2022-2023学年湖南省常德市高三上学期期末检测考试数学试题.pdf

2013 20222023 学年度上学期常德市高三检测考试 数 学（试题卷）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：1所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答 2考试结束后，只交答题卡 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|320Ax xx，|22Bxx，则AB A.0 2，B.12，C.2 2，D.2.已知复数zi3，则复数zzi2在复平面内对应的点所在的象限为 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量,a b满足a b2，且b(3,4)，则向量a在向量b上的投影向量为 A.(,)6 85 5 B.(,)6855 C.(,)6 825 25 D.(,)6825 25 4.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80 分钟 设经过 t 分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则 t 的值为 A.10 B.20 C.60 D.70 5.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P为角终边上的点，则cos2cos A.825 B.1325 C.2225 D.2725 6.在平面直角坐标系中，已知直线4390 xy与圆2220Cxxya：相交的弦长为4 2，则a A.8 B.2 C.2 D.8 7.已知lna 22，lnb 33，ec 22，则 A.abc B.bca C.bac D.acb 8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与曲线 C的左右两支分别交于点 M、N，且12|:|:|1:2:3FMF NMN，则曲线 C 的离心率为 A.2 B.333 C.223 D.113 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知抛物线2:4C yx，O为坐标原点，点 P 为直线2x 上一点，过点 P 作抛物线 C的两条切线，切点分别为 A，B，则 2013 A.抛物线的焦点坐标为(0，1)B.抛物线的准线方程为1x C.直线 AB 一定过抛物线的焦点 D.OPAB 10.已知定义在R上的函数()f x满足0)()27(xfxf，且)47(xfy为奇函数，则下列说法一定正确的是 A.函数()f x的周期为27 B.函数()f x的图像关于)0,47(对称 C.函数()f x为偶函数 D.函数()f x的图像关于47x对称 11下列说法正确的是 A.数据 6，5，3，4，2，7，8，9 的上四分位数为 7 B.若2(,)N，且函数()(2)f xP xx为偶函数，则1 C.若随机事件 A，B 满足：()()1P A BP A，则 A，B 相互独立 D.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据1,2,ix in的平均数为x，方差为2xs；第二部分样本数据1,2,iy in的平均数为y，方差为2ys，若总的样本方差为2222xySSS，则xy 12.如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，,E F分别是棱1,BC CC的中点，P是侧面11BCC B内(含边界)的动点，则下列说法正确的是 A.若直线1AP与平面AEF平行，则三棱锥 PAEF 的 体积为23 B.若直线1AP与平面AEF平行，则直线 A1B1上存在唯一的点 Q，使得 DQ 与 A1P 始终垂直 C.若15AP，则 EP 的最小值为51 D.若15AP，则11AP BC的最大值为4 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知函数()lnxf xeaxa1，若曲线()yf x在点(,()f1 1处的切线与直线012 yx垂直，则切线的方程为_ 14.1631(1)(2)xyx的展开式中的常数项为_ 15.若函数()2sin()(0)6f xx在(0,)3内存在唯一极值点，且在2,23上单调递减，则的取值范围为_.2013 16.已知数列na满足首项a 11，nnnanaan12，为奇数3，为偶数，则数列na的前 2n 项的和为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分 10 分)已知数列 na的首项a 138，且满足nnnaaa1332(1)求证：数列na13是等比数列；(2)若.naaaa1231111101，求满足条件的最大整数n的值 18(本小题满分 12 分)如图，在梯形ABCD中，AD/BC，且2AD，4BC.(1)若3AB，2CD，求梯形ABCD的面积；(2)若2DB，证明：ABC为直角三角形 19(本小题满分 12 分)A B C D 第 18 题图 2013 如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点 G为DE的中点，DEH 第 19 题2013 为半个圆柱上底面的直径，且90BCF，2CDCBCFH 为 BC 的中点(1)证明：平面 DEH/平面 GCF；(2)若 Q 是线段 HE 上一动点，求直线 AQ 与平面 GCF 所成角的正弦的最大值 20(本小题满分 12 分)常益长高铁的试运营，标志着我省迈入“市市通高铁”的新时代.常益长高铁全线长 157公里，共设有常德站、汉寿站、益阳南站、宁乡西站、长沙西站 5 个车站.在试运营期间，铁路公司随机选取了乘坐常德开往长沙 G6575 次复兴号列车的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：上车站 车站 汉寿站 益阳南站 宁乡西站 长沙西站 总计常德站1020104080汉寿站 10102040益阳南站 104050宁乡西站 3030总计103030130200(用频率代替概率)(1)从这 200 名乘客中任选一人，求该乘客仅乘坐一站的概率；(2)在试营运期间，从常德上车的乘客中任选 3 人，设这 3 人到长沙下车的人数为 X，求X 的分布列，及其期望；(3)已知德山经开区的居民到常德站乘车的概率为 0.6，到汉寿站乘车的概率为 0.4，若经过益阳南站后高铁上有一位来自德山经开区的乘客，求该乘客到长沙下车的概率.2013 21(本小题满分 12 分)已知点(2,1)P为椭圆:()xyCabab222210上的一点，椭圆 C 的离心率为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，过点 P 作直线 l1、l2，分别交椭圆于另一点 M、R，直线 l1，l2交直线 l：x=3于 N，S，设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=0，若PMS面积是PRN面积的 2倍，求直线 l1的方程.22(本小题满分 12 分)已知函数()lnf xxaxx12.(1)讨论函数()f x的零点个数；(2)证明：当*nN，.ln()()nnn n3572112 2 4 3 6 421.x y O P M N R S l1 l2 l 第 21 题图 2013 2022-2023 学年度上学期常德市高三检测考试 数 学（参考答案）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D A A C B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.题号 9 10 11 12 答案 BD BC BCD ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.20 xy 14.96 15.5(2,2 16.4344nn 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)解：(1)nnnaaa1332,nnaa11213 2 分()nnaa112 1333，na13是以13为首项，23为公比的等比数列 5 分(2)由(1)可得：()nna 112333，().()nnnnnaaaa 1231211111233331 1012313 即：()nn 23102 03 .8 分 令()()nf nn231023，当 n1时，()()()nf nf n1213033，()f n单调递增；又()f33 0，()f34 0，满足不等式的最大整数n 33 10 分 18（本小题满分 12 分）解：(1)在ABC中，由余弦定理得22227cos28ACBCABACBCAAC BCAC 1 分 2013 在ACD中，由余弦定理得2222cos24ACADCDACCADAC ADAC 2 分 由BCACAD有，22784ACACACAC，解得7AC 3 分 277cos84ACBCAAC，又(0,)BCA，3sin4BCA 4 分 梯形ABCD的面积 119 7sinsin224ABCACDSSSBC ACBCAAD ACCAD 6 分 法二：(1)取 BC 的中点 E，连 AE，则 BE=CE=2 1 分 AD=EC，AD/EC，四边形 AECD 为平行四边形 2 分 AE=DC=2 3 分 在ABE中，2223cos24ABBCAEBAB BC 又(0,)BCA，7sin4B 4 分 梯形ABCD的面积339 7sin224ABEAECDABESSSSAB BEB 6 分(2)设B，ACB，则2D，BAC，2ACD 在ABC中，由正弦定理得sinsinACBCBBAC，即4sinsin()AC 在ACD中，由正弦定理得sinsinACADDACD，即2sin2sin(2)AC 8 分 由得：sin22sin(2)sinsin()9 分 化简得，cossin()sin(2)又sin(2)sin()sincos()cossin()所以sincos()0 11 分 又(0,),(0,)所以2，2BAC，ABC为直角三角形 12 分 法二：取 BC 的中点 E，连 AE，则 BE=CE=2 AD=EC，AD/EC，四边形 AECD 为平行四边形 8 分 2AECDB BBAE 10 分 2AEBEEC ECAEAC 2EACEABBECA 2BAC，ABC为直角三角形 12 分 19（本小题满分 12 分）(1)证明：取 DE 的中点 M，连 MG、MH 1 分/1MGADHCMGHC且 MHCG四边行为平行四边形 2 分/MHCG，又MH 平面 CGF/MHCGF平面 3 分/DECF又，又DE 平面 CGF/DECGF平面 4 分,DEMHM MHDHE DEDHE又平面平面/DHECGF平面平面 5 分 2013(2)如图，以 C 为原点，CB 为 x 轴，CF 为 y 轴，CD 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2,0,2)，C(0,0,0)，F(0,2,0)，G(1,1,2)，H(1,0,0)，E(0,2,2)6 分 则(0,2,0),(1,1,2)CFCG,设面 CGF 的法向量(,)nx y z 2020yxyz 令1z 得2,0 xy,即(2,0,1)n 8 分(,2,2),HQHE (1,2,22)AQAHHQ 9 分 设所求线面角为，则2222|2222|4sin5(1)4(22)5 965 11 分 所以当13时，sin取得最大值为2 55 12 分 20（本小题满分 12 分）解：(1)仅乘坐一站的乘客有 10+10+10+30=60 人该乘客仅乘坐一站的概率600.3200p 2 分(2)从常德上车的乘客到长沙下车的概率401802p 3 分 故这 3 人到长沙下车的人数1(3,)2XB，331()2kP xkC 5 分 X 0 1 2 3 P 18 38 38 18 7 分 13()322E x 8 分(3)记事件 A：该乘客在过益阳南站后到长沙站下车，记事件 B1:该乘客在常德站上车，记事件 B2:该乘客在汉寿站上车.12()0.6 ()0.4P BP B 1404(|)505p A B，2202(|)303p A B 10 分 1122()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 4256()0.60.45375P A 12 分(阅卷说明：直接4256()0.60.45375P A 得结果的不扣分；11()0.60.40.522P A 的本问给 1 分)21（本小题满分 12 分）2013 解：(1)由题可知abcaabc2222241132 2 分 解得：28a，22b 椭圆 C 的方程为xy22182 4 分(2)记1kk，设11(,)M x y，22(,)R xy 则直线 l1：(12)ykxk；直线 l2：(12)ykxk 联立()xyykxk221821 2消 y 得：222(41)8(12)(16164)0kxkk xkk 则211216164241Pkkx xxk，即21288241kkxk 6 分 221284|1|2|141kPMkxkk 又22|1|2|1NPNkxk 2|84|41PMkPNk 8 分 同理2|84|41PRkPSk 9 分 1|sin2PMSSPMPSMPS；1|sin2PNRSPNPRNPR|2|PMSPNRSPMPSSPNPR；即|2|PMPRPNPS 10 分 22848424141kkkk，解得：16k 直线 l1的方程为：11(1)63yx即640 xy 12 分 22（本小题满分 12 分）解：(1)由题意()lnf xxaxx12的零点 即为方程()f x 0的实数解，即：ln xaxx221 1 分 令ln()xg xxx221，则(ln)()xxxg xx321 2 分 令()lnh xxxx1，()lnh xx；当(,)x 0 1时，()h x 0，()h x单调递增；当(,)x1时，()h x 0，()h x单调递减.()()h xh1 0 3 分()g x0，()g x在(,)0单调递减，2013 又x ，()g x 0；4 分 所以，当0a，ya与函数()g x有一个交点，()f x有一个零点；当a 0，ya与函数()g x没有交点，()f x无零点 5 分(2)令()ln,)F xxxxx121，()()xF xxxx 2222 1110 6 分()F x在,)1单调递减，()()F xF1 0 ln()xxx112 8 分 ln()nnnn n12121 9 分.lnlnln.ln()nnn nn3572123412 2 4 3 6 421123 即.ln()()nnn n3572112 2 4 3 6 421 12