2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题 一、单选题 1已知 na为等差数列，54a，则46aa（）A4 B6 C8 D10【答案】C【分析】由等差数列性质，4652aaa，求出式子的值.【详解】因为 na是等差数列，所以4652248aaa.故选：C.2已知点(,2)(0)aa 到直线:30l xy的距离为1，则a等于（）A2 B22 C21 D21【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由题意得|23|11 1a 解得12a 或12a 0a，12a 故选：C.3设函数()lnf xxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为（）A10 xy B210 xy C20 xy D220 xy【答案】B【分析】利用导数的几何意义求在1x 处切线的斜率，进而即可得切线方程.【详解】因为()lnf xxx，所以1()1fxx，所以(1)2f，即()yf x在1x 处切线方程的斜率为2，又因为(1)1f，所以切线方程为12(1)yx，整理得210 xy，故选：B 4已知 F 是抛物线2:4C yx的焦点，点03,Py在抛物线 C上，则|PF（）A2 3 B2 31 C3 D4【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得：2PpPFx，代入数据即可求解.第 2 页 共 15 页【详解】因为抛物线方程为2:4C yx，所以12p，又因为点03,Py在抛物线 C上，由抛物线的定义可得：3 142PpPFx，故选：D.5已知直线1:10lxay，直线2:(2)310laxy，则“1a”是“12ll”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线的平行的判定即可求解.【详解】12ll等价于11231aa，解得2230aa，所以(3)(1)0aa，解得3a 或1a，当3a 时，1:310lxy，2:310lxy ，此时12,l l重合，故“1a”是“12ll”的充分必要条件.故选：C.6如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OAa，OBb，OCc，则AG（）A1122abc B1122abc C12abc D12abc【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量AB、AC，进而求得AG【详解】解：ACOCOAca，ABOBOAba，111122222AGACABabcabc 故选：B 第 3 页 共 15 页 7已知函数32()1(R)f xxaxxa有两个极值点1212,x xxx，则（）A3a 或3a B1x是()f x的极小值点 C1213xx D1213x x 【答案】A【分析】根据函数32()1(R)f xxaxxa有两个极值点，则导数为0有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数32()1(R)f xxaxxa有两个极值点1212,x xxx，所以2()321=0fxxax有两个根1212,x xxx,所以122+=3axx,121=3x x,故CD选项错误;因为2()321=0fxxax有两个根1212,x xxx,所以2=24 3 10a ,即得230a,解得3a 或3a,故A选项正确;因为2()321=0fxxax有两个根1212,x xxx,()f x在1,x上单调递增,在12,x x上单调递减,所以1x是()f x的极大值点,故B选项错误;故选:A.8在平面直角坐标系xOy中，设12,F F是双曲线22:12yC x 的两个焦点，点M在C上，且120MF MF，则12FF M的面积为（）A3 B2 C5 D4【答案】B【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点M在C上，12,F F是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设12MFMF，第 4 页 共 15 页 则1222MFMFa，2212222 3FFcab，因为120MF MF，所以12MFMF，由勾股定理得222121212MFMFFF，联立可得151MF，251MF，所以1 212122F F MSMF MF，故选：B 9 如图，平面平面，l，A，B 是直线 l上的两点，C，D是平面内的两点，且DAl，CBl，4DA，6AB，8CB，若平面内的动点 P满足APDBPC，则四棱锥PABCD的体积的最大值为（）A24 B24 3 C48 D48 3【答案】C【分析】根据已知可得36ADCBS，则当四棱锥的高h最大，即PAB的高PE最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合APDBPC，可得2BPAP.设APB，APm，在APB根据余弦定理结合面积公式得出221202564hm.由三边关系得到26m，即可得到4h，代入体积公式即可求出结果.【详解】第 5 页 共 15 页 在平面内，由DAl，CBl，可得/DA BC.又4DA，8CB，所以四边形ADCB为直角梯形，114863622ADCBSADBCAB.要使四棱锥PABCD的体积的最大值，则只要四棱锥的高h最大即可.因为平面平面，l，过点P向l作垂线交l于E，根据面面垂直的性质可得，PE，则PEh.又PE是PAB的高，且由DAl，CBl可知，DA，CB，又AP，PB，所以DAAP，BCPB.在RtPAD中，tanADAPDAP.在Rt PBC中，tanBCBPCBP.又APDBPC，所以ADBCAPBP，所以4182APADBPBC，即2BPAP.设APB，APm，在APB中，由余弦定理可得22222536cos24APBPABmAP BPm.因为sin0，所以2222536sin1 cos14mm2223202564mm，则2213sin2025624PABSPA PBm，又132PABSAB hh，所以，221202564hm.根据三角形三边关系可得66PAPBABPAPBAB，即366mm，所以26m，2436m.所以，当220m 时，221202564hm有最大值为125644.又四棱锥PABCD的体积为113644833ADCBVSh，所以，四棱锥PABCD的体积的最大值为 48.故选：C.10斐波那契数列 NnFn在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：121FF，当2n 时，12nnnFFF若2222123100mmFFFFFF，则m（）A98 B99 C100 D101【答案】B【分析】根据题意推出21111()mmmmmmmmFFFFF FF F,再利用累加法化简即可求出m的值.第 6 页 共 15 页【详解】由题意得，2121FF F，因为3,Nnn,12nnnFFF，所以222312321()FF FFF FF F，233423432()FF FFF FF F，21111()mmmmmmmmFFFFF FF F，累加得222121mmmFFFF F，因为22221231100mmmmmFFFFF FFFF，所以1100mFF 当2,Nnn,121nnnnFFFF,nF是递增数列.所以1 100m，所以99m.故选：B.二、填空题 11函数()xf xxe的导函数()fx_.【答案】(1)xxe【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果.【详解】()xf xxe，()1xxxfxexexe.故答案为：(1)xxe.12已知平面的法向量为(1,2,2)n，直线 l的方向向量为(2,4)um，且l，则实数m _【答案】4【分析】根据直线与平面垂直可得直线 l的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.【详解】因为平面的法向量为(1,2,2)n，直线 l的方向向量为(2,4)um，且l，所以/nu，则存在实数使得un，第 7 页 共 15 页 也即(2,4)(,2,2)m，解得：2，4m ，故答案为：4.13过圆22:(1)1Cxy的圆心且与直线0 xy平行的直线的方程是_【答案】10 xy 【分析】设出与直线0 xy平行的直线，将圆心代入即可.【详解】由22:(1)1Cxy的圆心为1,0，设与直线0 xy平行的直线为：0 xya，因为0 xya过圆心1,0，所以1 001aa ，故所求直线为：10 xy，故答案为：10 xy.14已知 na是首项为负数，公比为 q的等比数列，若对任意的正整数 n，21220nnaa恒成立，则 q的值可以是_（只需写出一个）【答案】-3（答案不唯一，2q 即可）【分析】根据已知可推出22120na qq恒成立，进而得到20q，2q .【详解】由21220nnaa可得，222122111220nnna qa qa qq恒成立，因为0q，显然有22210nnqq，又10a，所以20q，2q .故答案为：-3.15数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D在平面直角坐标系xOy中的方程为3330 xyaxy当1a 时，给出下列四个结论：曲线D不经过第三象限；曲线D关于直线yx轴对称；对任意Rk，曲线D与直线yxk 一定有公共点；对任意Rk，曲线D与直线yk一定有公共点 其中所有正确结论的序号是_【答案】第 8 页 共 15 页【分析】当,0 x y 时，判断3330 xyxy是否成；点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可.【详解】当1a 时,方程为3330 xyxy 当,0 x y 时，3330 xyxy，故第三象限内的点不可能在曲线上，正确；将点,y x代入曲线方程得3330 xyxy，故曲线关于直线yx对称，正确；当1k,联立3330,1,xyxyxy 其中3322330 xyxyxyxyxyxy，将1xy 代入得2()0 xy，即0 xy，则方程组无解，故曲线D与直线1xy 无公共点，错误;联立3330,xyxyyk可得3330 xkxk有解,设 333t xxkxk,2333+txxkxkxk,当0k 时,t x在,kk 单调递增,kk单调递减,值域为R所以 0t x 成立,当0k 时 00t成立.当0k 时,2330txxk,t x单调递增,33233230,30tkkkkt kkkk,所以 00,0 xkkt x成立,所以曲线D与直线yk一定有公共点 故选项正确.故答案为：.三、双空题 16设点12,F F分别为椭圆22:12xCy的左、右焦点，则椭圆 C的离心率为_；经过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q两点，当四边形12PFQF的面积最大时，12PF PF_【答案】22；0.【分析】根据已知求出,a b c的值，即可得到离心率；根据对称性可得，121 2022PFQFPF FSSy，所第 9 页 共 15 页 以,P Q为短轴顶点.写出12,P F F的坐标，即可得到结果.【详解】由已知可得，2a，1b，所以1c，则离心率22cea.根据椭圆的对称性可得，,P Q点关于原点对称，设00,P x y，00,Qxy.且121 2120012222PFQFPF FSSFFyy，当0y最大时，面积最大，则此时,P Q为短轴顶点.不妨设0,1P.11,0F，21,0F，所以11,1PF ，21,1PF，所以 121 1110PF PF .故答案为：22；0.四、解答题 17设函数321()313f xxxx(1)求()f x的单调区间；(2)当0,4x时，求()f x的最大值与最小值【答案】(1)单调递增区间是,1,3,，单调递减区间是1,3(2)最大值 01f,最小值 38f 【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1）22313fxxxxx，当 0fx，解得：3x或1x，所以函数的单调递增区间是,1,3,，当 0fx，解得：13x，所以函数的单调递减区间是1,3，所以函数的单调递增区间是,1,3,，单调递减区间是1,3；（2）由（1）可得下表 x 0 0,3 3 3,4 4 第 10 页 共 15 页 fx 0 f x 1 单调递减 8 单调递增 173 所以函数的最大值是 01f，函数的最小值是 38f 18已知 na是等差数列，其前 n项和为15,1,9nSnaaN(1)求数列 na的通项公式及nS；(2)从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求数列 nb的前 n 项和nT 条件：2nanb；条件：2nnnba；条件：11nnnbaa 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)21nan，2nSn(2)若选：21223nnT；若选：1222nnTn；若选：21nnTn 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解；（2）根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解.【详解】（1）设数列an的公差为d.151,9aa，5149 18daa，2d，11,a 所以1(1)221nann，第 11 页 共 15 页 所以122nnaanSn.（2）若选：2122nannb，12113521122(14)22.222.2143nnnnnTbbb；若选：221nnbn，11212121212(12).(22.2)1 35.2122122nnnnnnnTbbbnn.若选：11111121 212 2121nnnbaannnn，1211111111111.2133557792121nnTbbbnn 1 112 121n 122 21nn 21nn.19如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，/ADBC，2ABC，3PAPB，1BC，2AB，3AD，点 O是AB的中点 (1)求证：POCD；(2)求二面角APOD的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点 M，使得/BM平面POD?若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由【答案】(1)证明过程见解析；(2)520；(3)存在，14CMCP.第 12 页 共 15 页【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为PAPB，点 O是AB的中点，所以POAB，因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCDAB，所以PO平面ABCD，而CD 平面ABCD，所以POCD；（2）设E为CD的中点，连接OE，因为/ADBC，2ABC，所以OEAB，由（1）可知：PO平面ABCD，而,AB OE 平面ABCD，所以,POOE POAB，因此建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,2 2),(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,1,0),(1,0,0),POADCB，因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCDAB，OEAB，所以OE 平面PAO，因此平面APO的法向量为(0,1,0)OE，设平面DPO的法向量为(,)nx y z，(0,0,2 2),(1,3,0)OPOD，于是有02 20(3,1,0)300n OPznxyzn OD，二面角APOD的余弦值为：2215202 231OE nOEn；（3）假设在棱PC上存在点 M，使得/BM平面POD，且(0,1)CMCP，可得：(1,1,2 2)M，因此(,1,2 2)BM，由（2）可知平面DPO的法向量为(3,1,0)n，第 13 页 共 15 页 因为/BM平面POD，所以103100,14BMnBM n ，因此假设成立，14CMCP.20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为 4，且点31,2P在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(4,0)M的直线 l椭圆 C 交于 1122,A x yB x y两点，且120y y 问：x 轴上是否存在点 N使得直线NA，直线NB与 y轴围成的三角形始终是底边在 y轴上的等腰三角形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)2214xy(2)存在，1,0N 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为NANBkk0 后，根据直线与椭圆联立即可求解.【详解】（1）因为 1224PFPFa,解得a 2.所以点 31,2P 在椭圆 C 上.将 31,2 代入 22221xyab,得 221314ab.1b.从而 24a.22:14xCy.（2）显然直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线l的方程为 4yk x.设 1122,A x yB x y.假设存在点,0N t,因为直线,NA NB 与 y 轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，NANBkk0，第 14 页 共 15 页 即 12121212121212442480NANBk xk xx xtxxtyykkkxtxtxtxtxtxt,即 1 2122480 x xtxxt.由 224,14yk xxy 消去 y 并整理,得 222214326440kxk xk.由 2222324 146440kkk ,求得 21012k,则 2212122232644,1414kkxxx xkk.所以 22226443224801414kkttkk,解得 1t.于是在 x 轴上存在定点 1,0N,使得直线,NA NB 与 y 轴围成的三角形始终为底边在y 轴上的等腰三角形.21在无穷数列 na中，12212,1,Nnnnaaaaan(1)求41aa与74aa的值；(2)证明：数列 na中有无穷多项不为 0；(3)证明：数列 na中的所有项都不为 0【答案】(1)4121aa，7421aa(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式求47,a a的值即可；（2）假设数列 na中有限个项不为 0，然后推出与题意矛盾即可求证；（3）由（2）可得在无穷处能找到一个0na，利用递推公式可得数列 na呈周期变化，369123,0nnnnnkaaaaa*(N)k，令31,2,3nk即可证明.第 15 页 共 15 页【详解】（1）由12212,1,Nnnnaaaaan可得，32121aaa，43222aaa，54332 2aaa，65421aaa，7653 24aaa，所以4122212aa，743 242122aa.（2）假设数列 na中有限个项不为 0，则会存在一个数m，当nm时，0na，则10,0mmaa，由11mmmaaa可得10ma；由12mmmaaa可得20ma 由321aaa可得10a，与题意矛盾，故假设不成立，所以数列 na中有无穷多项不为 0（3）由（2）可得在无穷处能找到一个0na，因为12nnnaaa，所以12nnaa，所以由123nnnaaa可得30na，同理可得69123,0nnnnkaaaa(30,N)nkk，当31nk即1 3nk 时，因为Nk，且10a，所以数列31ka所有项都不为 0，当32nk即23nk时，因为Nk，且20a，所以数列32ka所有项都不为 0，当33nk即3 3nk 时，因为Nk，且30a，所以数列33ka所有项都不为 0，综上可得数列 na中的所有项都不为 0【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.