2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期末考试数学解析版.pdf

1 衡阳市八中 2021 级高二上期期末考试 数 学 试 题 命题人：周正午 审题人：罗欢 注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟 一、单选题 1设集合2|430Ax xx，|230Bxx，则AB（）A3(3,)2 B3(3,)2 C3(1,)2 D3(,3)2【答案】D【详解】试题分析：集合|130|13Axxxxx，集合，所以3|32ABxx,故选 D.2已知复数z的共轭复数21 iz，则复数z的虚部为（）Ai Bi C1 D1【答案】C【分析】根据复数运算，复数与共轭复数关系解决即可.【详解】2 1 i21 i1 i1 i 1 iz，所以1 iz ，所以复数z的虚部为 1 故选：C 3已知向量,a b均为单位向量，且ab，则(2)(4)abab（）A2 B2 C4 D4【答案】B【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.【详解】解：因为向量,a b均为单位向量，且ab，所以1ab，0a b，所以2222(2)(4)247242abababa bab，故选：B.4抛物线21:4E yx的焦点到其准线的距离为（）A18 B14 C2 D4【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到p，再根据p的几何意义得解；【详解】解：抛物线21:4E yx，即24xy，则24p，所以2p，所以抛物线的焦点到其准线的距离为2p.故选：C 5沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时 27 分钟，则经过 19 分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 2 A1:1 B2:1 C2:3 D3:2【答案】B【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的1927，然后根据体积之比可得答案.【详解】由题意漏下来的沙子是全部沙子的1927，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，可以单独研究下方圆锥，3 827VhVh上上全全，23hh上全，21hh上下.故选：B 6设5log 2a，sin53(sin37)b，1222()2c，则（）Aabc Bcab Ccba Dacb【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小.【详解】551log 2log52a，因为0sin371，所以sin531sin37sin37sin302b ，1212121 22212222c，所以acb.故选：D.7已知函数 23sin 22cos1(0fxxx），若()f x在（0，）上有 2 个极大值，则的取值范围是（）A76，136）B76，53 C（76，136 D（76，53【答案】C【分析】先对函数化简，然后由0,x，所以22.666x再由()f x在（0，）上有 2 个极大值，可得592262，从而可求出的取值范围【详解】由题意可得 3sin2cos22sin(26f xxxx）因为0,x，所以22.666x 因为()f x在（0，）上有 2 个极大值，所以592262，所以71366，故选：C 3 8在正方体1111ABCDABC D中，3AB，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形1ABD内有一动点P（包括边界），则PAPE的最小值是（）A2 B2 2 C3 D3 3【答案】C【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设A关于平面1ABD的对称点为,A x y z，利用点到面的距离的向量求法和/AAn可构造方程组求得A坐标，利用PAPEPAPEAE可求得结果.【详解】以D为坐标原点，1,DA DC DD为,x y z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则13,0,3A，3,3,0B，0,0,0D，3,0,0A，3,1,0E，3,3,0DB，13,0,3DA，10,0,3AA，设A关于平面1ABD的对称点为,A x y z，则13,3AAxyz，3,AAxy z，设平面1ABD的法向量,na b c，则1330330DB nabDA nac，令1a，解得：1b，1c，1,1,1n ，A与A到平面1ABD的距离1133AA nA A nxyzdnn，又/AAn，3xyz ，1x，2y，2z，1,2,2A，4 143PAPEPAPEA E（当且仅当,A P E三点共线时取等号），即PAPE的最小值为3.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对称点A，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.二、多选题 9已知空间中三点0,1,0A，2,2,0B，1,3,1C，则下列结论正确的有（）AABAC B与AB共线的单位向量是1,1,0 CAB与BC夹角的余弦值是5511 D平面ABC的一个法向量是1,2,5 试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 4【答案】AD【分析】A 选项，数量积为 0，则两向量垂直；B 选项，判断出1,1,0不是单位向量，且与AB不共线；C 选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D 选项，利用数量积为0，证明出,mAB mBC，从而得到结论.【详解】2,1,01,2,1220AB AC ，故ABAC，A 正确；1,1,0不是单位向量，且1,1,0与2,1,0AB 不共线，B 错误；2,1,03,1,1555cos,1151155AB BCAB BCABBC ，C 错误；设1,2,5m，则 1,2,52,1,0220m AB，1,2,53,1,13250m BC ，所以,mAB mBC，又ABBCB，所以平面ABC的一个法向量是1,2,5，D正确.故选：AD 10已知函数 32142fxxxx，则（）A1x 是 f x的极小值点 B f x有两个极值点 C f x的极小值为1 D f x在0,2上的最大值为2【答案】ABD【分析】利用导数分析函数 f x的单调性与极值，可判断 ABC 选项；利用函数的最值与导数的关系可判断 D 选项.【详解】因为 32142fxxxx，所以 2341 34fxxxxx，当4,1,3x 时，0fx；当4,13x 时，0fx，故 f x的单调递增区间为4,3 和1,，单调递减区间为4,13，则 f x有两个极值点，B 正确；且当1x 时，f x取得极小值，A 正确；且极小值为 512f，C 错误；又 00f，22f，所以 f x在0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.11设等比数列na的公比为q，其前和项和nS，前 n 项积为nT，且满足条件11a，202020211aa，20202021110aa，则下列选项正确的是（）A01q B202020211SS C2020T是数列 nT中的最大项 D40411T【答案】AC【分析】由题意，根据202020211aa，20202021110aa，即可确定q的取值范围；根据求解出的q的取值范围，来判断2021a的大小，然后判断选项 B；根据已知1a和q的取值，判断数列an的单调性，从而可以确定前 n 项积的最大值；利用等比中项的性质，将前 n 项积转化成40412021a，从而进行判断.【详解】由等比数列na公比为q，11a，202020211aa，2019202024039111()()()1a qa qaq，由11a 可得q0，20202021110aa，得 5 2020202111aa或2020202111aa（舍去），故202120201aqa，综上202120201aqa0 故选项 A 正确；20202020202120211SSaS，故选项 B 错误；由已知，1232020202110aaaaa ，可知 T2020 是数列Tn中的最大项，故该选项 C 正确；由等比数列的性质可知，21404124040202020222021a aa aaaa，所以 40414041123404120211Ta a aaa，故该选项 D 错误.故选：AC.12公元前 300 年前后，欧几里得撰写的几何原本是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”黄金双曲线 2222:1(0,0)xyEabab的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为B，PQ为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点 设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（）A512e B2|OA OFOB COMPQkke D若OPOQ，则2211|eOPOQ恒成立【答案】ABC【解析】由E为黄金分割双曲线可得accac，即22aacc(*)，对(*)两边同除以2a可得210ee，则512e，A 正确；对(*)继续变形得222accab，222222222222|2()3ABBFabcbaccaca，22|()AFac 222223aaccca，ABBF，所以90ABF，又AOB90，所以BAOFBO，ABOBFO，所以AOBBOF，所以OAOBOBOF，所以2|OA OFOB，B 正确；设11()P x y，22()Q x y，00()M x y，将P Q，坐标代入双曲线方程可得，22112222222211xyabxyab，作差后整理可得2212122121yyyybxxxxa ，即20212210yyybxxxa 所以22225112PQOMcakkea ，故 C 正确；试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 6 设直线OPykx：，则直线1OQyxk：，将ykx代入双曲线方程222222b xa ya b，可得222222a bxba k，则2222222a b kyba k，222222222(1)|a b kOPxyba k，将k换成1k即得2|OQ222222(1)a bkb ka，则2222222222222211()(1)11|(1)bakbaOPOQa bka bab与a，b的值有关，故 D 错误，故选：ABC 三、填空题 13甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行某种劳动技能比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5 人的名次排列共可能有_种不同的情况.（用数字作答）【答案】54【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名 3 种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有 3 种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A种，由分步乘法计数原理可知共有333 3 A54 种，故答案为：54.14已知圆C的圆心为2,1C，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420lxy与C交于,A B两点，120ACB，则实数_【答案】1或11【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.【详解】圆C的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为22(20)(1 0)5r，又圆心为2,1C，故圆C的方程为22(2)(1)5.xy 120,5,ACBCACB圆心C到直线l的距离为1,2dr即8252164，解得1 或11 故答案为：-1 或-11 15已知a，b为正实数，直线2yxa与曲线lnyxb相切，则12ab的最小值是_.【详解】设切点为（m，n），yln（x+b）的导数为1yxb，由题意可得1mb=1，又 nm2a，nln（m+b），解得 n0，m2a，即有 2a+b1，因为 a、b为正实数，所以121244=()(2)22428babaababababab，当且仅当122ab时取等号，故12ab的最小值为 8 16已知函数()f x是定义在R上的偶函数，记()fx为函数()f x的导函数，且满足 7 ee2 exxxf xfxx，则不等式 eexxf x 的解集为_.【答案】1，【解析】因为()f x是定义在R上的偶函数，所以()()fxf x，故()()fxfx，又()()()()fxxfxfx ，所以()()fxfx，即()()fxfx，所以()fx是定义在R上的奇函数；又因为 ee2 exxxf xfxx，所以 ee2 exxxfxfxx，即 ee2 exxxf xfxx，两式相加，再整理得：e(e)xxxf xx，所以由 eexxf x 得eeeexxxxxx，即eexx，令 eexh xx，则 ee1 exxxhxxx，当1x 时，0h x；当1x 时，0h x，所以 h x在,1 上单调递减，在1,上单调递增，又因为 11 ee=0h ，所以在1,上，由 01h xh，解得1x；又当1x时，0,e0 xx，即e0exx，故ee0 xx，即 0h x，综上：ee0 xh xx的解集为1x x，故 eexxf x 的解集为1x x.故答案为：1x x.四、解答题 17已知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，且2coscosbaCcA (1)求角C；(2)若22,cabABC的面积为3，求ab的值.【答案】(1)3 (2)2 5【分析】（1）结合正弦定理，边化角即可求解角C；（2）结合三角形面积公式与余弦定理求解2ab，即可得ab的值.【详解】（1）解：2coscosbaCcA，由正弦定理得2sinsincossin cosBACCA，所以2sin cossin coscos sinBCACACsinsin,A CB 由于0,B，所以sin0B，则1cos2C，又0,C，所以3C；（2）解：由（1）得3113sin,sin32222CSabCab，4ab 由余弦定理得22222cos()32cababCababab，22()3520abcabab，2 5ab.18在数列 na中,12a,1122nnnaa,设2nnnab.（1）证明：数列 nb是等差数列并求数列 na的通项公式；（2）求数列 na的前n项和.【答案】（1）证明过程见详解；2nnan；（2）1(-1)2+2nnTn.【分析】（1）根据题意，计算11nnbb，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出nbn，从而得出 na的通项公式；试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 8（2）先记数列 na的前n项和为nT，根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）因为1122nnnaa，2nnnab，所以111112212222nnnnnnnnnnnaaaabb，所以数列 nb是公差为1的等差数列；又12a，所以11112ab，因此nbn，即2nnan；（2）记数列 na的前n项和为nT，则2121 22 22nnnTaaan 所以23121 22 22nnTn 得2112(12)222221 2nnnnnnnT 1112222(1)2nnnnn 所以1(1)2+2nnTn.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念，通项公式，等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19在三棱锥PABC中，ABBC，30BAC，O，M分别为AC，AB的中点，D，E，F分别为PC，OC，MB的中点，OP 平面ABC，PB与平面ABC所成的角为60 (1)求证：/PM平面DEF；(2)求平面ABC与平面MEP的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)5353.【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）连结OM O，M分别为AC，AB的中点，/OMBC，即四边形OMBC是梯形，E，F为分别为OC，MB的中点，/OMEF，而OM 平面DEF，EF 平面DEF/OM平面DEF，9 D、E为分别为 PC、OC的中点，/OPDE，而OP 平面DEF，DE平面DEF/OP平面DEF，又OMOPO，OM 平面POM，OP 平面POM，平面POM/平面DEF，PM 平面POM，/PM平面DEF；（2）ABBC，O为AC的中点，OBAC，OP 平面ABC，故OB，OC，OP两两垂直 分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz 不妨设2AB，由30BAC得1OB，3OA，PB与平面ABC所成的角为60，而OP 平面ABC，60PBO，3OP，0,0,3P，31,022M，30,02E，易知0,0,1m 为平面ABC的法向量，30,32PE，1,3,02ME，设,nx y z为平面MEP的法向量，33021302n PEyzn BMxy，令2y，则4 3,2,1n 为平面MEP的一个法向量，153cos,5314841m nm nm n，试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 10 平角ABC与平面MEP的夹角的余弦值为5353.20 2022 年 7 月 1 日是中国共产党建党 101 周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分 100 分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有 m 人，按年龄分成5 组，其中第一组：20,25),第二组：25,30),第三组：30,35),第四组：35,40),第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 10 人 (1)根据频率分布直方图，估计这 m 人的平均年龄和第 80 百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任“党章党史”的宣传使者若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.【答案】(1)32.25，37.5 (2)35【分析】（1）直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第 80 百分位数；（2）按照分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率.【详解】（1）解：设这 m人的平均年龄为x，则22.50.01527.50.07532.50.06537.50.04542.50.02532.25(x 岁).设第 80 百分位数为 a，由0.050.350.3(35)0.040.8a，解得37.5.a （2）解：由题意得，第四组应抽取 4 人，记为 A，B，C，甲，第五组抽取 2 人，记为D，乙.对应的样本空间为：(,),(,),(A BA CA,甲)，(A,乙)，(,)A D，(,)B C，(B,甲)，(B,乙)，(,)B D，(C,甲)，(C,乙)，(,)C D，(甲,乙)，(甲,)D，(乙,)D，共 15 个样本点.设事件M“甲、乙两人至少一人被选上”，则(MA,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,乙)，(甲,乙)，(甲,，)D，(乙,)D，共有 9 个样本点.所以，()3().()5n MP Mn 21已知点52,3Q为椭圆 C：22221(0)xyabab上一点，A、B分别为 C的左、右顶点，且QAB的面积为 5(1)求 C 的标准方程；(2)过点1,0P的直线 l与 C相交于点 M，N（点 M在 x轴上方），AM，BN与 y 轴分别交于点 G，H，记1S，2S分别为AOG，AOH（点 O 为坐标原点）的面积，证明：21SS为定值【答案】(1)22195xy (2)证明见解析 11【分析】（1）由QAB的面积为 5 与点52,3Q在椭圆 C上得到关于,a b的方程组，解之即可得到椭圆 C的标准方程；（2）设出直线 l的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）因为QAB的面积为 5，点52,3Q为椭圆 C：22221xyab上一点，所以22221525235231aab，解得35ab，所以椭圆 C的标准方程为22195xy.（2）由题意可知直线 l的斜率不为零，故设方程为1xmy，联立为221951xyxmy，消去x，得22(59)10400mymy，设11221(,),(,)(0)M x yN xyy，则1212221040,5959myyy ymm，故12124()yymy y，又因为12240059y ym，所以20y，又(3,0),(3,0)AB，则直线AM的方程为11113yyyxxx，令0 x，得111111333x yyyyxx，则1130,3yGx，同理可得：2230,3yHx，所以1211221221133332133332GGHHOA yyxySyxSyxyyxOA y12121121122112212212(2)2442241(4)4444482y mymy yyyyyyyy mymy yyyyyyy，因此12SS为定值.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.22已知函数 22ln,f xxaxbx a bR(1)当0b时，讨论 f x的单调性;(2)设12,x x为 f x的两个不同零点，证明：当0,x时，试卷第!异常的公式结尾页，共 13 页 12 12212124sin2exxf xxxx【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导后，分别在0a和0a 的情况下，根据 fx的正负可得 f x单调性；（2）由 1200f xf x可整理得到1212121212212ln1xxxa xxb xxxxx，将所证不等式化为121212121212212ln2ln4sin2e1xxxxxxxxxxxx，采用分析法可知只需证明121212121221lnlne21xxxxxxxxxx即可；令 21ln011xg xxxx，利用导数可求得 0g x，得到1121221ln21xxxxxx；令 e1xh xx，ln1xxx，利用导数可证得2e1lnxxx，由取等条件不同可知2elnxx，由此可证得不等式.【详解】（1）当0b时，22lnfxxax，则 f x定义域为0,，221axfxx；当0a时，210ax ，0fx恒成立，f x在0,上单调递增；当0a 时，令 0fx，解得：1xa（舍）或1xa，则当10,xa时，0fx；当1,xa时，0fx；f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减；综上所述：当0a时，f x在0,上单调递增；当0a 时，f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.（2）不妨设210 xx，则1201xx，且211122222ln02ln0 xaxbxxaxbx，两式作差整理得：221121222lnxa xxb xxx，1212122lnxxa xxbxx，111222121212112222ln12ln1xxxxxxxa xxb xxxxxxx；1212121212121212212ln2ln2ln1xxxf xxxxa xxb xxxxxxx；13 要证12212124sin2exxf xxxx，只需证121212121212212ln2ln4sin2e1xxxxxxxxxxxx，又124sin4xx，则只需证1212121212212ln2ln2e41xxxxxxxxxx；即证121212121221lnlne21xxxxxxxxxx；令 21ln011xg xxxx，则 222114011xgxxxx x，g x在0,1上单调递增，10g xg，当01x时，21ln1xxx，即1ln21xxx，1121221ln21xxxxxx；令 e1xh xx，则 e1xh x，当,0 x 时，0h x；当0,x时，0h x；h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，00h xh，则e1xx，2e1xx（当且仅当2x 时取等号）；令 ln1xxx，则 111xxxx，当0,1x时，0 x；当1,x时，0 x；x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，10 x，ln1xx（当且仅当1x 时取等号）；2lnexx，即12212lnexxxx；又1121221ln21xxxxxx，121212121221lnlne21xxxxxxxxxx，12212124sin2exxf xxxx成立.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、证明不等式的问题；本题证明不等式的基本思路是采用分析法，将所证不等式分割为两个部分：1121221ln21xxxxxx和12212lnexxxx，采用构造函数的方式进一步将问题转化为函数最值的求解问题.