2022届安徽省滁州市定远县育才学校高三下学期期中考试数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页 2022 届安徽省滁州市定远县育才学校高三下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 1已知全集为实数集 R，集合36Axx，27Bxx，则UAB（）A2,6 B2,7 C3,2 D3,2【答案】C【分析】根据补集和交集的定义，即可求解.【详解】27Bxx，2UBx x或7x，所以3,2UAB.故选：C 2若复数z满足3443i zi，则z的虚部为（）A45 B4 C45 D4【答案】C【分析】直接对3443i zi化简，求出z，从而可求出z的虚部【详解】解：由3443i zi，得5 3453434343455iziiii，z的虚部为45.故选：C.3命题“若222xy，则1x 或1y”的否命题是（）A若222xy，则1x 且1y B若222xy，则1x 或1y C若222xy，则1x 且1y D若222xy，则1x 或1y 【答案】C【分析】根据命题的否命题的定义写出给定命题的否命题即可判断作答.【详解】将一个命题的题设的否定作题设，结论的否定作结论所得到的命题是原命题的否命题，所以，“若222xy，则1x 或1y”的否命题是“若222xy，则1x 且1y”，C 正确.第 2 页 共 18 页 故选：C 4执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A20202019 B20212020 C20192020 D20202021【答案】D【分析】根据程序框图得出1111 22 320202021S，利用裂项求和法可求得输出S的值.【详解】第一次循环，12020n 不成立，11 2S，1 12n ；第二次循环，22020n 不成立，111 22 3S，2 13n ；以此类推，执行最后一次循环，20202020n 不成立，1111 22 320202021S，202012021n ；20212020n 成立，输出1111111112020111 22 32020 20212232020202120212021S.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法，可计算能力，属于中等题.5设1F，2F是椭圆22184xy的左，右焦点，点P的坐标为(2,2)，则12FPF的角平分线所在直线的斜率为（）A2 B2 C22 D12【答案】A【解析】由题意结合椭圆性质可得22PF，13 2PF，由角平分线的性质可得1122PFQFPFQF，求得2QF后即可得解.第 3 页 共 18 页【详解】由题知点22,0F，所以212PFFF，22PF，124 23 2PFPF，设12FPF与12FPF的角平分线交x轴于点Q，过点Q作1QHPF，垂足为H，如图，则12111122QPFSQPFQFHPF，22212PF QSQFPF，易知2QHQF，所以1211223PFQQFPPFQFPSFSQF，所以21414QF，所以12FPF的角平分线所在直线的料率为22221PFQF.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和直线斜率的求解，考查了逻辑推理与运算求解的能力，属于中档题.6函数sin2xyx的图象可能是（）A B C D【答案】B【分析】判断当3,22xx的符号，可排除 AC，求导，判断函数在0,上的单调性，可排除 D，即可得出答案.第 4 页 共 18 页【详解】解：由 sin02xyf xxx得，1310,0223ff，故排除 AC，2cossin2xxxfxx，令 cossing xxxx，则 singxxx，当0 x时，0g x，所以函数 g x在0,上递减，所以 00g xg在0,上恒成立，即 2cossin02xxxfxx在0,上恒成立，所以函数 f x在0,上递减，故排除 D.故选：B.7等比数列 na的前n项和为nS，已知2532a aa，且4a与72a的等差中项为54，则5S A29 B31 C33 D36【答案】B【详解】试题分析：设等比数列 na的首项为1a，公比为q，由题意知42111361125224a qa qa qa qa q，解得11216qa，所以515(1)311aqSq，故选 B【解析】等比数列通项公式及求前n项和公式【一题多解】由2532a aa，得42a 又47522aa，所以714a，所以12q，所以116a，所以515(1)311aqSq，故选 B 812nx的展开式中各项系数之和为243，设2220122111nnnxaaxaxax，则3a（）A120 B120 C45 D45【答案】B【分析】先求出n的值，再根据22202210111111nnnxaaxaxaxx ，利用通项公式求出3a的值.第 5 页 共 18 页【详解】令1x，可得12nx的展开式中各项系数之和为3243n，5n，设22202210111111nnnxaaxaxaxx ，则 733101120aC .故选：B【点睛】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.9已知函数()2(2|cos|cos)sinf xxxx，则（）A当30,2x时，()0,3f x B函数()f x的最小正周期为 C函数()f x在5,4上单调递减 D函数()f x的对称中心为(2,0)()kkZ【答案】C【分析】化简函数为3sin2,2222()()3sin2,2222xkxkf xkxkxkZ，再作出其图象，利用数形结合法求解.【详解】依题意3sin2,2222()()3sin2,2222xkxkf xkxkxkZ，作出函数()f x的大致图象如图所示；由图象知：当30,2x时，()1,3f x ，故 A 错误；函数()f x的最小正周期为2，故 B 错误；函数()f x在5,4上单调递减，故 C 正确；函数()f x的对称中心为(,0)()kkZ，故 D 错误 故选：C【点睛】方法点睛：1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式 第 6 页 共 18 页 2函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2T，ytan(x)的最小正周期为T.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t的性质求解 10已知函数 xf xxe，lng xxx，若 12f xg xt，其中0t，21 2lntx x的最大值为（）A1e B2e C21e D24e【答案】B【分析】先利用条件代入得到1x和2ln x是方程()xxxet的二根，继而判断单调性及值的分布得到1x=2ln x，化简所求式212ln2lnttx xt，再利用单调性研究其最大值即可.【详解】已知函数 xf xxe，lng xxx，12f xg xt，故11xx et，22lnxxt即22lnln22lnlnxxexxet，故1x和2ln x是方程()xxxet的二根.()(1)xxxe，1x 时()0 x，1x 时()0 x，即()xxxe在,1 上递减，在1,上递增，又0 x时()0 x，()0 xxxet 只有一根，故1x=2ln x，则21222ln2lnlnttx xxx，而22lnxxt 故212ln2lnttx xt，设2ln()th xt，0t，则22 1 ln()0th xt，得te 0te 时()0h x，te时，()0h x 即2ln()th xt在0,e上递增，在,e 上递减，xe时，2ln()th xt取得最大值为2ln2()eh eee，故21 2lntx x的最大值为2e.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性和最值问题，属于中档题.113 月 5 日学雷锋活动日，某班安排 5 名同学（其中 2 人具有文艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每个活动至少安排 1 人，每人安排 1 个活动若第 7 页 共 18 页 文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的安排方案有（）A240 种 B78 种 C72 种 D6 种【答案】B【分析】5 名同学参加 4 项活动，则有一项活动有两人，根据情况分类讨论【详解】若文艺表演有 2 人，则有336A 种 若文艺表演有 1 人，则其他某项活动有 2 人 共1122234272CCCA种 综上，不同的安排方案有 78 种 故选：B 12已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，CD 平面ABC，2 3AC，ABC是正三角形，ACD是等腰三角形，则球O的体积为（）A20 53 B8 6 C28 73 D36【答案】C【分析】线面垂直性质和等腰三角形特点可知2 3CD，由等边三角形特点可求得外接圆半径CE，由此可求得外接球半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】CD 平面ABC，AC平面ABC，CDAC，又ACD是等腰三角形，CDAC ABC是正三角形，2 3ABBCACCD 设E为ABC外接圆的圆心，则322 3223CE，132OECD，227OCOECE，球O的体积 3428 7733V.故选：C.第 8 页 共 18 页 二、填空题 13已知60,aaxx展开式的常数项为 15，则21sin2aaxx dx_【答案】2#12【分析】根据二项式的展开式的通项公式结合已知条件求a，再由微积分基本定理和定积分的几何意义求21sin2aaxx dx.【详解】二项式6axx的展开式的通项公式为：63362166C1CrrrrrrrraTxaxx，令3302r，即2r，26 2261C15a，46 5152 1a 41a，又0a，1a，1122111sin21sin2aaxx dxx dxxdx，1111111sin2cos2cos2cos20222xdxx ，根据定积分的几何意义可得1211x dx表示半圆2210 xyy与x所围成的区域的面积，122111122x dx，21sin22aaxx dx 故答案为：2.14在ABC中，6B，E为AB边上一点，且2EC，5EA，2EA EC，则BC _.【答案】8 55【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出cosAEC，从而求出sinBEC，再由正弦定理，即可得出结果.第 9 页 共 18 页【详解】因为2EC，5EA，2EA EC，所以5cos5EA ECAECEA EC，所以 又E为AB边上一点，所以AECBEC，因此5coscos5BECAEC ，所以2 5sin5BEC，在BEC，由正弦定理可得：sinsinECBCBBEC，即212525BC，解得：8 55BC.故答案为：8 55.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型.15如图，已知正四棱柱1111ABCDA B C D和半径为3的半球 O，底面 ABCD 在半球 O 底面所在平面上，1A，1B，1C，1D四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_ 【答案】4【分析】设该正四棱柱的高为 h，底面边长为 a，计算出底面外接圆的半径2ra2，利用勾股定理22hr3，得出22a62h，利用柱体体积公式得出柱体体积 V 关于 h 的函数关系式，然后利用导数可求出 V 的最大值【详解】设正四棱柱1111ABCDA B C D的高为 h，底面棱长为 a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2r2a，所以，2ra2 由勾股定理得222hr(3)，即22ah32，得22a62h，其中0h3，所以，正四棱柱1111ABCDA B C D的体积为223Va h62hh2h6h，其中0h3，构造函数 3f h2h6h，其中0h3，则 2f h6h6，令 f h0，得h1 当0h1时，f h0；当1h3时，f h0 第 10 页 共 18 页 所以，函数 Vf h在h1处取得极大值，亦即最大值，则 maxVf 14 因此，该正四棱柱的体积的最大值为 4【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题 16若x，y满足约束条件212xyxyy，则2zxy的最大值为_【答案】4【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求解.【详解】作出不等式组对应的可行域，为如下图所示的ABC区域.由2zxy得2yxz，它表示斜率为 2，纵截距为z的直线系，当直线经过点B时，直线的纵截距z最小，z最大.联立21yxy得(3,2)B.所以2 324maxz.故答案为：4 【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题 第 11 页 共 18 页 172022 年 2 月 20 日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了 100 名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 (1)如果规定竞赛得分在80,90为“良好”，竞赛得分在90,100为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取 5 人现从这 5 人中抽取 2 人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；(2)以这 100 名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率现从该校学生中随机抽取 3 人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望【答案】(1)110(2)分布列见解析，35 【详解】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为110 所以成绩为“良好”的抽取130310人，成绩为“优秀”的抽取120210人 所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为2225110CPC（2）由题意知，X的可能取值0，1，2，3 由题可知，任意 1 名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155PP 若以频率估计概率，则X服从二项分布13,5B 03031464055125P XC ；12131448155125P XC ；21231412255125P XC ；3033141355125P XC 所以X的分布列为 第 12 页 共 18 页 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 6448121301231251251251255E X 18在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，222sinsinsinsinsinACBAC.（1）求角B的大小；（2）若ABC为锐角三角形，3b，求2ac的取值范围.【答案】（1）3B；（2）0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2ac，再由锐角三角形得出C的范围，进而得出答案【详解】（1）由已知222sinsinsinsinsinACBAC，结合正弦定理，得222acbac.再由余弦定理，得2221cos222acbacBacac，又0,B，则3B.（2）由3B，3b，则由正弦定理，有 224sin2sin4sin2sin3acACCC224 sincoscossin2sin2 3cos33CCCC 因为ABC为锐角三角形，则62C，则30cos2C.所以2ac的取值范围为0,3.19如图，三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，PAPB，90APBACB，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心.（1）证明：GF平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155【分析】（1）根据三角形重心性质可得DEAC，根据三角形中位线性质得EFAP，再根据线面第 13 页 共 18 页 平行判定定理得DE平面PAC，EF平面PAC，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；（2）先根据面面垂直性质定理得PE 平面ABC，确定GF与平面ABC所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角.【详解】（1）连接EF，连接EG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，从而点D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，DEAC，EFAP.又DE，EF 平面PAC，AC，AP平面PAC，DE平面PAC，EF平面PAC.又DE，EF 平面PAC，DEEFE，平面EFG平面PAC，又GF 平面PAC，GF平面PAC.（2）连接PE，PAPB，E是AB的中点，PEAB，平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABCAB，PE 平面PAB，PE 平面ABC.连接CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连接OF，则OPPE，OF 平面ABC.FGO为GF与平面ABC所成的角，即60FGO.在Rt FGO中，设2GF，则1OG，3OF，3OC，2 3PE.4 3AB，2 3CE，3OE，222OEOCCE，即OCAB，如图建立空间直角坐标系Oxyz，则0,3 3,0A，3,0,0C，0,3,2 3P.第 14 页 共 18 页 3,3 3,0AC，0,2 3,2 3AP，设平面PAC的一个法向量为1,nx y z，则1133 302 32 30nAPxynACyz，可取13,1,1n，又平面PAB的一个法向量为21,0,0n，则121212315cos,55n nn nnn，所以二面角BAPC的余弦值为155.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题.20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点（1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y21x上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求 MPQ 面积的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）3 26 24，【分析】（1）设211(),2xP xp，222(),2xQ xp，根据条件分别求出直线 PG 的方程，QG 的方程，联立可得1212122x xxxxxyp，化简得到点 G 在定直线2py 上（2）设00(,)M xy，表示出MPQ的面积322120013 2(4)24SMNxxxy结合M在曲线y21x上，即可求出面积的取值范围【详解】（1）证明：易知(0,)2pF，设211(),2xP xp，222(),2xQ xp 由题意可知直线 l 的斜率存在，故设其方程为2pykx 由222pykxxpy，得2220 xpkxp，所以212x xp 由22xpy，得22xyp，xyp，则1PGxkp，第 15 页 共 18 页 直线 PG 的方程为21112yxxpxxp，即21102xxxypp.同理可得直线 QG 的方程为22202xxxypp.联立，可得121212()()2x xxxxxyp 因为12xx，所以1 222xxpyp，故点 G 在定直线2py 上（2）设00(,)M xy，MP，MQ的中点分别为210104()22xyxx,，220204(,)22xyxx 因为MP，MQ得中点均在抛物线上，所以1x，2x为方程20204()422xyxx的解，即方程22000280 xx xyx的两个不同的实根，则1202xxx，21 2008xxyx，22000(2)4(8)0 xyx，即2004xy，所以PQ的中点N的横坐标为0 x，纵坐标为22121()8xx.则22221201212000113()()23884MNxxyxxx xyxy，2212121200()42 2(4)xxxxx xxy，所以MPQ的面积322120013 2(4)24SMNxxxy 由2001yx，得22000110 xyy ，所以22200000441(2)5xyyyy ，因为010y，所以201(2)54y，所以MPQ面积的取值范围为3 2,6 24【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题 第 16 页 共 18 页 21已知函数 2lnf xmxxx，0m.(1)若2m ，求函数 f x的单调区间；(2)若 120f xf x，且12xx，证明：12lnln2xx.【答案】(1)单调递增区间为0,，无单调递减区间(2)证明见解析 【分析】（1）求得 2ln1fxxx，分析导数的符号变化，由此可得出结论；（2）设12xx，由已知得出1122ln0ln0mxxmxx，变形得出112121221lnln1xxxx xxxx，设121xtx，将所证不等式转化为21ln1ttt，构造函数 21ln1th ttt，利用导数证明出 0h t 对任意的1t 恒成立，即可证得结论成立.【详解】（1）解：依题意 22 lnf xxxx，2ln222ln1fxxxxx .令 ln1g xxx，则 1110 xgxxxx，当0,1x时，0g x，当1,x时，0gx，故函数 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则 10g xg，即 0fx，故函数 f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间.（2）证明：要证12lnln2xx，即证1 2ln2x x.依题意，1x、2x是方程2ln0mxxx的两个不等实数根，不妨令12xx，因为0 x，故1122ln0ln0mxxmxx，两式相加可得 1212lnln0mxxxx，两式相减可得 1212lnln0mxxxx，消去m，整理得12121122lnlnx xxxxxxx，故111212121212221lnlnln1xxxxxxx xxxxxxx，第 17 页 共 18 页 令121xtx，故只需证明1ln21ttt，即证明21ln1ttt，设 21ln1th ttt，故 222114011th tttt t，故 h t在1,上单调递增，从而 10h th，因此21ln1ttt.故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2224xy，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos.（1）求曲线2C的直角坐标方程；（2）已知曲线3C的极坐标方程为,0,R，点A是曲线3C与1C的交点，点B是曲线3C与2C的交点，且AB，均异于原点O，且|4 2AB，求实数a的值.【答案】（1）22(2)4xy（2）34【解析】（1）给曲线2C的极坐标方程两边同时乘以，得24 cos，再结合极坐标与直角坐标的互化公式可得2C的直角坐标方程；（2）化1C为极坐标方程4sin，可得|4|sincos|4 2 sin4 24ABAB，则实数a的值可求.【详解】（1）因为曲线2C的极坐标方程为4cos，所以24 cos，所以2C的直角坐标方程为224xyx，整理得22(2)4xy.（2）221(2)4:Cxy化为极坐标方程4sin，所以|4|sincos|4 2 sin4 24ABAB，第 18 页 共 18 页 所以sin14，所以()42kkZ，即3()4kk Z，又因为0，所以34.【点睛】此题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与直角坐标的互化，属于中档题.23已知数 f xxm，23h xxx.（1）若不等式 3f x 的解集为15xx，求实数m的值；（2）若关于x的方程 260 xxh t有解，求实数t的取值范围.【答案】（1）2m；（2）5,4.【分析】（1）由3xm解得33 mxm，列出方程组即可求解；（2）根据方程有解可得 9h t，再分段讨论去绝对值解出不等式.【详解】解：（1）由3xm，解得33 mxm.所以3135mm ，解得2m；（2）21323532212tth tttttt ，关于x的方程 260 xxh t有解，即有 3640h t，9h t.9h t可等价转化为3219tt 或3259t 或2219tt，即53 t或32 t或24t.所以实数t的取值范围为5,4.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，解题的关键是正确分段讨论去绝对值.