2021-2022学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试试题数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试试题数学（理）试题 一、单选题 152ii（）A25i B2i C2i D5i【答案】A【分析】由复数除法运算直接求解.【详解】252i i52i25iii .故选：A.2已知函数()f x的导函数为()fx，且满足2()2(1)f xxfx，则(1)f （）A1 B2 C1 D2【答案】B【详解】由已知，得()2(1)2fxfx 令1x 得(1)2(1)2,(1)2fff 故选：B 3抛物线22xy的焦点坐标为（）A1,0 B0,1 C1,02 D10,2【答案】D【解析】根据抛物线焦点在y轴上，焦点坐标为0,2p即可求解.【详解】由22xy可知抛物线焦点在y轴上，且1p，所以122p，故焦点坐标为：10,2，故选：D 4在等差数列 na中，若123423450aaaa，则3a（）A2 B3 C5 D7【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式直接计算可得.【详解】设等差数列 na的公差为d，则由123423450aaaa可得1102050ad，即125ad，即35a.第 2 页 共 13 页 故选：C.5若复数 z 满足i2z，则z的最小值为（）A0 B1 C3 D2【答案】B【分析】令izxy且,Rx y，将问题转化为圆22(1)4xy上点到原点距离最小即可.【详解】令izxy且,Rx y，所以i2z 等价于22(1)4xy，即圆心为(0,1)，半径为 2 的圆，则z表示圆上点到原点的距离，故z的最小值为 1.故选：B 6在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2c，sin3aC，则A的最大值为（）A56 B34 C23 D2【答案】C【分析】利用正弦定理结合已知条件可求得sin A的取值范围，结合角A的取值范围可求得结果.【详解】由正弦定理sinsinacAC可得sinsin3cAaC，所以，33sin2Ac，因为0sin1A，则3sin12A，因为0,A，则233A.故选：C.7已知2cos2sin22且Zkk，则tan（）A2 B1 C0 D12【答案】D【分析】由已知条件，利用万能公式可得2tan(1 2tan)01tan，结合范围即可求tan.【详解】由221tancos21tan，22tansin21tan，所以2222tan2tan2cos2sin221tan，即2tan(1 2tan)01tan，又Zkk，可得1tan2.故选：D 第 3 页 共 13 页 8观察如图所示的数阵，则下列选项中的数不在该数阵中的是（）A91 B101 C111 D121【答案】A【分析】观察数阵可得第n行有n个数，且第n行最后一个数为2n，每行的数列是公差为2的等差数列，观察选项，121为平方数，可以从 D 选项开始考虑，可判断第 11 行的数构成等差数列 na，即可判断 B，C，D 选项，再由第 10 行的数构成等差数列 nb判断 A 选项.【详解】由题，观察可知第n行有n个数，且第n行最后一个数为2n，每行的数列是公差为2的等差数列，所以第 11 行有 11 个数，最后一个数为211121，故排除 D 选项；设第 11 行的数构成等差数列 na，则111102121aa，所以1101a，故排除 B 选项；因为101111121，令111na，则10121111nan，解得6n，即 111 为第 11行的第 6 个数，故排除 C 选项；因为第 10 行有 10 个数，最后一个数为210100，设第 10 行的数构成等差数列 nb，则1019 2100bb，所以182b，因为8291100，设822191nbn，解得5.5n，不为正整数，故91不在该数阵中，故选：A 9已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为 1 的正方形，SD 平面ABCD，线段,AB SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为55，则SD（）A1 B32 C2 D3【答案】C【分析】以 D 为原点，,DA DC DS分别为 x、y、z 轴正方向建立空间直角坐标系,利用第 4 页 共 13 页 向量法求解.【详解】如图示，以 D为原点，,DA DC DS分别为 x、y、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设,0SDt t.则0,0,0D，1,0,0A，1,1,0B，0,1,0C，0,0,St，11,02E，10,2 2tF.所以11,02EC，11,2 2tBF .因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为55，所以211054cos,51111444EC BFEC BFECBFt，解得：t=2.即SD 2.故选：C 10若a、b、x、y为正数，则222ababxyxy，当且仅当abxy时取等号.类比以上结论，可以得到函数 4410144fxxxx的最小值为（）A8 B16 C24 D36【答案】D【分析】分析可得 16441 4f xxx，利用题中不等式可求得 f x的最小值.【详解】当104x时，0141x，则 24244164361 441 441 4f xxxxxxx，当且仅当4241 4xx时，即当16x 时，等号成立，因此，函数 4410144fxxxx的最小值为36.故选：D.第 5 页 共 13 页 11已知矩形ABCD的周长为6，则将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为（）A6 B4 C3 D2【答案】B【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，则该圆柱的高为3r，求得03r，利用导数法可求得该圆柱的体积的最大值.【详解】设圆柱的底面圆的半径为r，则该圆柱的高为3r，由030rr可得03r，则该圆柱的体积为 22333V rrrrr，263Vrrr，列表如下：r 0,2 2 2,3 Vr 0 V r 增 极大值 减 所以，函数 V r在2r 处取得极大值，亦即最大值，即 max24V rV.故选：B.12已知函数 exf xxa，若对任意121xx都有 12210 x f xx f x，则实数a 的取值范围是（）A4,B4,C1,D1,【答案】B【分析】将条件转为判断()()f xg xx在1,)上单调递增，由()0g x在1,)上恒成立，求得a的范围.【详解】由条件 12210 x f xx f x，化为1212()()f xf xxx，构造()()f xg xx，则()yg x在1,（）上单调递增，22()()0 xxaxa eg xx在1,（）上恒成立，20 xaxa，即21xax 在1,)（上恒成立，第 6 页 共 13 页 令22(1)2(1)11()(1)24111xxxh xxxxx 4a，4a .故选：B【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.二、填空题 13已知1x 且0 x，用数学归纳法证明命题：“当nZ且1n 时，(1)1nxnx”，第一步应验证的不等式为_.【答案】2(1)12xx 【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可得到答案.【详解】因为当nZ且1n 时，所以 n的初始值为 2，所以第一步应验证的不等式为：2(1)12xx.故答案为：2(1)12xx.14在菱形ABCD中，若8AB AC，则AC _.【答案】4【分析】利用数量积的定义直接求解.【详解】在菱形ABCD中，ACBD，所以AB在AC上的射影为12AC，所以8AB AC即为2182AC，所以4AC.故答案为：4 15计算：211(1)dxx x_.【答案】2ln 2ln3【分析】利用定积分的四则运算和微积分基本定理求解.【详解】2211111(1)1dxdxx xxx 2211111dxdxxx ln2ln1ln3ln2 2ln 2ln3.第 7 页 共 13 页 故答案为：2ln 2ln3.16对任意的xR，若关于x的不等式3sin 2(0)6xmxm恒成立，则m的最小值为_.【答案】120.5【分析】将问题转化为3yxm的图象在函数sin 26yx的图象上方相切,利用函数的导数和切线的斜率的关系,求出切点坐标即可得解.【详解】因为关于x的不等式3sin 2(0)6xmxm恒成立，所以13yxm的图象在函数2sin 26yx的图象上方相切.当 m0 时,13yxm的图象与 x 轴的交点在 x 轴的负半轴上.由图可知当正数 m 最小时,直线13yxm与2sin 26yx在,3 6 内相切.对函数2sin 26yx求导得到22cos 26yx.令22cos 236kyx,解得 x=0.所以21sin 2 062y,所以切点的坐标为10,2，把点10,2代入13yxm得：12m.故答案为：12.三、解答题 17已知函数 ln2f xxx.(1)求 f x的导函数 fx；(2)设0 x是 f x的零点，求曲线 yf x在点 00,xf x处的切线方程.【答案】(1)()ln21fxx(2)2210 xy 【分析】（1）利用求导公式直接求解即可，（2）先求出0 x，再根据导数的几何意义求解即可 第 8 页 共 13 页【详解】(1)由 ln2f xxx，得1()ln22ln212fxxxxx(2)函数的定义域为(0,)，由 ln20f xxx，得21x，12x，即012x，所以00()ln211fxx，所以曲线 yf x在点 00,xf x处的切线方程为 12yx，即2210 xy 18已知复数i,zab a bR(1)若0ab，且22111ab，求z的最小值；(2)若3am，245bmm，且 z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限，求实数 m 的取值范围【答案】(1)2(2),13,5 【分析】（1）由222zab，结合基本不等式“1”的妙用的方法即可求解；（2）由点在第二象限可知230450mmm，点在第四象限可知230450mmm，求解求并集即可.【详解】(1)由题，因为22111ab，所以2222222222222221111224ababzabababbaba ，当且仅当22ab时，等号成立，所以z的最小值为2.(2)当 z 在复平面内对应的点位于第二象限时，230450mmm，解得1m；当 z 在复平面内对应的点位于第四象限时，230450mmm，解得35m，综上，,13,5m .19在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知ABC的周长为 3，且AB边上的第 9 页 共 13 页 高为 1.(1)证明：角C为锐角；(2)证明：2223abcbca.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）根据AB边上的高为 1 得到1,1ab，再由ABC的周长为 3，得到1c，利用余弦定理判断；（2）利用基本不等式和不等式的基本性质证明.【详解】(1)解：如图所示：由题意得：1,1ab，又ABC的周长为 3，则1c，所以222cos02abcCab，所以角C为锐角；(2)因为2222aabbabb，2222bbccbcc，2222ccaacaa，三式相加得222abcabcbca，由（1）知：a，b，c 不全相等，故取不到等号，故2223abcbca.20已知函数 1lnf xaxx(1)若 a2，求 f x的单调区间；(2)若函数 1g xfxxx存在最大值，且最大值大于 0，求实数 a的取值范围 第 10 页 共 13 页【答案】(1)f x的单调递增区间为1,2，单调递减区间为10,2;(2)e,+【分析】（1）求导，分别解 0fx和 0fx，再结合定义域即可求出结果；（2）分0a 和0a 对函数的单调性进行讨论，进而可以求出结果；【详解】(1)因为2a，则 12lnf xxx，定义域为0,，所以 222121xfxxxx，令 0fx，即210 x，所以12x；0fx，即210 x，所以12x；因此 f x的单调递增区间为1,2，单调递减区间为10,2;(2)因为 1g xfxxx，所以 11lnlng xaxxaxxxx，定义域为0,，则 1aaxgxxx，若0a，0gx，所以 g x在0,上单调递减，因此函数无最大值，故不符合题意；若0a，则,xa时，0gx，所以 g x在,a 上单调递减，0,xa时，0g x，所以 g x在0,a上单调递增；故 g x在xa处取得极大值，同时也是最大值，且 lng aaaa，所以ln0aaa，即ln10a ，故ea，综上：实数 a的取值范围为e,+.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的 2 个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.21已知2,0A，33,2B是椭圆 E：222210 xyabab上的两点(1)求椭圆 E 的方程(2)若直线 l与椭圆 E交于 C，D两点（C，D均不与点 A 重合），且以线段 CD为直径的圆过点 A，问：直线 l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1)22143xy 第 11 页 共 13 页(2)定点2,07，理由见解析.【分析】（1）将,A B代入椭圆方程即可求出；（2）分斜率是否存在设出直线方程，利用ACAD即可求出.【详解】(1)将2,0A，33,2B代入椭圆方程可得22224013341abab，解得23ab，所以椭圆方程为22143xy；(2)若直线l的斜率不存在，设直线方程为xt，由题可得ACD为等腰直角三角形，则可将,2tt代入椭圆222143tt，解得2t（舍去）或27t，即直线方程为27x；若直线l的斜率存在，设方程为ykxm，设1122,C x yD x y，联立方程22143yykxxm，可得2223484120kxkmxm，则2222644 344120k mkm，可得2234mk，122834kmxxk，212241234mx xk，由题可得ACAD，则1212122yyxx，即221 2121 212124k x xkm xxmx xxx，代入，整理可得2271640mkmk，解得27mk 或2mk，若2mk，直线为22ykxkk x，经过点2,0A,不符合，若27mk，直线为2277ykxkk x，经过定点2,07，综上所述，直线 l过定点2,07.22已知函数 exaxf x，Ra且0a.(1)讨论 f x的单调性；(2)若1a，证明：当0 x 时，2eln1xxf xf xx.【答案】(1)答案见解析 第 12 页 共 13 页(2)证明见解析【分析】（1）分0a、0a 两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 f x的增区间和减区间；（2）分析可知，所证不等式为2eln1xxx，即证3eln1xxxx，构造函数 exg xx，3ln1xh xx，其中0 x，利用导数求得 minmaxg xh x，即可证得所证不等式成立.【详解】(1)解：因为Ra且0a，函数 exaxf x 的定义域为R，1exaxfx.当0a 时，由 0fx可得1x，由 0fx可得1x，此时函数 f x的增区间为,1，减区间为1,；当0a 时，由 0fx可得1x，由 0fx可得1x，此时函数 f x的减区间为,1，增区间为1,.综上所述，当0a 时，函数 f x的增区间为,1，减区间为1,；当0a 时，函数 f x的减区间为,1，增区间为1,.(2)证明：当1a 时，exxf x，当0 x 时，由 2eln1xxf xf xx可得2eln1xxx，即证3eln1xxxx，构造函数 exg xx，3ln1xh xx，其中0 x，则 2e1xxgxx，列表如下：x 0,1 1 1,g x 0 g x 减 极小值 增 所以，函数 g x在1x 处取得极小值，亦即最小值，即 min1eg xg，43ln2xh xx，令 0h x可得23xe，列表如下：x 230,e 23e 23e,第 13 页 共 13 页 h x 0 h x 增 极大值 减 所以，函数 h x在23xe处取得极大值，亦即最大值，即 2232max1e3ee3h xh，因为2ee3，即 minmaxg xh x，因此，若1a，当0 x 时，2eln1xxf xf xx.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.