2022届山东省德州市高三三模数学试题(.pdf

山东省德州市 2022 届高三三模 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集为R，设集合3Ax x，ln(2)Bx yx，则RAB（）A(2,3)B(2,3 C2,3)D2,3 22a 是直线230axya和5(3)70 xaya平行的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知圆锥的底面直径为2，母线长为2 2，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）A4 B34 C2 D 4古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，(4,0)A，(2,0)B，点M满足|2|MAMB，则点M的轨迹方程为（）A22(4)16xy B22(4)16xy C22(4)16xy D22(4)16xy 5已知对数函数()f x的图像经过点1,38A与点(16,)Bt，0.1logat，0.2tb，0.1ct，则（）Acab Bbac Cabc Dcba 651(2)(2)yxyx的展开式中24x y的系数为（）A80 B24 C12 D48 7已知平面向量(2,0)a，(0,1)b，且非零向量c满足(2)()acbc，则c的最大值是（）A1 B2 C3 D2 8已知函数()f x是定义在R上的奇函数，对于任意12xx，必有 12f xf x，若函数2()(32)F xf xmfx只有一个零点，则函数26()(2)2mxg xxx有（）A最小值为4 B最大值为4 C最小值为 4 D最大值为 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知复数5i12iz，则下列各项正确的为（）A复数z的虚部为i B复数2z为纯虚数 C复数z的共轭复数对应点在第四象限 D复数z的模为 5 10已知函数()sin(0)6f xx图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34，则（）A函数()f x的最小正周期为3 B将函数()f x的图像向左平移4个单位长度后所得图像关于原点对称 C函数()f x在5,2上为增函数 D设|3()e24xg xfx，则()g x在(10,10)内有 20 个极值点 11已知线段 BC 的长度为 4，线段 AB 的长度为m，点 D,G 满足ADDC，0DG AC，且G点在直线AB 上，若以 BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则（）A当4m 时，点G的轨迹为圆 B当68m时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为1 2,2 3 C当2m 时，点G的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为3yx D当5m 时，BCG面积的最大值为 3 12 如图，在正三棱柱111ABCABC中，1ABBCAC，12AA，P 为线段1BB上的动点，且11B PB B，则（）A存在，使得1APBC B当12时，三棱锥111PA BC的外接球表面积为73 C当14时，异面直线1AP和1C B所成角的余弦值为5 3939 D过P且与直线 AB和直线11BC所成角都是60的直线有三条 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知3,2，1tan42，则cos _ 14设nS是等差数列 na的前n项和，若12a，735S，则6a _.15 已知某种袋装食品每袋质量(500,16)XN，则随机抽取 10000 袋这种食品，袋装质量在区间(492,504的约_袋（质量单位：g）.（附：2,XN，则()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX）.16若0,2x，使不等式1e 1 lnee1xaaxx成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图，在ABC中，2BC，2AC，4A，点 MN是边 AB 上的两点，6MCN.(1)求ABC的面积；(2)当3BN，求 MN 的长.18已知数列 na的前n项和为nS，13a，*112nnSnanN.(1)求数列 na的通项公式na和前n项和nS；(2)设*22111kkkbkSSN，数列 nb的前n项和记为nT，证明：*16nTnN.19某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为*10n nN，统计得到以下 22 列联表，经过计算可得24.040K.男生 女生 合计 喜欢 6n 不喜欢 5n 合计 10n 10n (1)完成表格求出 n 值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取 9 人，再从这 9 人中抽取 3 人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取 10 人，记其中对长跑喜欢的人数为 X，求 X 的数学期望.附表：20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：22n adbcKabcdacbd.20已知底面 ABCD为菱形的直四棱柱，被平面 AEFG 所截几何体如图所示.(1)若CEBG，求证：FGBG；(2)若2AB，60DAB，三棱锥 GACD的体积为2 33，直线 AF 与底面 ABCD所成角的正切值为32，求锐二面角AECB的余弦值.21已知 F 为抛物线2:2(0)Txpy p的焦点，点 P在抛物线 T上，O为坐标原点，OPF的外接圆与抛物线 T 的准线相切，且该圆周长为3.(1)求抛物线T的方程；(2)如图，设点 A，B，C 都在抛物线 T 上，若ABC是以 AC为斜边的等腰直角三角形，求AB AC的最小值.22已知函数ln()1axf xx，曲线()yf x在(1,(1)f处的切线与直线20 xy垂直.(1)设()(1)()xg xxf x，求()g x的单调区间；(2)当0 x，且1x 时，ln1()1xkf xxx，求实数k的取值范围.1页 参考答案：1D 2A 3C 4B 5C 6A 7B 8A 9BC 10ABD 11BCD 12BD 131010 147 158186 1621,ee 17(1)在ABC中，BCAC，则AB 由正弦定理得：sinsinBCACAB，22sinsin4B，则1sin2B 因为(0,)B，则16B 或56B（不合题意，舍去），则62sinsinsincoscossin4CABABAB ABC的面积为131sin22ABCSCB CAC(2)在BCN中，2BC，3BN，6B 由余弦定理可得222cos43616CNBCBNBC BN 则有222BCBNCN，所以CNAB 2页 在直角CMN中，1CN，6MCN 3tan63MNCN，则33MN 18(1)由112nnSna，得*111(1)12nnSnanN 两式相减可得12nnaa，因为13a，得21a 数列 na为 3，1，3，1，3，1，3，即3,21,N1,2nnkaknk，当n为偶数时，3(1)2nnSn；当n为奇数时，13(1)322nnSn；2,21,N,2nnnkSkn nk(2)由*22111kkkbkSSN 则有221111111(21)(23)2 2123nnnbSSnnnn 所以1 1111112 35572123nTnn，1 1112 3236nnT 19(1)22 列联表如下表所示：男生 女生 合计 喜欢 6n 5n 11n 不喜欢 4n 5n 9n 合计 10n 10n 20n 3页 2220(6545)204.040101011999nnnnnnKnnnn，而*nN，于是得20n，又24.0403.841K，所以有 95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.(2)采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取 9 人，这 9 人中男生的人数为 4，女生的人数为 5，再从这 9 人中抽取 3 人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C42011C8421P ；由（1）知，任抽 1 人喜欢长跑的概率1120p，依题意，11(10,)20XB，所以 X 的数学期望是1111()10202E X.20(1)连接 BD，交 AC于点 O，底面 ABCD为菱形，ACBD，由直四棱柱得GD 底面 ABCD，又AC 平面 ABCD，GDAC，又BDGDD，BD，GD 平面 BDG，AC 平面 BDG，因为BG 平面 BDG，ACBG 已知CEBG，又ACCEC，AC，CE 平面 ACE，BG 平面 ACE，因为AE 平面 BDG，平面ABE平面 CFGD 平面AEFG平面ABEAE，平面AEFG平面CFGDGF，FGAE，则FGBG(2)已知2AB，60DAB，可求2BD，2 3AC 由112 32 2 sin120323GACDVGD ，则2GD 在直四棱柱中，FC 底面 ABCD，所以FAC为直线 AF与底面 ABCD 所成角，3tan2FCFACAC，则3FC 4页 在平面 ACF 内作OzCF，可知Oz 底面 ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则(3,0,0)A，(0,1,0)B，(3,0,0)C，(0,1,2)G，(3,0,3)F，(3,0,0)(3,1,1)(0,1,1)OEOAAEOAGF 则(3,1,1),(3,1,0)CECB 设平面 BCE 的法向量为(,)mx y z，则300030 xyzm CEm CBxy 取1x，得3y ，0z，得(1,3,0)m，由（1）知BG 平面 ACE，所以平面 ACE的一个法向量为(0,2,2)nBG 则2 36cos,4|2 2 2m nm nmn，所以锐二面角AECB的余弦值为64 21(1)因为0,2pF，所以OPF的外接圆圆心在直线4py 上，又外接圆与准线2py 相切，所以半径为3424ppp 所以周长为3234p，所以2p 故抛物线方程为24xy(2)设点211,4xA x，222,4xB x，333,4xC x123xxx，直线 AB的斜率为0k k，5页 因为ABBC，则直线 BC 的斜率为1k.因为|ABBC，则212232111xxkxxk，得2312xxk xx，因为22121212444xxxxkxx，则124xxk，得124xkx，因为223223231444xxxxkxx，则234xxk，即324xxk，将代入，得224242xkkxk，即322212(1)2kkxkkk，则3221(1)kxk k，所以2|cos45|AB ACABACAB 22121xxk222421kxk 23322224116141(1)(1)kkkkk kkk 因为212kk，则22214kk，又22(1)12kk，则322212(1)kkk 从而322212(1)kkk，当且仅当1k 时取等号，所以AB AC的最小值为 32.22(1)211ln()(1)axxfxx 曲线()yf x在(1,(1)f处的切线与直线20 xy垂直，则1(1)22af，即1a ()(1)()lnxxg xxf xx，()g x的定义域为(0,1)(1,)则2ln1()(ln)xg xx 当(0,1)(1,e)x时，()0g x，(e,)x时，()0g x，函数()g x的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,1)，(1,e)(2)当0 x，且1x 时，ln1()1xkf xxx，即lnln1011xxkxxx 6页 222(1)1lnln12ln112ln01111kxxxkxkxxxxxxxx 构建2(1)1()2ln(0)kxh xxxx，则22(1)12().kxxh xx 当0k，由2221(1)()0k xxh xx当0 x 时恒成立()h x在(0,)上单调递减且(1)0h 当(0,1)x时，()0h x，则21()01h xx；当(1,)x时，()0h x，则21()01h xx 当0 x，且1x 时，ln1()1xkf xxx.当01k时，当11,1xk时，2221(1)(1)2(1)0k xxkxxk()h x在11,1k上单调递增且(1)0h 当11,1xk时，()0h x，可得21()01h xx，与题设矛盾.当1k，则2221(1)(1)120k xxkxx()h x在(0,)上单调递增且(1)0h 当(1,)x时，()0h x，可得21()01h xx，与题设矛盾.综上所述：k的取值范围为(,0.