2021-2022学年广东省深圳市龙华区高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年广东省深圳市龙华区高二上学期期末数学试题 一、单选题 1直线10 xy 的倾斜角为（）A30 B45 C120 D135【答案】B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】10 xy 的斜率为 1，故倾斜角满足tan1，又倾斜角大于等于 0小于 180，故倾斜角为 45.故选：B 2已知空间中两点1,1,2A，2,2,1B，则AB（）A3 B3 3 C6 D9【答案】B【分析】计算3,3,3AB，再计算模长得到答案.【详解】1,1,2A，2,2,1B，故3,3,3AB，故9993 3AB.故选：B 3各项为正的等比数列 na中，11a，2481a a，则 na的前5项和5S（）A121 B120 C61 D45【答案】A【分析】根据等比数列性质和通项公式可求得公比q，代入等比数列求和公式即可求得结果.【详解】设等比数列 na的公比为q，0na，0q，又322481aa a，22319aa qq，解得：3q，551 31211 3S.故选：A.4圆221:4160Cxyx与圆222:(1)5Cxy的位置关系是（）A相交 B外切 C内切 D相离【答案】C【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解 第 2 页 共 15 页【详解】由221:4160Cxyx与圆222:(1)5Cxy，可得圆心12(2,0),(0,1)CC，半径122 5,5RR，则2212(20)(0 1)5CC，且122 555,RR，所以1212RRCC，所以两圆相内切 故选：C 5如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为108.75 10 m，最远的距离为125.30 10 m.若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为（）A0.88 B0.91 C0.97 D0.99【答案】C【分析】根据题意，列出ac与ac，列方程组，求出a与c，得到离心率cea，可得答案.【详解】根据图像，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c，故根据题意，108.75 10ac，125.30 10ac，解得10121(8.75 105.30 10)2a，12101(5.30 108.75 10)2c，121210125.30 108.75 100.978.75 105.30 10cea.故选：C 6已知双曲线C的渐近线方程为230 xy，且经过点3 2,2，则C的标准方程为（）A22194xy B221128xy C22149yx D221218yx【答案】A【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为22094xy，代入点的坐标即可求得结果.【详解】根据渐近线方程可设双曲线C方程为：22094xy，双曲线C过点3 2,2，2 1 1，第 3 页 共 15 页 双曲线C的标准方程为：22194xy.故选：A.7已知点(1,0)A，(1,0)B，动点P满足223PAPB，则点P的轨迹方程为（）A22132xy B22143xy C22410 xyx D22410 xyx 【答案】D【分析】由向量数量积及模长公式,计算即可.【详解】设,P x y,因为(1,0)A(1,0)B,所以1,1,PAxyPBxy 又因为223PAPB,所以222213 1xyxy ,即得2222820yxx 可得点P的轨迹方程为22410yxx 故选:D.8如图，是正四棱柱1111ABCDABC D被平面EFGH所截得的几何体，若2AB，2BFDH，3CG，则截面EFGH与底面ABCD所成二面角的余弦值是（）A66 B63 C33 D32【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，平面EFGH的法向量为11,1,2n，平面ABCD的一个法向量为20,0,1n，计算得到答案.【详解】如图所示：以,DA DC DH为,x y z轴建立空间直角坐标系，第 4 页 共 15 页 则2,2,2F，0,2,3G，0,0,2H，设平面EFGH的法向量为1,nx y z，则1122020?n HFxyn HGyz，取1x 得到11,1,2n，平面ABCD的一个法向量为20,0,1n，12121226cos,36n nn nnn，故截面EFGH与底面ABCD所成二面角的余弦值是63，故选：B 二、多选题 9当m取一定实数值时，方程2222135xymm可以表示为（）A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线【答案】ABC【分析】比较223,5mm的正负以及大小，进而确定方程2222135xymm所表示曲线的形状.【详解】230m，且250m，则有：当250m，即,55,m 时，方程2222135xymm表示焦点在在x轴上的双曲线，B 正确；当250m，即5,5m 时，则有：当2235mm，即 5,11,5m 时，方程2222135xymm表示焦点在x轴上的椭圆，A 正确；第 5 页 共 15 页 当2235mm，即1m 时，方程2222135xymm即为224xy，表示圆心在坐标原点，半径为 2 的圆；当2235mm，即1,1m 时，方程2222135xymm表示焦点在y轴上的椭圆，C 正确；对于 D：若方程2222135xymm表示为焦点在y轴上的双曲线，则223050mm，无解，D 错误.故选：ABC.10在正方体1111ABCDABC D中，若AB a=，ADb，1AAc，则下列正确的是（）A1ACcab B1BDabc C1CAabc D1DBabc【答案】AD【分析】根据空间向量基本定理，用,a b c作为一组基底表示出空间向量，即可得到.【详解】由已知可得，,a b c不共面，则,a b c可以作为空间向量的一组基底.对于 A 项，111ACABBCCDabCABAAAc，故 A 项正确；对于 B 项，111BDBCCDDDABADAAabc ，故 B 项错误；对于 C 项，111CACBBAAAADABAAabc ，故 C 项错误；对于 D 项，111DBDAABBBADABAAabc，故 D 项正确.故选：AD.111202年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列na，其递推公式可以表示为121aa，12nnnaaa（3n），则下列结论正确的是（）第 6 页 共 15 页 A55a B22212334aaaa a C12320202022aaaaa D13520212022aaaaa【答案】ABD【分析】根据递推关系12nnnaaa对四个选项逐一分析判断即可.【详解】由题意可知121aa，3122aaa，4233aaa，5345aaa，AB 正确；因为202220212020aaa，202120202019aaa，202020192018aaa，321aaa，21aa，各式相加得20222021202032202120202019201812()aaaaaaaaaa，所以202220202019201812aaaaa，C 错误；因为202220212020202120192018aaaaaa 2021201920172016202120192017201532aaaaaaaaaa 202120192017201531aaaaaa，D 正确；故选：ABD 12城市的很多街道都呈平行垂直状，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.仿此，如图，平面直角坐标系上任意不重合两点11(,)A x y，22(,)B xy，线段AB的中点为M，中垂线为l.定义A，B间的折线距离1212(,)d A Bxxyy.若(,)C x y满足(,)(,)d A Cd C B，则下列说法正确的是（）A无论A，B位置如何，M都满足C的条件 B当12xx或12yy时，C可取l上任一点 第 7 页 共 15 页 C当直线AB的斜率为1时，C可取l上任一点 D当直线AB斜率存在且不为0时，C均可取l上任一点【答案】ABC【分析】根据“折线距离”的定义逐项计算.【详解】对于 A，1212,22xxyyM，1212121211,2222xxyyxxyyd A Mxy，1212121222,2222xxyyxxyyd B Mxyd A M，正确；对于 B，假设12xx，则 l平行于 x轴，设12,2yyC x，则有：1212111,22yyyyd A Cxxyxx，1212221,22yyyyd B Cxxyxxd A C，正确；同理当12yy 时也正确；对于 C，设 AB的斜率为 1，则 l的斜率为-1，则有212121211,yyyyxxxx，直线 l的方程为：121222yyxxyx ，化简得：121222xxyyyx ，设121200,22xxyyC xx，则121210101002,22xxyyd A Cxxyxxxxx，2001,d B Cxxxxd A C，正确；同理当 AB的斜率为-1 时也正确；对于 D，不妨假设0,0,4,2AB，则 AB 的斜率为12，则 l的斜率为2，2,1M，直线 l的方程为122,25yxyx ，在 l上取点0,5C，则有,00055,40257,d A Cd B C,d A Cd B C，错误；故选：ABC.三、填空题 13经过点(1,2)且与直线210 xy 平行的直线方程是_.【答案】240 xy【分析】设出所求直线方程为20 xyc，利用点(1,2)的坐标求出 c，即得答案.【详解】由题意可设与直线210 xy 平行的直线的方程为20 xyc，将(1,2)代入20 xyc，得4c ，第 8 页 共 15 页 故经过点(1,2)且与直线210 xy 平行的直线方程是240 xy，故答案为：240 xy 14已知曲线22xyk（0k）与抛物线28yx的准线相切，则k _.【答案】4【分析】确定抛物线28yx的准线为2x，得到22k 得到答案.【详解】抛物线28yx的准线为2x，曲线22xyk与2x 相切，故0k 且221xykk，则224k.故答案为：4 15数列2 n与31n 的所有公共项由小到大构成一个新的数列na，则10a_.【答案】56【分析】根据数列2 n与31n 的性质确定数列na是以2为首项，6为公差的等差数列，从而可得通项na，即可得10a的值.【详解】解：数列2 n与31n 分别是以2,3为公差，2为首项的等差数列，则新的数列na是以2为首项，6为公差的等差数列，所以21664nann，故106 10456a.故答案为：56.四、双空题 16在平面直角坐标系xOy中，满足221xy的点构成一个圆，经过点13,22且与之相切的直线方程是_；类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，满足2221xyz的点构成的空间几何体是一个球，则经过点21 2,33 3且与之相切的平面方程是_.【答案】13122xy 2121333xyz【分析】首先设切线上任一点,P x y，利用垂直关系建立等式，转化为切线方程；设切面上任一点,Q x y z，同样利用垂直关系，转化为数量积表示的等式，即可球切面方程.第 9 页 共 15 页【详解】设13,22A，2213122，所以点A在圆上，设切线上任意点,P x y，则OPAP，即1313,02222xy ，则113302222xy，即13122xy；设21 2,33 3B，与球相切的平面上任一点,Q x y z，则OBBQ，即21 2212,033 3333xyz ，2211220333333xyz，化简为2121333xyz.故答案为：13122xy；2121333xyz 五、解答题 17如图，在平面直角坐标系xOy上，有点(2,1)A，(5,2)B，(4,3)C.(1)证明：ABC是直角三角形；(2)求ABC的外接圆方程.【答案】(1)证明见解析(2)229140 xyxy 【分析】（1）由两点之间斜率公式，根据两直线垂直的斜率关系，可得答案；（2）根据直角三角形外接圆的性质，利用中点坐标公式以及两点之间距离公式，可得答案.【详解】（1）依题意得2 1152ABk ，3 1142ACk，所以1AABCkk，所以ABAC，即ABC是直角三角形.第 10 页 共 15 页（2）取BC的中点9 1,2 2D，22912621222AD，所以ABC的外接圆方程是229126224xy.写成一般式：229140 xyxy.18已知等差数列na中，140a，3976aa.(1)求na的通项公式；(2)若na的前n项和为nS，求nS的最大值.【答案】(1)20225nna(2)2020 【分析】（1）计算638a，得到等差数列公差，得到通项公式.（2）计算21(201)5nSnn，根据二次函数性质得到最值.【详解】（1）396276aaa，638a，设na的公差为d，140a，所以6126 15aad，121202214055nnnaand.（2）（法一）25d ，所以na是单调递减数列，因为10a，设na的前k项和最大，则120220?5200205kkkaka，即100k或101，nS的最大值为100101100 99210040202025SS.（法二）25d ，140a，na的前n项和为nS1(1)2n nnad，即21(201)5nSnn，对称轴100.5n，所以100n 或101n时nS取最大值，最大值为1001012020SS.19已知P为椭圆C2222:1xyab（0ab）上一点，1F，2F是C的焦点，12PFPF.(1)若122PFPF，求椭圆C的离心率；(2)若点P的坐标为(3,4)，求椭圆C的标准方程.第 11 页 共 15 页【答案】(1)53e (2)2214520 xy 【分析】（1）设1(,0)Fc，2(,0)F c，2PFm，则12PFm，利用椭圆定义和勾股定理22259cea，从而求出答案；（2）（法一）设1(,0)Fc，2(,0)F c，求出21PF、22PF、212FF，利用12PFPF得 c，再由122aPFPF求出a，利用222bac，从而得到椭圆方程；（法二）设1(,0)Fc，2(,0)F c，利用椭圆定义和勾股定理得222122()2PFPFacb，1 2PF FS21212PFPFb121442FFc可得24bc，由(3,4)P在椭圆上得2222916baa b，结合222abc解得可得答案.【详解】（1）设1(,0)Fc，2(,0)F c，依题意，不妨设2PFm，则12PFm，所以122222123254PFPFmaPFPFmc解得22259cea，即53e；（2）（法一）设1(,0)Fc，2(,0)F c，则221(3)16PFc，222(3)16PFc，22124FFc，由12PFPF得2221212PFPFFF，即222(3)16(3)164ccc，解得5c，所以21(3)164 5PFc，21(3)162 5PFc，所以1226 5aPFPF，即245a，22220bac，故椭圆C的的方程为2214520 xy；（法二）设1(,0)Fc，2(,0)F c，又由122221224PFPFaPFPFc得222122()2PFPFacb，第 12 页 共 15 页 即1 2PF FS21212PFPFb，另一方面12PF FS121442FFc，所以24bc，由(3,4)P在C上得221691ab，即2222916baa b，所以2294caa c，又由22224abccc，解得5c，即220b，245a，即椭圆C的的方程为2214520 xy.20截至2020年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为300万辆.若此后该市每年新增普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10%，其它情况视为不计.(1)设从2020年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列na，试写出na与1na的一个递推公式，并求2023年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；(2)根据（1）中na与1na的递推公式，证明数列80na 是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆？（参考数据：90.90.39，100.90.35，110.90.31，120.90.28）【答案】(1)10.98nnaa，240（万辆）(2)证明见解析，2031年末 【分析】（1）根据题意得到递推公式，再依次计算得到答案.（2）变换得到1800.9(80)nnaa，得到证明，再计算得到答案.【详解】（1）1300a，10.98nnaa，故20.9 3008278a，30.92788258a，所以2023年末该市普通汽车的保有量40.92588240a（万辆）.（2）10.98nnaa得1800.9(80)nnaa，而180220a，故80na 是首项为220，公比为0.9的等比数列，所以1802200.9nna，即12200.980nna，解12200.980150nna得1770.9,0.310.352222n，求得12n，即从2031年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.21如图 1，边长为2的菱形ABCD中，120DAB，E，O，F分别是AB，BD，CD的中点.现沿对角线BD折起，使得平面ABD 平面BCD，连接AC，如图 2.第 13 页 共 15 页 (1)求cosEOF；(2)若过E，O，F三点的平面交AC于点G，求四棱锥AOEGF的体积.【答案】(1)34(2)312 【分析】（1）证明OA平面BCD，建立空间直角坐标系，得到3 10,22OE，13,022OF，再计算夹角得到答案.（2）计算平面OEGF的法向量为3,3,3n ，再计算A到平面OEGF的距离为217h，最后计算体积得到答案.【详解】（1）连接OA，OC，平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCDBD，OABD，OA 平面ABD，故OA平面BCD，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0,0,1A，0,3,0B，1,0,0C，0,3,0D，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以3 10,22OE，13,022OF，第 14 页 共 15 页 所以334cos1 14OE OFEOFOEOF.（2）连接EG，FG，AF，设平面OEGF的法向量为(,)nx y z，则0n OE，0n OF，即11113102213022yzxy，令13y，则13x ，13z，所以3,3,3n ，设A到平面OEGF的距离为h，而310,22AE，321721AE nhn，依题意得四边形OEGF是一个菱形，0,EOF，97sin1164EOF，所以72sin4OEFOEGFSSOE OFEOF四边形，所以117213334712A OEGFOEGFVSh四边形.22在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线2:2C ypx（0p）交于点,A B,设直线OA、OB的斜率分别为1k、2k.(1)若直线AB经过抛物线C的焦点F，证明：124k k ；(2)若12kk（为常数），直线AB是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当0时，直线AB经过定点2(0,)p；当0时，直线不过定点.【分析】(1)设直线:2pAB xmy，11(,)A x y、22(,)B xy，联立直线方程与抛物线方程得2220ypmypa，由韦达定理可得122yypm，122y ypa，再根据121212y yk kx x即可证明；(2)设直线:(0)AB xmya a，11(,)A x y、22(,)B xy，立直线方程与抛物线方程得2220ypmyp，由韦达定理可得212y yp，2124px x，由12kk可得2(0)pma，当0时，可得0m，代入直线方程即可得结论.【详解】（1）证明：易知(,0)2pF，第 15 页 共 15 页 设直线:2pAB xmy，11(,)A x y、22(,)B xy，代入22ypx中得2220ypmyp，所以212y yp，221212()4y yp x x，2124px x，所以2121221244y ypk kpx x；（2）解：设直线:(0)AB xmya a，11(,)A x y、22(,)B xy，代入22ypx中得2220ypmypa，所以122yypm，122y ypa，由12kk，得12121212122()222(2)22yyp yyppppmpmxxyyy ypaa，所以2(0)pma，代入AB中得：22()pmpxmym y，故直线AB经过定点2(0,)p；当0时，则有20pma，又因为0,0ap，所以只有0m，所以直线:(0)AB xa a，此时直线不过定点.综上所述：当0时，直线AB经过定点2(0,)p；当0时，直线不过定点.