2023届江苏省常州第二中学高三年级1月月考数学试卷(人教版)含答案.pdf

2022-2023 学年 江苏常州第二中学 高三年级 1 月月考 数学试卷 总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、填空题（4 题共 16 分）1若复数134iz，223iz （为虚数单位），则12zz在复平面内对应的点位于第_象限 21sinsin,4462则sin4的值为_ 3已知函数3()2f xaxx的图象过点(1,4)，则(1)f=_ 4设函数 e2xf xx，直线=+y ax b是曲线=y f x的切线，则2ab的最大值是_ 二、单选题（8 题共 32 分）5已知集合024,10AxxBxx，则AB（）A2,1,0 B2 C21xx D 12xx 6已知圆224xy，直线：0yxb b，若圆224xy上恰有 2 个点到直线的距离都等于 1，则b的取值范围为（）A2,3 2 B0,2 C2,3 2 D2,3 2 7已知正三棱柱111ABCA BC的顶点都在球O的球面上，2AB，14AA，则球O的表面积为（）A323 B32 C64 D643 8用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为14：，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是 A12cm B9cm C6cm D3cm 9 某中学高三年级一次月考的语文考试成绩X（单位：分）近似服从正态分布2105,N，统计结果显示语文成绩优秀（大于或等于 120 分为优秀）的人数占总人数的18.已知高三年级学生的总人数为 1200，则此次语文考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为（）A150 B350 C400 D450 10已知2.10.32.1log0.3,0.3,2.1abc，则 a，b，c 的大小关系是（）Abca Bcab Cbac Dcba 11已知定义在R上的函数()f x是奇函数，且满足3()()2fxf x，(1)3f，数列na满足11a，且21nnSann，(nS为na的前n项和，*)nN，则 56f af a（）A3 B4 C3 D4 12在ABC，有命题若ABAC 0,则ABC 为锐角三角形；ABBCCA 0；ABACABAC 0,则ABC 为等腰三角形；ABACBC，以上命题正确的是（）A B C D 三、多选题（4 题每题 5 分共 20 分，正确选项未全部选出得 3 分，多选错选不得分）13某校举行“永远跟党走唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由 9 名专业人士和 9 名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组 A小组 B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则（）A小组 A打分的分值的众数为 47 B小组 B打分的分值第 80 百分位数为 69 C小组 A是由专业人士组成的可能性较大 D小组 B打分的分值的方差小于小组 A打分的分值的方差 14如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述错误的是（）ACC1与 B1E 是异面直线 BC1C 与 AE 共面 CAE 与 B1C1是异面直线 DAE 与 B1C1所成的角为 60 15已知直线 l 与圆22:240C xyxya相交于,A B两点，弦AB的中点为0,1M，则实数a的取值可为 A B2 C D4 16 在公比q为整数的等比数列 na中，nS是数列 na的前n项和，若1432a a，2312aa，则（）A2q B数列2nS 的通项公式为122nnS C8254S D数列2logna是公差为 2 的等差数列 四、解答题（5 题共 82 分）17已知数列 na是首项为正数的等差数列,数列11nnaa的前n项和为21nn.（1）求3a,并求出数列 na的通项公式;（7 分）（2）设2nannba,求数列 nb的前n项和nT.（8 分）18已知在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且coscos2 3sin3sinBCAbcC.(1)求b的值；（7 分）(2)若cos3sin2BB，求周长的取值范围.（7 分）19如图所示，在四棱锥PABCD，/BC平面PAD，2BCAD，E是PD的中点.（1）求证：/BCAD；（7 分）（2）求证：/CE平面PAB.（8 分）20如图，已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为32，并且椭圆经过点 P(1，32)，直线的方程为 x4 （1）求椭圆的方程；（7 分）（2）已知椭圆内一点 E(1，0)，过点 E 作一条斜率为 k 的直线与椭圆交于 A，B 两点，交直线于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数，使得 k1k2k3若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（8 分）21已知函数123()log3kxf xx为奇函数(1)求实数 k的值；（7 分）(2)设3()3kxh xx，证明：函数()yh x在(3,)上是减函数；（7 分）(3)若函数()()2xg xf xm，且()g x在4,5上只有一个零点，求实数 m 的取值范围（9分）答案及解析：1一【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，求出12zz在复平面内对应的点的坐标得答案 【解析】134iz，223iz ，12(34i)(23i)5izz ，12zz在复平面内对应的点的坐标为(5,1)，位于第一象限 故答案为：一 24 29【解析】因为sin()cos()cos()4244，所以111sin()sin()sin()cos()sin(2)cos244442226，即1cos23，由于222，所以12 2sin2193 ，所以2 2 24 2sin42sin2cos299 ，应填答案4 29 注意：解答本题的关键是如何利用诱导公式sin()cos()cos()4244将已知条件111sin()sin()sin()cos()sin(2)cos244442226，进而借助同角三角函数的关系进行分析求解，使得问题获解 34【分析】首先判断()f x奇偶性，根据奇函数性质求(1)f.【解析】由333()()2()2(2)()fxaxxaxxaxxf x 且定义域为 R，所以()f x为奇函数，故(1)(1)4ff .故答案为：4 42e4#24e 【分析】求出函数的导函数，设切点,t f t，从而表示出 f t，ft，即可得到切线方程，从而得到=e2=e 1ttabt，则243eettabt ，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【解析】解：因为 e2xf xx，所以 e2xfx，设切点,t f t，则 e2tf tt，e2tft，则切线方程为)e2e2(ttytxt，即e2e 1ttyxt，又因为=+y ax b是曲线=y f x的切线，所以=e2=e 1ttabt，则243eettabt ，令 4 3eettg tt，则 2etg tt，当2t 时，0g t，g t在2,上单调递减，当2t 时，0g t，g t在,2上单调递增，所以=2t时，g t取最大值 22224 3e2e4eg ，即2ab的最大值为24e.故答案为：24e 5C【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得.【解析】因为22,1AxxBx x，所以21ABxx.故选：C.6C【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离d满足13d，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可.【解析】由圆的方程：224xy，可得圆心为坐标原点0,0O，半径为 2 若圆上恰有 2 个点到直线的距离等于 1，则圆心到直线的距离d满足13d，则1302bdb，解得23 2b 故选：C 7D【解析】根据正三棱柱的结构特征,结合球的截面性质求得球的半径,即可得球的表面积.【解析】根据对称性,可得球心O到正三棱柱的底面的距离为2,球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O 则232 32323O A 由球的截面的性质可得222OAOOO A 所以有44433OA 所以球O的表面积为26443SOA 故选:D【注意】本题考查了三棱柱与外接球的关系,外接球表面积的求法,属于基础题.8D【解析】试题分析：棱台的上下底面的面积比为1:4，则上下底面的边长比是12:1:2rr，则截得棱锥与原棱锥的高之比是12:1:2hh.则棱台的高等于 3.考点：本题考查棱锥与棱台的性质.9D【分析】根据正态分布的对称性求出此次语文考试成绩在 90 分到 105 分之间的概率，再乘以总人数即可得解.【解析】依题意可得105，则11052P X.因为11208P X，所以11390105105120288PXPX，故此次语文考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为312004508.故选：D 10D【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.【解析】2.12.1log0.3log10a，2.100.3.3100b，0.302.21.11c，则cba.故选：D.【注意】比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.11A【分析】通过函数的奇偶性以及关系式，推出函数的周期，数列na满足11a，且21nnSann，求出数列的通项公式，然后求解56()()f af a即可【解析】函数()f x是奇函数()()fxf x 3()()()2fxf xfx，3333(3)()()()()()2222fxfxfxfxf xf x ，()f x是以 3 为周期的周期函数.数列na满足11a，且21nnSann，11a，且2nnSan，112(1)nnSan，两式相减可得121nnaa，从而得21nna，531a，663a，56()()(31)(63)f af afff（1）(0)(1)(0)303fff .故选：A.【注意】本题考查数列与函数相结合，函数的周期性以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力 12C【分析】根据平面向量的计算法则对命题逐一判断即可【解析】解：若AB AC0，则BAC 是锐角，但此角未必是最大角，A 错误；0ABBCCA；根据平面向量的三角形法则判断正确；若（ABAC）（ABAC）0，得到220ABAC，所以 ABAC，则ABC是等腰三角形，正确；ABACBC；应该为ABACCB，错误，故选：C【注意】本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用，属于基础题 13AC【分析】根据小组 A中数据，可得其众数，可判断 A 的正误；根据百分位数的求法，可判断 B 的正误；根据数据波动情况，可判断 C、D 的正误，即可得答案.【解析】由折线图知，小组 A 打分的 9 个分值排序为：42，45，46，47，47，47，50，50，55，小组B打分的 9 个分值排序为：36，55，58，62，66，68，68，70，75；对于 A：小组 A打分的分值的众数为 47，故选项 A 正确；对于 B：小组B打分的分值第 80 百分位数为9 80%7.2，所以应排序第 8，所以小组B打分的分值第 80 百分位数为 70，故选项 B 不正确；对于 C：小组 A 打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平对评估相对波动较小，故小组 A更像是由专业人士组成，故选项 C 正确；对于 D：小组 A打分的分值的均值约 47.7，小组B打分的分值均值为 62，根据数据的离散程度可知小组B波动较大，方差较大，选项 D 不正确；故选：AC 14ABD【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.【解析】由于 CC1与 B1E都在平面 C1B1BC内，故 C1C 与 B1E 共面，A错误；由于 C1C 在平面 C1B1BC内，而 AE与平面 C1B1BC相交于 E 点，点 E不在 C1C上，故 C1C与 AE是异面直线，B错误；同理 AE 与 B1C1是异面直线，C正确；AE 与 B1C1所成的角就是 AE与 BC所成的角，而 E为 BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即 AE与 B1C1所成为 90，D 错误.故选：ABD.15AB【分析】考虑M点在圆内时实数a的取值范围，从而可得正确的选项.【解析】圆C的标准方程为：22125xya，故5a.又因为弦AB的中点为0,1M，故M点在圆内，所以220 11 25a即3a.综上，3a.故选：AB.【注意】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.16AB【分析】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列 na的公比和通项及前n项和，再逐一分析各选项即可得解.【解析】在等比数列 na中，231432a aa a，由23231232aaa a得2348aa或2384aa，而公比q为整数，于是得23482aaq，2nna，12(1 2)221 2nnnS，2q，A 正确；122nnS，B 正确；9822510S，C 错误；212loglog11nnaann，即数列2logna是公差为 1 的等差数列，D 错误，故选：AB 17（1）35a，21nan；（2）1*10654()918nnnTnN【分析】（1）分别令1n 和2n，得到123a a，2315a a，化成基本量表示，得到关于1,a d的方程组，解得1,a d，从而得到3a和na的通项；（2）由（1）得121 42nnbn，利用错位相减法，得到nT.【解析】（1）设数列 na的公差为d，因为数列11nnaa的前n项和为21nn，令1n，得12113a a，所以123a a 令2n，得12231125a aa a，所以2315a a 由得 211221133215aa daa dd 解得1a1,d 2，所以3125aad，1121naandn.（2）由（1）知，121 42nnbn 12321 43 45 421 4nnTn 234181 43 45 421 4nnTn 两式相减，得 23164244.421 4nnnTn 11116 1 42054221 4241 433nnnnn 所以110654918nnnT，*nN【注意】本题考查等差数列通项的基本量计算，错位相减法求数列前n项的和，属于中档题.18(1)32b (2)3 33,2 【分析】（1）根据正余弦定理边化角得222 323aaabcc，整理求解即可得答案；（2）方法一：根据题意解得3B，进而由正弦定理得sinaA，sincC，故3sin6aAc，再结合203A求得ac的取值范围是3,32，进而得周长范围；方法二：根据题意解得3B，再结合余弦定理得22()3bacac，再结合不等式2()4acac得23acb，当且仅当ac时等号成立，最后结合三角形的性质得23bacb，进而得周长的范围(1)解：在ABC中，coscos2 3sin3sinBCAbcC，2222222 3223acbbacaabcabcc，222 323aaabcc，解得32b.(2)解:方法一：cos3sin2sin26BBB，sin16B，0B，7666B 62B，3B.由正弦定理得321sinsinsinsin3abcABC，sinaA，sincC.由ABC得23AC，23CA，且203A.2sinsinsinsin3acACAA 22sinsincoscossin33AAA 33sincos3sin226AAA.203A，5666A，1sin126A，33sin326A，ac 的取值范围是3,32.周长的取值范围是3 33,2.方法二，cos3sin2sin26BBB，sin16B，0B，7666B 62B，3B.因为由（1）得32b 所以由余弦定理得2222cosbacacB得22()3bacac 因为2()4acac 所以2223()3()4acacacb，即22()4acb，所以23acb，当且仅当ac时等号成立，又因为三角形两边之和大于第三边，所以23bacb，即332ac，所以3 332abc，即周长的取值范围是3 33,2.19（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）本题可通过线面平行的性质证得/BCAD；（2）本题可取PA的中点F，连接EF、BF，然后根据三角形的中位线的性质得出/BCEF、BCEF，再然后根据平行四边形的性质得出/ECFB，最后根据线面平行的判定即可得出结果.【解析】（1）因为/BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，所以/BCAD.（2）如图，取PA的中点F，连接EF、BF，因为E是PD的中点，所以/EFAD，12EFAD，因为/BCAD，12BCAD，所以/BCEF，BCEF，则四边形BCEF是平行四边形，/ECFB，因为EC 平面PAB，FB 平面PAB，所以/EC平面PAB.20(1)2214xy.(2)存在2，使得1232kkk【分析】(1)根据已知得到 a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)设直线AB的方程为：1yk x，利用韦达定理求出12323kkk，336kk，即得1232kkk和的值.【解析】（1）因为椭圆的离心率为32，所以22231124ba，又椭圆过点312P，所以221314ab，所以24a，21b，所以椭圆方程为2214xy（2）设直线AB的方程为：1yk x，令4x，则3yk，所以点4 3Mk，设11A x y，22B xy，所以121212332211yykkxx121233112211k xk xxx 123112211kxx12121223221xxkx xxx 由22144yk xxy，可得2222148440kxk xk 所以2122814kxxk，21224414kx xk，所以22122222823142448211414kkkkkkkkk323k 又因为3333236kkk，所以1232kkk，所以存在2，使得1232kkk【注意】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是求出韦达定理求出12323kkk，336kk.21(1)1；(2)见解析；(3)230,log 7 16.【分析】(1)由于()f x为奇函数，可得()()fxf x，即可得出k；(2)利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；(3)利用(2)函数()g x的单调性、指数函数的单调性，以及零点存在性定理即可得出 m取值范围(1)()f x为奇函数，()()fxf x，即111122223333loglogloglog3333kxkxkxxxxxkx ，22299k xx，整理得21k，1(1kk 使()f x无意义而舍去)(2)由(1)1k，故3()3xh xx，设3ab，h(a)h(b)333()33(3)(3)abbaabab 3ab时，0ba，30a，30b，h(a)h(b)0，()h x在(3,)上时减函数；(3)由(2)知，h(x)在(3,)上单调递减，根据复合函数的单调性可知()f x在(3,)递增，又y2x在 R 上单调递增，()()2xg xf xm在4,5递增，()g x在区间4,5上只有一个零点，g(4)g(5)0，解得230,log 7 16m.