx，xye，xye，111(,)kxkkQxe，在点111(,)kxkkQxe处的切线方程是111()kkxxkyeexx，令0y，则11kkxx（2 k n）（2）10 x，11kkxx，(1)kxk，(1)kxkkkPQee，于是有 112233nnPQPQPQPQ12(1)1111nkeeeee 11neee，即112233nnPQPQPQPQ11neee 22已知函数21()ln2f xxaxax存在两个极值点1x，2x；（1）求 a 的取值范围；（2）求 12f xf x的取值范围【答案】（1）(4,)；（2）(,32ln 2).【分析】（1）()f x定义域为(0,)，求出()fx，令()0fx，转化为210axax 在(0,)有两个不同的解，由根的判别式和根与系数关系，即可求解；（2）求出 12f xf x，根据（1）中的结论表示为a的函数，设 12()g af xf x，求导研究()g a的单调性，即可求解.【详解】（1）21()ln2f xxaxax，函数 f（x）的定义域为(0,)，211()axaxfxaxaxx 函数()f x存在两个极值点1x，2x，()0fx，即210axax 在(0,)上有两个不等实根12,x x，第 12 页 共 12 页 21212401010aaxxaxx ，即4a，故 a的取值范围是(4,)（2）令 12()g af xf x，则221212121()lnln2g axxa xxa xx 212121=ln()()2x xa xx12122()x xa xx 1=ln12aa 4,a时，11()02g aa，()g a在(4,)上是减函数，又324)n2(lg，()(,32ln 2)g a ，即 12f xf x的取值范围是(,32ln 2)【点睛】本题考查方程的解、函数的单调性，要熟练掌握导数的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.