2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 21 页 2023 届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1设全集U R，1Ax x 或2x，2,1,0,1,2B ，则UBA（）A 0,1 B1,0 C0,1,2 D1,0,1【答案】D【分析】先计算得到UA，进而求出交集.【详解】12UAxx，故1,0,1UBA 故选：D 2若复数z满足iizz（i为虚数单位），则z（）A12 B12 C1i2 D1i2【答案】D【分析】设izab，然后根据iizz建立方程求解即可.【详解】设i,Rzab a b，则22i1 i(1),ii iizababzabba，iizz 22(1)iabba，解得012ab，即1i2z.故选：D.3命题“x R，23208kxkx”为真命题的一个充分不必要条件是（）A3,0 B3,0 C3,1 D3,【答案】A【分析】先求命题“23R,208xkxkx”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23R,208xkxkx 为真命题，所以0k 或2030kkk30k ，对 A，3,0是命题“23R,208xkxkx”为真命题的充分不必要条件，A 对，第 2 页 共 21 页 对 B，3,0是命题“23R,208xkxkx”为真命题的充要条件，B 错，对 C，3,1是命题“23R,208xkxkx”为真命题的必要不充分条件，C 错，对 D，3,是命题“23R,208xkxkx”为真命题的必要不充分条件，D 错，故选：A 4已知a，b，c为三条不同的直线,为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若/a b，b，则/a B若a，b，/a b，则/C若/，/a，则/a D若a，b，c，/a b，则/b c【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析【详解】若/a b，b，则/a或a，故 A 选项错误；若a，b，/a b，则/或与相交，故 B 选项错误 若/，/a，则/a或a，故 C 选项错误；若a，b，c，/a b，则/b c，正确，证明如下：/a b，a，b，/a，又a，且c，/a c，则/b c，故 D 选项正确；故选：D 52log 3，8log 12，lg15的大小关系为（）A28log 3log 12lg15 B82log 12lg15log 3 C28log 3log 12lg15 D82log 12log 3lg15【答案】C【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2，8321log 121log 8，321lg151log 10，进而比较大小关系【详解】由题知，22232331log 3log(2)1 log122log 2 ，88832331log 12log(8)1 log122log 8 ，第 3 页 共 21 页 32331lg15lg(10)1 lg122log 10 ，3332220log 2log 8log 10，28log 3log 12lg15，故选：C 6已知0，函数 223sin 2cos1612fxxx在0,上恰有 3 个零点，则的取值范围为（）A4 11,3 6 B4 11,3 6 C4 11,3 6 D4 11,3 6【答案】D【分析】化简得到 2sin 23f xx，确定2,2333x，根据题意得到3243，解得答案.【详解】23sin 22cos13sin 2cos 261266fxxxxx sin223x.0,x时，2,2333x，f x有 3 个零点，故3243，解得41136.故选：D 7 在正三棱柱111ABCABC中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值16时，正三棱柱的侧面积为（）A12 B16 C24 D18【答案】D【分析】根据正三棱柱的性质、正弦定理、二次函数的性质，结合球的性质、球的表面积公式、棱柱的侧面积公式进行求解即可.【详解】设正三棱柱111ABCABC的底面边长为a，侧棱长为b，a，b为正实数，设633abt，t为正常数，2bta，设正三棱柱外接球的半径为R，底面外接圆半径为r，由正弦定理得223sin3aar，3ar，第 4 页 共 21 页 所以222222243243123babaabR 2222432161231212ataatat，所以当123328tat 时，2R取得最小值为22293161236481216ttttt，所以正三棱柱外接球的表面积的最小值241616t，8t 则3838a ，82 32b 此时正三棱柱111ABCABC的侧面积为33 3 218a b 故选：D【点睛】关键点睛：利用二次函数的项点的性质是解题的关键.8已知函数(e3)()xf xx，若经过点(0,)a且与曲线()yf x相切的直线有三条，则（）A3ea Bea C3a D3a 或ea 【答案】A【分析】设切点为000,3 exxx，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得02003e3xaxx 有 3 个解，构造函数 2e33xg xxx，求导分析单调性与极值可得a的取值范围.【详解】2 exfxx，设经过点(0,)a且与曲线()yf x相切的切点为000,3 exxx，则 000e2xfxx.又切线经过0,a，故由题意00000ee32xxaxxx 有 3 个解.化简有00000ee32xxaxxx，即02003e3xaxx 有 3 个解.设 2e33xg xxx，则 2exgxxx，令 0g x有0 x 或1x，故当,0 x 时，0g x，g x单调递减；当0,1x时，0gx，g x单调递增；当1,x时，0g x，g x单调递减.第 5 页 共 21 页 又 03g，1eg，且 711egg，2e20gg，故要02003e3xaxx 有 3个解，则3ea.故选：A【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、多选题 9下列说法中正确的是（）A一组数据 7，8，8，9，11，13，15，17，20，22 的第 80 百分位数为 17 B若随机变量23,N，且60.84P，则360.34P C 袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球 记事件A第一次抽到的是白球，事件B 第二次抽到的是白球，则13P B A D 已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4yxa，且由样本数据算得4x，3.7y，则2.1a 【答案】BD【分析】根据第p百分位数的计算公式可判断 A 项；根据正态分布的对称性可求解，判断 B 项；根据条件概率的公式()(|)()P ABP B AP A求解相应概率，可判断 C 项；将,x y代入回归方程，即可判断D 项.【详解】对于 A，共有 10 个数，10 80%8，所以数据的第 80 百分位数为 17 和 20 的平均数，即为 18.5，故 A 错误；对于 B，因为随机变量23,N，且(6)0.84P，第 6 页 共 21 页 所以(0)(6)0.16PP，所以(06)10.160.160.68P，所以11(36)(06)0.680.3422PP，故 B 正确；对于 C，由题意可知1216C1()C3P A，1115C11()3C15P AB，所以(|)()1()5P ABPPAB A，故 C 错误；对于 D，因为线性回归方程是0.4yxa经过样本点的中心,x y，所以有3.70.44a，解得2.1a，故 D 正确.故选：BD.10地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图，已知球的表面积为4，底座由边长为 4 的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图，则下列结论正确的是（）A直线AD与平面DEF所成的角为3 B底座多面体ABCDEF的体积为94 C平面/BCF平面ADE D球离球托底面DEF的最小距离为6313【答案】ABD【分析】根据图形的形成可知，,A B C三点在底面DEF上的投影分别是DEF三边中点M，N，P，由AM平面DEF可得ADE就是直线AD与平面DEF所成的角，即可判断 A 项；多面体ABCDEF的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，利用几何体的体积公式计算，可判断 B 项；利用面面平行的判定定理证明平面/BCPN平面ADE，可判断 C 项；由已知可得球的半径，计算球第 7 页 共 21 页 心到平面ABC的距离，即可判断 D 项.【详解】解：根据图形的形成可知，,A B C三点在底面DEF上的投影分别是DEF三边中点M，N，P，如图所示，对于 A，AM平面DEF，ADE就是直线AD与平面DEF所成的角，ADE是等边三角形，3ADE，A 正确；对于 B，将几何体补全为直三棱柱，如下图示，多面体ABCDEF的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，由下图知：111932 2 sin331 1 sin233234V ，故 B 正确；对于 C，因为/CP BN且CPBN，故四边形BCPN为平行四边形，故/BC PN，因为P、N分别为DF、EF的中点，则PN/DE，故/BC DE，BC 平面ADE，DE平面ADE，/BC平面ADE，/BN AM，BN 平面ADE，AM 平面ADE，/BN平面ADE，BCBNB，所以，平面/BCPN平面ADE，因为过直线BC有且只有一个平面与平面ADE平行，显然平面BCF与平面BCPN不重合，故平面BCF与平面ADE不平行，故 C 错误；对于 D，由上面讨论知1ABBCCA，设O是球心，球半径为R，由244R得1R，则OABC是正四面体，棱长为 1，设H是ABC的中心，则OH 平面ABC，又CH 平面ABC，所以OHCH，33CH，则2236133OH，又3AM.所以球离球托底面DEF的最小距离为第 8 页 共 21 页 6313，D 正确.故选：ABD.11已知抛物线 C:220ypx p的焦点1,0F，过8,0G的直线交抛物线于 A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）AOAOBkk为定值 BAB 中点的轨迹方程为2216yx CAFBF最小值为 16 DO在以 AB为直径的圆外【答案】ABD【分析】首先确定抛物线方程，再根据直线8xmy与抛物线24yx联立得交点坐标关系124yym，1232y y ，逐项分析转化为坐标关系求解判断即可.【详解】由题意可知：12p，所以2p，则抛物线方程为 C：24yx，设直线 l的方程为：8xmy，1122(,),(,)A x yB xy 所以284xmyyx，则24320ymy，所以124yym，1232y y 对于 A：1212221212121244161244OAOByyyykkyyxxyyy y，故选项 A 正确；对于 B：设AB的中点为,x y，则有2212221212212122166442+8228822yyyyy yxxmxmyyym，所以满足2216yx，故选项 B 正确；第 9 页 共 21 页 对于 C：22222121212121221122224444yyy yyyyyppAFBFxx 2216642418184mm（当且仅当0m 取等号），故选项 C 错误；对于 D：2212121212643232016y yOA OBx xy yy y，则 O在以 AB 为直径的圆外，所以选项D 正确 故选：ABD.12已知函数 f x与 g x的定义域均为R，且123f xg x，11f xgx，若21gx为偶函数，则（）A函数 g x的图象关于直线12x 对称 B 01g C函数 f x的图象关于点1,2对称 D 202312023kg k【答案】BCD【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，21gx是偶函数，图象关于0 x 对称，21gx的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到1g x的图象，则1g x是偶函数，图象关于0 x 对称；1g x的图象，向左平移1个单位，得到 g x的图象，则 g x的图象关于=1x对称，A 选项错误.B 选项，由123f xg x，以2x替换x得143f xg x，由11143f xgxf xg x得42g xgx，令2x 得 222,21gg，由于 g x的图象关于=1x对称，所以 021gg，B 选项正确.C 选项，由11f xgx，以2x 替换x得121fxg x，由123121f xg xfxg x得114fxfx，第 10 页 共 21 页 令0 x 得 214,12ff，所以 f x的图象关于点1,2对称，C 选项正确.D 选项，g x的图象关于=1x对称，所以2gxgx，由42g xgx，得422g xg x，以4x替换x得 22g xg x，所以242g xg x，4g xg x，g x的周期为 4，又 12344gggg，221gg，所以 202311234504123kg kggggggg 4 5042 12023，D 选项正确.故选：BCD【点睛】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性，包括对抽象函数对称性、奇偶性的研究.主要解题方法有两点，一点是函数图象变换，另一点是赋值法.求解和年份有关的函数求值问题，首先是找到题目中蕴含的规律，再由此进行求值.三、填空题 13在5nxx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64，则3x的系数为_【答案】375【分析】分别求出各项系数和与二项式系数和，相比，求出n，得到二项式即其通项公式，即可求出3x的系数.【详解】解：由题意 在5nxx中，令1x，即可得到各项系数和为：5141nn 二项式系数和为2n，各项系数和与二项式系数和之比为 64，4642nn 第 11 页 共 21 页 解得：6n.二项式为65xx 展开式的通项公式为：3662665CC5rrrrrrxxx 当3632r时，解得：2r 3x的系数为：2266 5C5253752 故答案为：375.14写出与圆221xy和圆2264xy都相切的一条直线的方程_.【答案】35356 350 xy（答案不唯一，写其它三条均可）【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为ykxb，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】解：圆221xy的圆心为10,0C，半径为11r，圆2264xy的圆心为26,0C，半径为22r，则121263CCrr，所以两圆外离，由两圆的圆心都在x轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为ykxb，即0kxyb，则有2211621bkkbk，解得35356 3535kb或35356 3535kb 或332 33kb 或332 33kb 所以公切线方程为356 3503535xy或356 3503535xy或32 3033xy或32 3033xy，即35356 350 xy或356 350 xy或332 30 xy或332 30 xy.第 12 页 共 21 页 故答案为：35356 350 xy.（答案不唯一，写其它三条均可）15在ABC中，6,810ABACBC,，点M是ABC外接圆上任意一点，则AB AM的最大值为_.【答案】48【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M的坐标，计算AB AM的最大值【详解】6,810ABACBC,，222ABACBC，即ABC为直角三角形，建立平面直角坐标系，如图所示：则(0,0)A，(6,0)B，(0,8)C，ABC外接圆22(3)(4)25xy，设M(35cos，45sin)，则(35cosAM，45sin)，(6,0)AB，所以1830cos48AMB A，当且仅当cos1时取等号 所以AB AM的最大值是 48 故答案为：48 16已知1F，2F分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形12F NF M的周长为p，面积为S，且满足232Sp，则该双曲线的离心率为_.【答案】62【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M点坐标为11,M x y，然后通过圆与双曲线的对称性得出1 21 2F F MF F NSS，再根据“点11,M x y即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21byc，然后根据图像以及232Sp可得22Sb和8pb，接下来利用双曲线定义得出12MFba以及第 13 页 共 21 页 22MFba，最后根据2221212MFMFFF并通过化简求值即可得出结果【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设11,M x y，由圆与双曲线的对称性可知，点M与点N关于原点对称，所以1 21 2F F MF F NSS，因为圆是以12FF为直径，所以圆的半径为c，因为点11,M x y在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111xyabxyc，联立化简可得222222211bcya ya b，整理得2222222211b ca bb ya y，4221bc y，21byc，所以1 221222F F MSSc yb，因为232Sp，所以2264pb，8pb，因为1212122pMFMFNFNFMFMF，所以124MFMFb，因为122MFMFa，联立121242MFMFbMFMFa可得12MFba，22MFba，因为12FF为圆的直径，所以2221212MFMFFF,即222224babac，222824bac，22242bac，2222442caac，2223ca，2232ca，所以离心率62cea【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题 四、解答题 第 14 页 共 21 页 17已知各项均不为零的数列 na满足125a，且*11223,nnnnaaa anN.(1)证明：2na为等差数列，并求 na的通项公式；(2)令2,nnnncTa为数列 nc的前n项和，求nT.【答案】(1)证明见解析，*2,32nannN(2)31 21nnTn 【分析】（1）构造得1223nnaa解决即可；（2）由（1）得12322nnnncna，错位相减解决即可.【详解】（1）由11223nnnnaaa a，得*1223,nnnaaN，又125a，2na是首项为 5，公差为 3 的等差数列.253132nnna，故*2,32nannN.（2）由（1）知122,32232nnnnnacnna，所以2215 8 2 11 231 2322nnnTnn 23125 2 8 211 231 2322nnnTnn ，-得：1216(12)53 23 23 232253221 32112nnnnnnTnnn ，31 21nnTn.18锐角ABC中，角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，sinsin5ACabA(1)求 B 的大小；(2)若2 cos2 coscAaCab，求 b的取值范围 第 15 页 共 21 页【答案】(1)6B (2)2 31,3 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角形中内角的关系求解即可；（2）由正弦定理化简可得2a，再根据正弦定理，结合锐角三角形的性质与角度范围求解即可.【详解】（1）由正弦定理，sinsinsinsin(0,sin0)5ACABA AA，故sinsin5ACB.又ABC为锐角三角形，故0,0552ACB，故5ACB，即5A CBB，解得6B.（2）由正弦定理2sincos2sincossinCAACaB，即2sinsinACaB，又sinsin sinACBB，故2a.由正弦定理sinsinabAB可得sin1sinsinaBbAA.因为6B，且ABC为锐角三角形，故02A,且02BA，可得32A.故sinsinsin32A，即3sin12A，故12 31sin3A，即 b的取值范围为2 31,3 19如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面 PAD，/ADBC，1ABBCPA，2AD，30ADP，90BAD，E是 PD的中点 (1)求证：PDPB；(2)若点 M 在线段 PC 上，异面直线 BM和 CE所成角的余弦值为105，求面 MAB 与面 PCD夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)2 10535.【分析】（1）证明PD 平面 PAB 即可;第 16 页 共 21 页（2）由异面直线 BM和 CE 所成角的余弦值为105可得 M 坐标，后可得答案.【详解】（1）证明：在PAD中，1PA，2AD，30ADP，由余弦定理可得：2222cosPAADPDADPDADP，即2144303ocosPDPDPD，222ADPAPD，从而PDPA 90BAD，ABAD 平面ABCD平面 PAD，平面 ABCD平面 PADAD，AB平面 ABCD.AB平面 PAD，PD 平面 PAD，PDAB.ABPAA，AB平面 PAB，PA平面 PAB，PD 平面 PAB.PB 平面 PAB，PDPB（2）以 A为原点，以 AD 为 y轴，建系如图所示，则0,0,1B，3 1,022P，0,1,1,0,2,0CD，35044,E，则31144,CE，31122,BP，31122,PC 0 0 1,AB，0 11,CD.设PMPC01，则BMBPPMBPPC 31313111111222222,设异面直线 BM 和 CE 所成角为，则 2651052 5232coscos,BMCEBM CEBMCE 第 17 页 共 21 页 得23.此时，351663,.BM 设面 MAB 的一个法向量为1111,nx y z，有1111110035100663znABxyzn BM 令13y，则15x ，10z，取 153 0,n.设面 PCD的一个法向量为2222,nxyz，有222222200310022yznCDxyznPC 令23x，则21y，21z，取23,1,1n 设面 MAB 与面 PCD的夹角为，则12124 32 10535140cosnnnn.即面 MAB 与面 PCD夹角的余弦值为2 10535.202022 年 10 月 1 日，女篮世界杯落幕，时隔 28 年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的 100 场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20 次，其中球队获胜 14 次；中锋位置出场 30 次，其中球队获胜 21 次；后卫位置出场 50 次，其中球队获胜 40 次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；(2)现有小组赛制如下：小组共 6 支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少 3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为 X，求 X 的分布列和数学期望.第 18 页 共 21 页【答案】(1)0.75(2)分布列见解析，13534E X 【分析】（1）根据全概率公式，结合每个位置获胜的概率求解即可；（2）根据题意可得X可能的取值为3,4,5，再根据每场胜利概率，结合条件概率与组合数求解分布列与数学期望即可.【详解】（1）设1A“甲担任前锋”；2A“甲担任中锋”；3A“甲担任后卫”；B“某场比赛中该球队获胜”；则 1200.2100P A，2300.3100P A，3500.5100P A，114|0.720P B A，221|0.730P B A，340|0.850P B A，由全概率公式可得：112233|PA P B AAP B AA P B ABPPP0.20.70.3 0.70.5 0.80.75.所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是0.75.（2）设iC“5 场中有i场获胜”3,4,5i，D“甲所在球队顺利晋级”，3233531270C441024P C D ；4144531405C441024P C D ；55553243C41024P C D，则 9181024P D，3327053|91817P C DP XP CDP D，同理可得 44405154|91834P C DP XP CDP D，5524395|91834P C DP XP CDP D，则X的分布列为：X 3 4 5 P 517 1534 934 第 19 页 共 21 页 515913534517343434E X 21已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率22e，短轴长为2 2.如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA分别与 y轴交于 M，N两点.(1)求证：OM ON为定值；(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.【答案】(1)证明见解析(2)是，证明见解析 【分析】（1）由离心率和短轴长，求出22,ab得到椭圆方程，设P点坐标，表示出直线 PA和直线 QA方程，得到 M，N两点坐标，可证OM ON为定值；（2）把以 MN为直径的圆的方程表示出来，根据方程确定圆经过的定点.【详解】（1）由短轴长为2 2，得2b，由2222cabeaa，得2242ab,.所以椭圆 C的标准方程为22142xy,设00,P x y，则00Qxy-,-，且2200142xy，即220024xy，因为2 0A-，所以直线 PA方程为00(2)2yyxx，所以002(0,)2yMx，直线 QA 方程为00(2)2yyxx，所以002(0,)2yNx，从而2OM ON （2）以 MN为直径的圆，圆心坐标为00000+22yyxx，半径为000022yyxx，圆的方程化简得：222000220044044x yyxyyxx,第 20 页 共 21 页 因为220042xy，所以2200220 xxyyy,令0y，则22 0 x-=，解得2x 所以以 MN 为直径的圆过定点2,0F.22已知函数 2ln3,Rf xxax a(1)讨论 f x的单调性；(2)对任意的 20,e1xxf xx恒成立，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析.(2),2 【分析】（1）由题知 23axfxx，进而分30a和30a两种情况讨论求解即可；（2）由题知12ln0,3exxxaxxx恒成立，进而令 22lne2ln1e2ln1,0 xxxxxxg xxxx，再根据e1xx，当且仅当0 x 时等号成立得 1g x，进而得3 1a 即可得答案.【详解】（1）解：函数 f x的定义域为0,，2323axfxaxx，当30a时，即3a 时，0fx在0,上恒成立，f x在0,上单调递增，当30a时，即3a 时，令 0fx得23xa，所以，当20,3xa时，0fx，f x单调递增；当2,3xa 时，0fx，f x单调递减；综上，当3a 时，f x在0,上单调递增；当3a 时,f x在20,3a上单调递增，在2,3a上单调递减.（2）解：因为对任意的 20,e1xxf xx恒成立，即20,2ln3e1xxxaxx恒成立，所以12ln0,3exxxaxxx恒成立，令 2e2ln1,0 xxxg xxx，因为 222lnlne2ln1ee2ln1e2ln1,0 xxxxxxxxxg xxxxx，设 e1xh xx，则 e1xh x，第 21 页 共 21 页 所以，当,0 x 时，0h x，h x单调递减，当0,x时，0h x，h x单调递增，所以，00h xh，即e1xx，当且仅当0 x 时等号成立，所以，2ln2eln12ln1xxxxxx，当且仅当2ln0 xx时等号成立，令 2lnt xxx，则 210txx 恒成立，所以，2lnt xxx在0,上单调递增，因为 11112ln20,110eeeett ，所以，方程2ln0 xx有解，2lne2ln1xxxx等号能够取到；所以，2lne2ln12ln12ln11xxxxxxg xxx，所以，要使12ln0,3exxxaxxx恒成立，则3 1a，即2a，所以，a的取值范围是,2 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于借助e1xx，当且仅当0 x 时等号成立放缩22lnee2ln1xxxxxx，进而得 1g x.