2021-2022学年广东省东莞外国语学校高一上学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年广东省东莞外国语学校高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1已知集合1,2,3,4,5,6U，25AxxZ，1,5B，则UAB（）A2 B3,4 C1,4,6 D2,3,4【答案】B【分析】化简集合 A，根据补集的定义求出UB，再求出UAB即可【详解】解：253,4,5AxxZ，2,3,4,6UB，故 3,4UAB，故选：B 2函数()1lg(2)f xxx的定义域为 A(2,1)B 2,1)C(2,1 D 2,1【答案】C【详解】由题意得1020 xx，解得 21x，即(2,1 3下列四个函数中是偶函数，且在,0上单调递减的是（）A 21fxx B 21f xx C 1 2f xx Dyx【答案】D【解析】依次判断每个函数的单调区间和奇偶性得到答案.【详解】21fxx在,0上单调递增，A 错误；21f xx 在,0上单调递增，B 错误；1 2f xx 是非奇非偶函数，C 错误；yx是偶函数，且在,0上单调递减，D 正确.故选：D.第 2 页 共 13 页 4二次函数221yxx的零点是（）A12，1 B12，1 C1,02，1,0 D1,02，1,0【答案】A【分析】函数的零点转化为方程的根，求解即可【详解】解：二次函数221yxx的零点就是2210 xx 的解，解得12x，或=1x，故选：A 5图中 C1、C2、C3为三个幂函数yx在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A12、3、1 B1、3、12 C12、1、3 D1、12、3【答案】D【分析】根据幂函数yx在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值【详解】由幂函数yx在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中 C1对应的0，C2对应的01，C3对应的1，结合选项知，指数的值依次可以是11,32 故选：D.6中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位百位万位的数按纵式的数码摆出：十位千位十万位的数按横式的数码摆出.如 7738 可用算筹表示.第 3 页 共 13 页 纵式 横式 1-9 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（）A43 B2log 643 C281 D622log 2【答案】B【分析】根据题意，判断出表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.【详解】根据题意，判断出表示的数字为 729，4381，不符合题意；2log 64633729,符合题意；281个位数字为 1，不符合题意；622log 22612，不符合题意.故选：B 7已知偶函数 f x在0,上单调递减，则满足 435fxf的x的取值范围是（）A2,3 B,1 C1,2,2 D1,1,2 【答案】C【详解】因为偶函数 f x在0,上单调递减，则满足 435fxf，所以 435fxf，可得435x,即435x 或435,2xx 或12x ，x的取值范围是1,2,2.故选：C.8牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间t后的温度T满足012thaaTTTT，其中aT是环境温度，h称为半衰期，现有一杯 80的热第 4 页 共 13 页 水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在 55经测量室温为 25，茶水降至 75大约用时 1 分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：lg30.4771，lg50.6990，lg111.0414）A4 分钟 B5 分钟 C6 分钟 D7 分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算得到1101112h，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】根据题意，11752580252h，即1101112h 设茶水从75降至55大约用时 t分钟，则1552575252ht，即3152ht，即310511t 两边同时取对数：31010lglglg1 lg1151111ttt 解得lg3lg551 lg11t，所以从泡茶开始大约需要等待5 16 分钟 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.二、多选题 9下列集合中为的是（）A0 B210 x x C0 x x D20 x x 【答案】BD【分析】不含任何元素的集合为空集，看四个选项中哪个集合不含任何元素即为空集.【详解】显然 A、C 不是空集；B 选项中210 x 无解，故为空集，D 中20 x 无解，为空集.故选：BD 10下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有()Ax R，2210 xx B有的矩形不是平行四边形 Cx R，2220 xx Dx R，330 x 第 5 页 共 13 页【答案】AB【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.【详解】ABC 均为存在量词命题，D 不是存在量词命题，故 D 错误，选项 A：因为2221(1)0 xxx，所以命题为假命题；选项 B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；选项 C：2222(1)10 xxx，故命题为真命题，故 C 错误，故选:AB 11李华从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（0ab），其全程的平均速度为 v，则（）Avab B2abvab Cavab D2ababv【答案】BC【分析】设甲乙两地的距离为s，进而得2abvab，再作差比较大小即可.【详解】解：设甲乙两地的距离为s，则从甲地到乙地用时1sta，从乙地到甲地用时2stb，所以全程的平均速度为12222ssabvssttabab，故 A 错误，B 正确；因为0ab，2220abababab abababababab，220aba aba baabaababab 所以avab，故 C 正确，D 错误.故选：BC 12已知函数 14,01,0 xxxf xxxx，若关于 x的方程2fxk有 6 个不同的实数根，则实数 k的值可以是（）A0 B12 C23 D1【答案】ACD【分析】作出函数 f x的图象，根据图象可知方程 f tk的实根个数可能为0，1，2，3，4，而2tx 最多有 2 个实根，由此分类讨论可得出结果.【详解】函数 f x的图象如图所示，由图可知方程 f tk的实根个数可能为 0，1，2，3，4，第 6 页 共 13 页 当2k 时，方程 f tk无实根，当2k 时，方程 f tk有唯一实根，当20k 时，方程 f tk有 2 个实根，当0k 或1k 时，方程 f tk有 3 个实根，当01k时，方程 f tk有 4 个实根，2tx最多有 2 个实根，此时2,t，方程2fxk有 6 个不同的实数根等价于 f tk的实根至少有 3 个，当0k 时，f tk的三个根均大于-2，符合题意；当102k时，f tk的四个根均大于2，2fxk有 8 个不同的实数根，不合题意；当12k时，此时2fxk有 7 个不同的实数根，不合题意；当12k 时，f tk只有三个均大于2的不同实根，符合题意.故k的取值范围是 10,2 故选：ACD 三、填空题 13关于 a 的不等式的2230aa解集是_.【答案】1,3【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.【详解】由2230aa，得(1)(3)0aa，解得13a，第 7 页 共 13 页 所以不等式的解集为1,3，故答案为：1,3.14已知函数 21,02,0 xxf xx x，若 10f a，则a_.【答案】3【分析】分0a、0a 解方程 10f a，综合可得出实数a的值.【详解】当0a 时，由 21 10f aa 可得3a ；当0a 时，由 20f aa，此时 10f a 无解.综上所述，3a .故答案为：3.15已知集合 Ax|ax22x+10有两个子集，则实数 a 的取值集合为 _【答案】0,1【分析】根据题意集合 A有一个元素，考虑0a 和0a 两种情况，计算得到答案.【详解】集合 Ax|ax22x+10有两个子集，则集合A有 1 个元素，当0a 时，12102|Axx ，满足条件；当0a 时，2|210Ax axx 有一个元素，则440a，1a，此时1A，满足条件.综上所述：0a 或1a.故答案为：0,1.16高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12，已知函数1()12xxef xe，则函数()yf x的值域是_【答案】1,0【分析】由题意分离常数可得11()21xf xe，再由指数函数的性质可得()f x的值域，即可得解.【详解】依题意1 1111()1221xxxef xee，第 8 页 共 13 页 由11xe可得11112212xe，即()f x的值域为1 1,2 2，所以函数()yf x的值域是1,0.故答案为：1,0.【点睛】本题考查了数学文化及分离常数法求函数值域的应用，考查了指数函数性质的应用、运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.四、解答题 17计算下列各式的值：(1)32240311682021281；(2)243lg2lg5 lg2 14log3 log 2.【答案】(1)198(2)2 【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.【详解】（1）解：原式=3424123322719221441388 .（2）解：原式=21lg3lg 3 lg2lg22lg2(1 lg2)lg2 14142lg4lg32lg2 lg3 .18已知集合2560,2Ax xxBx mxm (1)若0m，全集UAB，求UB；(2)从条件和条件选择一个作为已知，求实数m的取值范围.条件若ABA；条件若AB【答案】(1)UB06xx(2)条件：16m；条件：8m 或1m 【分析】（1）0m，,A B集合已知，根据并集和补集的定义即可求解 第 9 页 共 13 页（2）条件若ABA，说明BA；条件若AB，则A的范围与B的范围没有公共部分，从而可以求解实数m的取值范围【详解】（1）由题得：集合16Axx，因为0m，所以集合20Bxx，全集26UABxx，所以UB06xx（2）选择条件 因为ABA，所以BA，因为2Bx mxm，所以B，由（1）得：16Axx，若BA，则216mm ，解得：16m 选择条件 因为16Axx，2Bx mxm，且AB，则26,8mm或1m 19已知函数 41f xxx在0,x时的最小值为 m.(1)求 m；(2)若函数 2g xaxaxm的定义域为 R，求 a的取值范围.【答案】(1)3m (2)0,12 【分析】（1）直接根据基本不等式即可得结果；（2）将题意转化为含有参数的一元二次不等式恒成立问题，分为二次项系数为 0 和不为 0 两种情形讨论即可得结果.【详解】（1）0 x，441213f xxxxx ，当且仅当4xx，即2x 时等号成立，3m；（2）由（1）可知 23g xaxax的定义域为 R，不等式230axax 的解集为 R，0a 时，03恒成立，满足题意；0a 时，20120aaa，解得012a，综上得 a 的取值范围为0,12.第 10 页 共 13 页 20已知函数 21xf xaxb是定义域上的奇函数，且 12f (1)求函数 f x的解析式；(2)判断函数 f x在1,上的单调性并证明.【答案】(1)1f xxx(2)函数 f x在1,+上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据 12f ，且 f x是奇函数，得到 12f，联立求解；（2）利用函数的单调性的定义证明.【详解】（1）解：12f ，且 f x是奇函数，12f，2222abab ，解得10ab，经检验成立，1xfxx；（2）函数 f x在1,上单调递增，证明如下：任取1x，21,+x，且12xx，则 121212121212111x xf xf xxxxxxxx x，12,1,+x x，且12xx，120 xx，121x x，1210 x x ，120f xf x，即 12f xf x，函数 f x在1,+上单调递增.212020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害在中共中央、国务院第 11 页 共 13 页 强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数 3869 人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重 疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为 100万元，每生产x万件，需另投入流动成本为()W x万元，在年产量不足 19 万件时，22()3W xxx（万元），在年产量大于或等于 19 万件时，400()26320W xxx（万元），每件产品售价为 25 元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完（1）写出年利润()L x（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2224100,0193()400220,19xxxL xxxx；（2）当生产的医用防护服年产量为 20 万件时，厂家所获利润最大，最大利润为 180 万元【解析】（1）根据题意，分019x、19x 两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出019x、19x 时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为 25 元，则x万件商品销售收入为25x万元，依题意得，当019x时，2222()251002410033L xxxxxx，当19x 时，400400()2526320100220L xxxxxx，所以2224100,0193()400220,19xxxL xxxx；（2）当019x时，22()(18)1163L xx，此时，当18x 时，()L x取得最大值 18116L万元，当19x 时，400400()220220222040180L xxxxx万元，此时，当且仅当400 xx，即20 x时，()L x取得最大值 180 万元，因为116180，所以当生产的医用防护服年产量为 20 万件时，厂家所获利润最大，最大利润为 180 万元 第 12 页 共 13 页 22已知函数 202120212xxg x，202120212xxh x，记 F xg xh x.(1)证明：F x为奇函数；(2)若存在0,2x，使得不等式39330 xxxFF m成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)253m 【分析】（1）根据奇函数证明步骤解决即可；（2）根据奇偶性，单调性，换元法将存在0,2x，使得不等式39330 xxxFF m成立，转化为 1,9t 使31mtt 成立，然后求31ytt 最大值即可.【详解】（1）根据题意，22202120212021202120212021224xxxxxxF xg xh x，定义域为R，对任意xR，都有 22202120214xxFxF x，所以 F x为奇函数.（2）因为22021xy 为增函数，所以22021xy为减函数，所以 22202120214xxF x为增函数，即 F x为R上单调递增的奇函数 所以存在0,2x，使39330 xxxFF m成立 即存在0,2x使得3933xxxFF m，即3933xxxFFm成立 即0,2x，使3933xxxm，即3313xxm 成立，令3xt，由0,2x，得 1,9t，所以 1,9t 使31mtt 成立，因为31ytt 在1,3上单调递减，在3,9上单调递增 而 13f，2593f，第 13 页 共 13 页 所以max32513tt，所以253m.