2023届广东省广州市大湾区高三上学期1月第一次联合模拟数学试题.pdf

广州市大湾区 2023 届高三上学期 1 月第一次联合模拟 数学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂 10 位准考证号（考号）2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合14,03AxxBxx，则AB（）A14xx B 03xx C13xx D 04xx 2复数 z 满足(1i)2iz（i 为虚数单位），则复数z（）A1 i B1i C1i D1 i 3为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛现通过简单随机抽样获得了 22 名学生在 1 分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：69 77 92 98 99 100 102 103 115 116 116 122 123 124 127 128 129 134 140 142 143 159 估计该校学生在 1 分钟内跳绳个数的第 65 百分位数为（）A124 B125.5 C127 D127.5 4图 1 是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高PMh，日影长PNl图 2 是地球轴截面的示意图，虚线表示点 A 处的水平面已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬23 26）在某地利用一表高为2dm的圭表按图 1 方式放置后，测得日影长为2.98dm，则该地的纬度约为北纬（参考数据：tan340.67,tan561.49 ）（）A23 26 B32 34 C34 D56 5函数221sinlnxyxx的图象可能为（）A B C D 6 已知F为双曲线：22145xy的左焦点，P为其右支上一点，点(0,6)A，则APF周长的最小值为（）A46 2 B46 5 C66 2 D66 5 7与正三棱锥 6 条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球若正三棱锥的底面边长为2 6，侧棱长为 3，则此正三棱锥的棱切球半径为（）A62 B62 C6 24 3 D6 24 3 8设数列 na的前 n 项和为1,1nS a，且121nnSanN若对任意的正整数 n，都有12132131nnnnna ba ba ba bn成立，则满足等式123nnbbbba的所有正整数 n 为（）A1 或 3 B2 或 3 C1 或 4 D2 或 4 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知圆22:(1)(2)25Cxy，直线:(21)(1)740lmxmym，则（）A直线 l 过定点(3,1)B直线 l 与圆 C 可能相离 C圆 C 被 y 轴截得的弦长为4 6 D圆 C 被直线 l 截得的弦长最短时，直线 l 的方程为250 xy 10函数0,()cos,02fAxAx的部分图象如图所示，71120,121223fff，则下列选项中正确的有（）A()f x的最小正周期为23 B12fx是奇函数 C()f x的单调递增区间为252,()123123kkkZ D01212fxfx 11随着春节的临近，小王和小张等 4 位同学准备互相送祝福他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则 A小王和小张恰好互换了贺卡的概率为16 B己知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为13 C恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为13 D每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为58 12已知正数 a，b 满足等式22(2lnln)abba，则下列不等式中可能成立的有（）A212ab B212ab C1ab D1ba 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若函数22,0(),0 xxxf xaxxx为奇函数，则a _ 146()()xyxy的展开式中34x y的系数为_（用数字作答）15若sin23cos21sin3cosxxxx，则cos3x_ 16设 A，B 是平面直角坐标系中关于 y 轴对称的两点，且|2OA 若存在,m nR，使得mABOA与nABOB垂直，且|()()|2mABOAnABOB，则|AB的最小值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）己知等差数列 na的各项均为正数若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为123,a a a，且123,a a a，中任何两个数都不在同一行 第一列 第二列 第三列 第一行 4 5 11 第二行 3 10 9 第三行 8 7 6（1）求数列 na的通项公式；（2）设11615nnnbaa，数列 nb的前 n 项和为nT求证：34nT 18（12 分）如图，在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知()coscoscos0bcAaBaC （1）求角 A；（2）若 D 为线段BC延长线上一点，且,34CADBDCD，求tanACB 19（12 分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A为矩形，ABAC且2ABAC，D 为11BC的中点，112 2AABC （1）证明：1AC平面1ABD；（2）求平面1ABC与平面1AA D所成的夹角的余弦值 20（12 分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列现连续发射信号 n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的记发射信号 1 的次数为 X（1）当6n 时，求(2)P X；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量 y，若其数学期望()E Y和方差()D Y均存布，则对任意正实数a，有2()(|()|)1D YP YE Yaa 根据该不等式可以对事件“|()|YE Ya”的概率作出下限估计为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，试估计信号发射次数 n 的最小值 21（12 分）设抛物线22yx，过点 P 的直线,PA PB分别与抛物线相切于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴下方，点 B 在 x 轴上方（1）当点 P 的坐标为(1,2)时，求|AB；（2）点 C 在抛物线上，且在 x 轴下方，直线BC交 x 轴于点 N 直线AB交 x 轴于点 M，且4|3|AMBM，若ABC的重心在 x 轴上，求ABCBMNSS的最大值 22（12 分）已知函数1()xef xx（1）讨论()f x的单调性；（2）设 a，b 是两个不相等的正数，且lnlnabba，证明：ln2abab 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A B C A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 题号 9 10 11 12 答案 AC AD BC AC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131 145 1512 162 3 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17解答：（1）由题可得1233,7,11aaa 故34(1)41nannnN（2）11615nnnbaa且41nan，故161 4(4415)(2)nbnnn n 1 1122nn 11111111111232435112nTnnnn 3111342124nn 18解：（1）由条件及正弦定理可得(sinsin)cossincossincos0BCAABAC 即sincoscossinsincoscossin0BABACACA 故sin()sin()0BACA 则有sin()sin()BAAC 又(,),(,)BACA 故有BAAC，或()()BAAC（舍去），或()()BAAC（舍去）则2BCA，又ABC 所以3A（2）设ACB，在ABD和ACD中，由正弦定理可得 2sinsin343BDAD，sin()sin4CDAD 2sinsin()3sinsin434BDCD 3sinsin()42sinsin343 3sin3131cossin222 tan96 3 19解：（1）连接11,AB AB交于点 O，连接OD 111ABCABC为三棱柱 11ABB A为平行四边形，点 O 为1AB的中点 又D 为11BC的中点 1ACOD 又OD 平面1ABD，1AC 平面1ABD 1AC平面1ABD（2）解法 1：11CAABCAAAABAAA CA 面11ABB A 1 AB 面11ABB A 1CAAB 222211(2 2)22ABCBAC 112,2,2 2ABABBB 22211ABABBB,即1ABAB 以 A 为坐标原点，1,AB AB AC分别为 x，y，z 建立空间直角坐标系，111(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2),(1,2,1)AABBCD 1(2,2,0)AA ,1(1,0,1)AD 1ABAB,ABAC,1ABACA AB 面1ABC，即平面1ABC的一个法向量为1(1,0,0)n 设平面1AA D的法向量为2(,)nx y z，则121200AA nAD n即2200 xyxz 令21,1,1(1,1,1)xyzn 设平面1ABC与平面1AA D所成夹角为，12212|1 10 10(1)|13cos3311 1(1)n nnn 平面1ABC与平面1AA D所成夹角的余弦值是33 解法 2：设点 E 为BC的中点，点 F 为AC的中点，连接DE交1B C于点 Q，连接,AE AQ EF，设点 P 为AQ的中点，连接,EP FP 点 E 为BC的中点，点 D 为11BC的中点 1EQBB且1122EQBB，点 Q 为1B C的中点 11ACC A为矩形，1ACAA 又1,ACAB ABAAA，AC 平面11ABB A 1ACAB 在1ACB中，11,2,2 2ACAB ACBC，可得12AB 1ABC为等腰直角三角形，其中112,2 2ACABBC 而点 Q 为1B C的中点，1AQBC且2AQ 点 P 为AQ的中点，点 F 为AC的中点 1FPBC且1112242FPCQBC FPAQ 又在RtABC中，2ABAC，点 E 为BC的中点 2AE 在AEQ中，2AEEQAQ，且点 P 为AQ的中点 EPAQ且62EP EPF即为平面1ABC与平面1AA D所成的夹角 在EFP中，1261,222EFABFPEP 2223cos23EPFPEFEPFEP FP 20解：（1）由已知16,2XB，所以(2)(0)(1)(2)P XP XP XP X 6524012666111111615112222264646432CCC；（2）由已知1,2XB n，所以()0.5,()0.25E Xn D Xn，若0.40.6Xn，则0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn，即|0.5|0.1Xnn 由切比雪夫不等式20.25(|0.5|0.1)1(0.1)nPXnnn，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，则20.2510.98(0.1)nn，解得1250n，所以估计信号发射次数 n 的最小值为 1250 21解：（1）令1122,A x yB xy，22yx，2yx，1yy，11PAky 1111:PAlyyxxy 又(1,2)P 1111111:2112PAlyxyxy 111211112622yxyyx 同理可得226y 1212122 6,24 6yyxxyy ，22221212|(4 6)(2 6)2 30ABxxyy （2）令33,C xy，由条件知1230yyy 1sin2111sin2ABCBMNAB BCABCSABBCAMCNSBMBNBMBNBM BNABC 13131322222111yyyyyyyyyy 211213112222222222yyyyyyy yyyy 2211122219224yyyyyy 4|3|AMBM，12|3|4AMyBMy 12304yy 当1212yy 时，ABCBMNSS取得最大值94 22解：（1）证明：（1）1()xef xx的定义域为(,0)(0,)12(1)()xxefxx，令()0fx，得：1x 当 x 变化时(),()fxf x的关系如下表：x,0 0 0,1 1 1,fx-0+f x ()f x在(,0),(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（2）证明：要证ln2abab，只需证：(ln)(ln)2abba 根据lnlnabba，只需证：ln1ba 不妨设ab，由lnlnabba得：lnlnaabb；两边取指数，lnlnaabbee，化简得：abeeab 令：()xeg xx，则1()(),()()xe eg ag b g xef xx，根据（1）得()g x在(,0),(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于()g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使()()g ag b且ab，则必有01,1ab，即01ab 由01ab得：1,1ln1ba 要证ln1ba，只需证：1lnba，由于()g x在(1,)上单调递增，要证：1lnba，只需证：()(1 ln)g bga，又()()g ag b，只需证：()(1ln)g aga，只需证：1 ln1ln1lnaaeeeaaaa，只需证：(1ln)aeae，只需证：1ln1aaee 只需证：1ln10aaee，即证1ln0aaee，令1ln1ln(),(01),(1)0,()xaxaxexaeee 只需证：()0,(01)xx，111()xxxxeexxeexexeex e ，令()xh xeex，(1)0,()0,(01),()xhh xeexh x在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h xh，所以()0 xxeexxex e 所以()x在(0,1)上单调递减，所以()(1)0 x 所以()0a 所以：ln2abab