2022-2023学年重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题.pdf

2013 2023 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 1,0,1,2,3,20ABx xx，则AB（）A 1,0,1,2 B 1,0 C1,2 D0,1 2cos198 cos132cos42 sin18（）A32 B12 C32 D1 3设复数 z 满足i1izz，则 z 的虚部为（）A12 B12 C1 D1 4 某人有 1990 年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008 年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010 年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022 年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这 15 个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）A110 B15 C25 D23 5某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度步骤如下：将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；将镜子后移，重复中的操作；求建筑物高度如图所示，前后两次人与镜子的距离分别1221m,maaaa，两次观测时镜子间的距离为ma，人的“眼高”为mh，则建筑物的高度为（）2013 A21mahaa B21maa ha C21ma aah D221mahaa 6设等差数列 na的前 n 项和为99,5936nSSa，则4a（）A2 B1 C1 D2 7已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为 F，两条渐近线分别为12,l l，过 F且与1l平行的直线与双曲线 C 及直线2l依次交于点 B，D，点 B 恰好平分线段FD，则双曲线 C 的离心率为（）A43 B2 C3 D2 8已知352,e,ln5ln45abc，则（）Aabc Bacb Cbac Dbca 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，全科免费下载公众号高中僧课堂部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知两组样本数据12345,x xx xx和12345,y yyyy的均值和方差分别为,x y和2212,ss，若100iixy且(1,2,3,4,5)iixy i，则（）Axy B100 xy C2212ss D2212ss 10在正方体1111ABCDABC D中，点 E，F，G 分别是棱1,AB AD AA上的点，则一定成立的是（）A2222|AEAFAGAEAFAG B|AEAFAGAEAFAG C()0AEAFAGEF D0AG EFAF EGAE FG 11已知函数()2sin(0)3f xx，则使得“()yf x的图象关于点,04中心对称”成立的一个充分不必要条件是（）2013 A()f x的最小正周期为34 B()f x的图象向右平移8个单位长度后关于原点对称 C34f D()f x的图象关于直线16x对称 12已知函数42()1f xxxx，则（）A()f x有两个零点 B过坐标原点可作曲线()f x的切线 C()f x有唯一极值点 D曲线()f x上存在三条互相平行的切线 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13912 xx的展开式中常数项为_ 14已知0,0,22abab，则12ab的最小值是_ 15己知定义域为(0,)的减函数()f x满足()()()f xyf xf y，且(2)1f，则不等式(2)(4)3f xf x 的解集为_ 16在PAB中，4,3ABAPB，点 Q 满足2()QPAQBQ，则QA QB的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(cossin)bcAA（1）求角 C；（2）求2abc的最大值 18（12 分）2013 已知数列 na是各项均为正数的等比数列，设221lglgnnnbaa（1）证明：数列 nb是等差数列；（2）设数列 nb的前 5 项和为 35，49b，求数列 na的通项公式 19（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A是正方形，且平面1ABC 平面11ABB A （1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6，E 为线段1AC的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小 20（12 分）驾照考试新规定自 2022 年 8 月 1 日开始实施，其中科目一的考试通过率低成为热点话题，某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试，为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计，该驾校工作人员从 2022 年 7月份该校首次参加科目一考试的新学员和 8 月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了 25 人，对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成2 2列联表如下：合格 不合格 合计 2022年7月 20 2022年8月 15 合计 附：22(),()()()()n adbcKnabcdab cdac bd 2P Kk 0.1 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789（1）完成题中的2 2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响？（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率，已知该2013 地区在 2022 年 7 月和 8 月首次参加科目一考试的学员人数之比为 21，现从该地区在 2022年 7 月和 8 月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查，设抽到的两名学员中有 X 人首次参加科目一考试不合格，求 X 的分布列与数学期望 21（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且过点(2,2)，点O 为坐标原点（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 上的动点 M，P，O 满足直线,MP MQ的斜率互为相反数，且点 M 不在坐标轴上，设直线,PQ OM的斜率分别为12,k k，求12k k的值 22（12 分）已知函数()ln,0f xaxx a（1）讨论()f x的零点个数；（2）若对(0,)x，不等式e()axax f x恒成立，求 a 的取值范围 2013 2023 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案 一、单选题 18 DCBBABBC 第 8 题提示：由1xex，3525e，又ln(1)xx，11ln5ln4ln 144 二、多选题 9ABD 10ABD 11ABD 12ACD 第 11 题提示：()yf x的图象关于点,04中心对称，则43k，其中k Z，1243k，所以充要条件是124,03kkSZ 对于 A，23812 14433，故 A 正确；对于 B，可知,08是原函数的对称点，24812(21)48333kkkS，故 B 正确；对于 C，3sin432，2433k或22,83kk 或2443k，不一定在 S 中，C 错误；对于 D，812(41)416163233kkkS，故 D 正确 第 12 题提示：32()(1)1f xxxx，对于函数322()1,()32g xxxg xxx，可得()g x在23x ，0 x 处分别取极大值和极小值，由(0)0g，知()g x只有一个零点，()f x有两个零点，A 正确；假设 B 成立，设切点坐标为 00,xf x，切线方程3420000004211yxxxxxxx即342000042131yxxxxx，4200310 xx，但显然4200310 xx，B错误；32()421,()122fxxxfxx，2013()fx在66,66x 分别取到极大值和极小值，由606f知()fx只有一个零点，()f x有一个极值点；若 D 正确，则存在实数 m 使得3()421fxxxm 有三个不同的根，此时只需66,66mff即可成立，故 D 正确 三、填空题 135376 144 15(2,0)168825 第 15 题提示：268(8)33(2)(8),(2)(4)32040fxxffff xf xxx 2688202xxxx 第 16 题提示：设AB中点为 M，2()4QPAQBQQPMQ，22()()()()|QA QBQMMAQMMBQMMAQMMAQMMA 由3APB，知 P 点轨迹是以AB为弦，圆周角为3的优弧，当PMAB时，|QM最大，此时PAB是等边三角形，222 31288|,|452525QMQMMA 四、解答题 17（10 分）解：（1）由正弦定理sinsin(cossin),sin()sincossinsinBCAAACCACA sincossinsin,tan1,4ACCACC（2）由正弦定理得：2sin2sin2 sin2sin2(2sincos)10sin()sin4abABAAAAAcC，2013 其 中12sin,cos55，又30,4A，故3,4A，maxsin()1A，max10sin()10A，故2abc的最大值为10 18（12 分）解：（1）设 na的公比为(0)q q，2211111lglglglglglg2lg(21)lglgnnnnnnbaaaaa qqanqq 故112lg(21)lglgnbanqq，所以212lgnnbbq，故 nb是以22lg q为公差的等差数列；（2）数列 nb的前 5 项和为 35，33535,7bb，又49b，故 nb的公差 2，故21nbn，即12lg(21)lglg21anqqn，故2lg1q 且12lglglg1aqq，从而10q，110a 或111,1010qa，所以10nna 或110n 19（12 分）解：（1）设1A B中点为 M，则1AMAB 平面1ABC 平面11ABB A，AM 平面1ABC，AMBC 又直三棱柱111ABCABC，1BBBC BC 平面11ABB A，ABBC（2）由（1）直线AC与平面1ABC所成的角为6ACM，不妨设222,2,2 2,2ABAMACBCACAB 以 B 为原点，1,BA BC BB分别为 x，y，z 轴正向建立坐标系(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)ACE 2013 设平面ABE的法向量为(,)nx y z 02000n BAxxyzn BE，令1,(0,1,1)yn 同理可得平面CBE的法向量为(1,0,1)m 设平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小为 1cos,|23n mnm 20（12 分）解：（1）由题得 合格 不合格 合计 2022年7月 20 5 25 2022年8月 10 15 25 合计 30 20 50 2250(20 155 10)183.84125 25 30 203K 可以在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响（2）由题该地 7 月份不合格率为51255，8 月份不合格率为153255，抽取 7 月份首次参加考试的学员概率为23，抽取 8 月份首次参加考试的学员概率为13 X 可能的取值为 0，1，2 2013 222212242 1 4 2124(0)353 3 5 5359P XC 222212212 1 1 3131(2)353 3 5 5359P XC 4(1)1(2)(0)9P XP XP X X0 1 2 P 44120129993EX 21（12 分）解：（1）由题22222242,1,2cabcaab，联立解得228,4ab 椭圆方程为22184xy（2）设001122,N xyP x yQ xy，直线00:NPlyk xxy 联立椭圆方程得2220000214280kxykxkxykx 00102421kxykxxk，2000122421k xkyxxk 2000110022221ykxk yyk xxyk 同理可得2200000022222422,2121k xkyxykxk yxykk 1200012120004,82yykxxykkxxkyyx 1 212k k 22（12 分）2013 解：（1）11()axfxaxx()f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增 min1()1lnfxfaa 当1ae时，10,()ff xa的零点个数为 0；当1ae时，()f x的零点个数为 1；当10ae时，()f x的零点个数为 2（2）由题lnlnlnaxaxeeaxxaaxax 令axetax，对于2(1)(),()xxeexg xg xxx，()(1),g xge te lnlntta对te恒成立 对于1()ln,()th ttt h tt，()h t在,)e 上单调递增()()1h th ee 1ln1,0eaeae