2022届吉林省洮南市第一中学高三上学期第四次月考数学试题(理)(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页 2022 届吉林省洮南市第一中学高三上学期第四次月考数学试题（理）一、单选题 1已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则()UAB（）A2，3 B2，2，3 C2，1，0，3 D2，1，0，2，3【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：1,0,1,2AB，则 U2,3AB .故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2若1 i2iz，则z（）A2 B3 C2 D1【答案】C【分析】根据复数的模的计算可求得答案.【详解】解：2i1 iz，222i221 i11z，故选：C.3下列说法正确的是（）A“对任意一个无理数 x，2x 也是无理数”是真命题 B“0 xy ”是“0 xy”的充要条件 C命题“0Rx，使得 2010 x ”的否定是“Rx ，210 x ”D若“13x”的一个必要不充分条件是“22mxm”，则实数 m的取值范围是 13，【答案】D【分析】对 A 选项举反例2，对 B 选项举反例2x，1y ，对 C 选项，根据存在性命题的否定知其错误，对 D 选项，根据题意列得不等式组2123mm，解得13m.【详解】2是无理数，22x 是有理数，A 错误；2x，1y 时，0 xy，但30 xy ，不是充要条件，B 错误；命题“0Rx，使得2010 x ”的否定是“Rx ，210 x ”，C 错误；第 2 页 共 18 页 “13x”的必要不充分条件是“22mxm”，则2123mm，两个等号不同时取得，解得13mD 正确 故选：D 4已知平面向量2,am，2,1b，abab，则ab（）A4 B41 C4 2 D5【答案】D【分析】先由abab求出m，再求出ab的坐标，进而求出模长.【详解】解：由abab，得0a b，即40m，则4m ，所以4,3ab，所以5ab.故选：D.5某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（）分 A70，70，70 B70，70，68 C70，68，70 D68，70，70【答案】B【分析】计算众数为 70，判断出中位数位于60,80，设中位数为 x，得到关于x的方程(0.0050.010)20(60)200.5x，解出x的值，最后计算平均数即可.【详解】解：由题意知众数为6080702 因为0.005200.010200.30.5，(0.0050.0100.020)200.70.5，所以中位数位于60,80，第 3 页 共 18 页 设中位数为 x，则(0.0050.010)20(60)200.5x，解得70 x，平均数为30 0.0150 0.270 0.490 0.368.故选：B.6已知5,36，且1sin63，则cos 26（）A89 B4 29 C4 29 D89【答案】B【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出cos6，再根据cos 2cos 2662利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；【详解】解：22662，cos 2cos 2sin 22sincos662666，5,36，,62，则22 2cos1 sin663，12 24 22sincos266339 ，故选：B.7设x，y是两个 0,1上的均匀随机数，则01xy的概率为（）A12 B14 C29 D316【答案】A【分析】首先画出实验所构成的区域，和事件01xy构成的平面区域，按面积比值求概率.【详解】首先实验的全部结果0101xy表示如图所示的正方形，面积1S 事件010101xyxy 构成的区域即如图的阴影部分，面积111 122S ，第 4 页 共 18 页 这是一个几何概型，所以11212P.故选：A【点睛】本题考查几何概型，意在考查抽象概括和数形结合分析问题的能力，属于基础题型.8若直线20(0,0)axbyab被圆222410 xyxy 截得的弦长为 4，则11ab的最小值为 A14 B C322 D32 22【答案】C【分析】圆 x2+y2+2x4y+1=0 即（x+1）2+（y2）2=4，圆心为（1，2），半径为 2，设圆心到直线 axby+2=0 的距离等于 d，则由弦长公式得22 4-4d，解得 d=0，即 直线 axby+2=0 经过圆心，a2b+2=0，12a+b=1，（11ab）（12a+b）=12+1+ba+2ab32+22b aab=32+2，当且仅当 a=2b 时等号成立，故式子的最小值为32+2.故选 C 9在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A24 B30 C48 D60【答案】D【分析】甲乙二人可能在物理、历史两科中选择的一科相同,也可能在化学、生物、政治、地理四门第 5 页 共 18 页 学科中任选两科中恰有一科相同,由此求解.【详解】由题,当甲乙二人在物理、历史两科中的选择相同,有24212C种；当甲乙二人在化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科中恰有一科相同,则有11324248CC种；则共有124860种,故选:D【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,考查分类讨论思想.10已知1F、2F分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，过1,0Fc作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若12F AF的平分线过点1,03Mc，则双曲线的离心率为（）A2 B2 C3 D3【答案】D【分析】作出图形，设1AFm，可得22AFma，根据角平分线定理可得1122AFMFAFMF，可得出m与a的等量关系，再利用勾股定理可得出a、c的关系式，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设1AFm，可得22AFma，如下图所示：由于12F AF的平分线过点1,03Mc，则121122213423AMFAMFcSAFMFSAFMFc，即122mma，12AFma，224AFmaa，在12RtAFF中，由勾股定理可得2222112AFAFFF，即 222422aac，第 6 页 共 18 页 3ca，因此，椭圆的离心率为3cea.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.11在直三棱柱111ABCABC中，90BAC且14BB，设其外接球的球心为 O，已知三棱锥OABC的体积为 2.则球 O 的表面积的最小值是 A323 B28 C16 D32【答案】B【分析】设,ABcACb，球的半径为 R，因为底面均为直角三角形，故外接球的球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点，如图中 O点为三棱柱外接球的球心根据三棱锥 OABC 的体积为 2，可得6bc，接着表示出 R，根据基本不等式可得到球的表面积的最小值【详解】如图，在RtABC中，设,ABcACb，则22BCbc，取11,BC BC的中点分别为21,O O则21,O O分别为RtABC和11Rt A BC的外接圆的圆心，连接21O O，又直三棱柱111ABCABC的外接球的球心为 O，则 O为21O O的中点，连接 OB，则 OB为三核柱外接球的半径设半径为 R，因为直三棱柱111ABCABC，所以1214BBO O，所以三棱锥OABC的高为 2，即22OO，又三棱锥OABC体积为 2，所以1122632ABCOVbcbc.在2RtOO B中，222222222144224bcbcRBCOO，所以22222444162161216284bcSRbcbc球表，当且仅当bc时取“=”，所以球 O的表面积的最小值是28，故选 B.【点睛】本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等,属于中档题 第 7 页 共 18 页 12定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f(x)，若xR，都有 2f(x)xf(x)2，则使 x2f(x)f(1)x21 成立的实数 x 的取值范围是（）Ax|x1 B(1，0)(0，1)C(1，1)D(，1)(1，)【答案】D【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0 x 的取值范围【详解】解：当0 x 时，由2()()20f xxfx可知：两边同乘以x得：22()()20 xf xx fxx 设：22()()g xx f xx 则2()2()()20g xxf xx fxx，恒成立：()g x在(0,)单调递减，由 21x f xf21x 2211x f xxf 即 1g xg 即1x；当0 x 时，函数是偶函数，同理得：1x 综上可知：实数x的取值范围为(，1)(1，)，故选：D【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题 二、填空题 13过抛物线22(0)ypx p的焦点F，且倾斜角为4的直线与抛物线交于,A B两点，若弦AB的垂直平分线经过点0,2，则p等于_.【答案】45【分析】由题意，得到过焦点 F且倾斜角为4的直线方程为2pyx，联立方程组，根据根与系数的关系式，得到弦 AB的中点坐标为3,2pp，代入直线的垂直平分线的方程，求得p的值，即可求第 8 页 共 18 页 解.【详解】由题意，抛物线22(0)ypx p的焦点,02pF，则过焦点 F且倾斜角为4的直线方程为2pyx，设11,A x y，22,B xy，由222pxyypx得2220ypyp，122yyp，123xxp，弦 AB 的中点坐标为3,2pp，弦 AB的中垂直平分线方程为2yx，弦 AB的中点在该直线上，322pp，解得45p.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，以及直线与抛物线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14若231nxx展开式的各项系数之和为 32,则其展开式中的常数项为_.(用数字作答)【答案】10【详解】展开式的各项系数之和为 32，2n=32 解得 n=5，231xxn 展开式的通项为10 515rrrTC x，当 r=2 时，常数项为25C=10 15已知一组鞋码与身高的数据（x表示鞋码，(cm)y表示身高），其中360mn.x 40 41 42 43 44 y 172 175 m n 183 若用此数据计算得到回归直线2.25yxa，则由此估计当鞋码为 40 时身高约为_cm.【答案】173.5【分析】计算42,178xy，将(),x y代入回归直线可得83.5a，计算得到答案.【详解】根据题意：42,178xy，将(),x y代入回归直线可得83.5a，故2.2583.5yx.故当鞋码为 40 时身高约为2.254083.5173.5(cm).故答案为：173.5.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.16如图，在正方体1111ABCDABC D中，M为棱BC的中点，N是棱1AA上的动点（不与端点A，第 9 页 共 18 页 1A重合）.给出下列说法：当N变化时，三棱锥1CC MN的体积不变；当N变化时，平面1C MN内总存在与平面ABCD平行的直线；当N为1AA中点时，异面直线CN与1B D所成角的余弦值为33；存在点N，使得直线11B DC MN 面.其中所有正确的说法是_.【答案】【分析】将三棱锥改变顶点，即可计算出体积.通过线面平行的性质得出结论.通过建立空间直角坐标系，求得异面直线CN与1B D所成角的余弦值.假设直线11B DC MN 面，则直线1B D与面1C MN上的所有直线都垂直，则直线1B D垂直于直线NM和直线1NC，设出 N 点坐标0,0,Nt，根据向量关系得出不存在，假设不成立，故不存在.【详解】解：由题意 对于 11/MACCA面，N 到面1CC M的距离相等，设为 d，11113C C MNN CC MCC MVVSd，三棱锥1CC MN的体积为定值，正确.对于，面1C MN与面ABCD有公共点 M，面1C MN与面ABCD有一条经过 M点的交线，在面1C MN中，作该交线的平行线，则该直线平行于面ABCD，正确.第 10 页 共 18 页 对于，设正方体棱长为 2，建立空间直角坐标系如下图所示，0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，0,2,0D，10,0,2A，12,0,2B，12,2,2C，10,2,2D，2,1,0M，0,0,1N，2,2,1CN ，12,2,2B D ，11123cos,93 2 3CN B DCN B DCN B D，当N为1AA中点时，异面直线CN与1B D所成角的余弦值为39，错误.对于，设0,0,Nt，则2,1,NMt，12,2,2NCt，若直线1B D面1C MN，1114220442 20B D NMtB D NCt ，无解，存在点N，使得直线11B DC MN 面，错误.故答案为：.三、解答题 17在三角形ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，coscos2sinaCcAbB(1)求B；第 11 页 共 18 页(2)若B为锐角，6A，BC边上的中线长7AD，求三角形ABC的面积【答案】(1)6B或56；(2)3 【分析】利用正弦定理进行边角互换，再结合sinsinACB求出B；在三角形ACD中利用余弦定理求出边AC，再利用三角形的面积公式求面积.【详解】（1）在ABC中，因为，coscos2sinaCcAbB由正弦定理得sincossincos2sinsin0ACCABB，所以sin()2sinsin0ACBB，即sin(12sin)0BB，又因为sin0B，所以1sin2B，因为 B是三角形的内角，所以6B或56（2）因为B为锐角，所以6B，ABC 为等腰三角形，23C，在ABC中，设 ACBC2x，在ADC 中，由余弦定理得222222cos773ADACDCAC DCx，解得 x1，所以 ACBC2，所以1sin32ABCSAC BCC，所以三角形的面积为3 18已知 na 为等差数列，25a ，411a ，nb 是等比数列，11b ，464b (1)求 na 和 nb 的通项公式；(2)设 1 122nnnTa ba ba b，求 nT.【答案】(1)1314nnnanb，；(2)22433nnTn.【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差与等比数列的公比，即可求解作答.（2）利用错位相减法直接求解即可.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，则4211 53422aad，则有 23231naann，34164bqb，解得4q，则有1114nnnbbq，第 12 页 共 18 页 所以数列 ,nnab的通项公式分别为31nan，14nnb.（2）由（1）知1(31)4nnna bn，则01212 45 48 4314nnTn ，于是得12134245 48 4(34)4(31)4nnnTnn ，两式相减得11214(1)41323(444(31)4(314234)nnnnnTnn2(32)4nn ，所以22()433nnTn.19如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面111ABC，D为1AB的中点，1BC交1BC于点E，ACBC，2BCAC.（1）证明：DE平面11BB C C；（2）若11C BAB，求二面角11ABCA的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）63.【分析】利用三棱柱的定义及线面垂直的性质，根据线面垂直的判定定理即可证明；由（1）结论建立空间直角坐标系，先求出平面1AB C和平面11A B C的法向量，利用向量数量积公式即可求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）因为111ABCABC为三棱柱，所以平面111/ABC平面ABC，因为1CC 平面111ABC，所以1CC 平面ABC.又因为AC平面ABC，所以1ACCC.又因为ACBC，1CCBCC，1CCBC、平面11BBC C，所以AC 平面11BB C C.由题知：四边形11BBC C为矩形，又因1BC交1BC于点E，所以E为1BC的中点，又因为D为1AB的中点，所以DE为1ABC的中位线，所以/DEAC.所以DE平面11BB C C.第 13 页 共 18 页（2）由（1）知：11111C AC BC C、两两互相垂直，所以以1C为坐标原点，分别以11111C AC BC C、为xyz、轴建立空间直角坐标系1Cxyz，如图所示：设1(0)CCh h，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),2,0,(0,2,),(0,0,)CABAhBh Ch，所以1(0,2,)C Bh，1(2,2,)ABh，因为11C BAB，所以110C B AB，所以 022 20hh ，解得2h.所以2,0,2,(0,2,2),(0,0,2)ABC，所以1(2,2,2),(2,0,0)ABAC ，111(2,2,0),(2,0,2)ABAC .设平面1AB C的法向量为(,)nx y z，则100n ABn AC，所以222020 xyzx，不妨令1y，则0,1,1n.设平面11A B C的法向量为(,)mx y z，则11100m ABn AC，所以220220 xyxz，不妨令1y，则1,1,1m.所以26cos323m nm nmn,因为平面11A B C与平面1AB C所成的角为锐角，所以二面角11ABCA的余弦值为63.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明和二面角的余弦值的求法，属于中档题.20厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品(1)若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3 件进行检验，求至少有 2 件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家 20 件产品，其中有 4 件不合格，按合同规定商家从这 20 件产品中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收 第 14 页 共 18 页 求该商家可能检验出的不合格产品的件数 X的分布列和数学期望；求该商家拒收这批产品的概率.【答案】(1)0.784；(2)分布列见解析，25；719.【分析】（1）根据 n 次独立重复试验的概率公式求解即可.（2）根据古典概型概率计算公式，结合离散型随机变量的分布列与期望求解即可；根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）从中任意取出 3 件进行检验，至少有 2 件是合格品”记为事件 A，它包含“恰有 2 件合格”和“3 件都合格”两个事件，所以223333()C0.70.3C0.70.784P A.（2）该商家可能检验出不合格产品数 X，X可能的取值为 0，1，2，216220C12(0)C19P X，11164220C C32(1)C95P X，24220C3(2)C95P X，所以 X的分布列为：X 0 1 2 P 1219 3295 395 1232320121995955E X .因为只有 2 件都合格时才接收这批产品，则商家拒收这批产品的对立事件为商家任取 2 件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件 B，则 71019P BP X ，所以商家拒收这批产品的概率为719.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2 3,3)M且离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在三个不同的点ABP，满足OAOBOP，求四边形OAPB的面积.【答案】（1）2211612xy；（2）12.第 15 页 共 18 页【解析】（1）根据椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2 3,3)M且离心率为12，可得12ca 22222 331ab，即可求得答案;（2）OAOBOP，由向量加法的意义得四边形OAPB为平行四边形.设,A B所在直线l，根本讨论直线l垂直于x轴和若直线l不垂直于x轴，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2 3,3)M且离心率为12 得 2222222122 331cacbaab 解得 216a，212b 故椭圆方程为：2211612xy（2）OAOBOP，由向量加法的意义得四边形OAPB为平行四边形.设,A B所在直线l，若直线l垂直于x轴，可得4,0,2,3,2,3PAB或者4,0,2,3,2,3PAB 此时，四边形OAPB为菱形 114 61222OAPBSOP AB 若直线l不垂直于x轴，设:0l ykxm m，112200(,),A x yB xyP xy，由2211612ykxmxy，消掉y 可得2223484480kxkmxm 根据韦达定理可得：212122284483434kmmxxx xkk，001212,(,)OPxyOAOBxxyy 第 16 页 共 18 页 0122834kmxxxk 0121226234myyyk xxmk 2286,3434kmmPkk，代入椭圆方程222286343411612kmmkk，化简得2234mk 验证，222226416(34)(12)1440k mkmm 221212222884484483434kmkmmxxx xkmkm，221212 11kABkxxm 点O到直线AB的距离为21mdk 22112 1221221OAPBOABmkSSd ABmk 综上所述，四边形OAPB的面积始终为12.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和椭圆中的四边形面积问题，解题关键是掌握椭圆定义和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.22已知函数 215ln24fxaxaxxa，其中0a .(1)当1a 时，求函数 f x在1x 处的切线方程；(2)若函数 f x存在两个极值点 12xx，求 12f xf x的取值范围；(3)若不等式 4afxax对任意的实数1,x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)4410 xy；(2)7ln4,；(3)0,1.【分析】（1）根据切点即可求导得斜率，进而求直线方程，第 17 页 共 18 页（2）函数 f x存在两个极值点12xx，转化成方程210axax 有两个不等正根12xx，构造函数2ln14g aaaa，即可求导进行求解，（3）构造函数22ln431h xxaxaxax，将恒成立问题转化成最值，分类讨论即可求解.【详解】（1）当1a 时,215ln24f xxxx，故 314f，且 11fxxx.故 11f 所以函数 f x在1x 处的切线方程为4410 xy.（2）由215ln024fxaxaxxax，,可得1fxaxax 21axaxx，因为函数 f x存在两个极值点12xx，所以12xx，是方程 0fx的两个不等正根，即210axax 的两个不等正根为12xx，2121240110aaxxx xa 即 1212411axxx xa，4a，22121112221515lnln2424fxfxaxaxxaaxaxxa 212121212152ln2ln122axxx xa xxx xaaa,令 2ln14g aaaa，故120gaa,所以 g a在4,上单调递增，47ln4g ag，故 12f xf x 得取值范围是 7ln4,.（3）4afxax对任意的实数1,x 恒成立，即 22ln430 xaxaxa对任意的实数1,x恒成立.令22ln431h xxaxaxax，则 2221242axaxh xaxaxx 若0a，当1x 时,120hxx,所以 h x单调递增，10h xh,故 0a 符合题意;若0a ，(i)若2440aa，即01a，则 0h x，h x在1,上单调递增,所以当 1x 时,10h xh,第 18 页 共 18 页 故01a符合题意;(ii)若2440aa，即1a，令 0h x，得2111aaxa(舍去)，2211aaxa,当21,xx时,0h x,h x在21,x上单调递减;当2,xx时，0h x，h x在2,x 上单调递增，所以存在21xx，使得 210h xh，与题意矛盾，所以1a 不符题意.综上所述，实数a的取值范围是 0,1.【点睛】导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.（1）根据导数的计算公式，结合导数的几何意义，以及直线的方程求解即可；（2）利用导数研究函数的极值与单调性求解即可；（3）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.