2022-2023学年北京市密云区高二上学期期末考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年北京市密云区高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1抛物线22yx的准线方程是（）A12x B12y C=1x D1y 【答案】A【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.【详解】解：由抛物线22yx，可得其准线方程是12x .故选：A.2已知数列 na，首项12a，13nnaa，则3a（）A5 B8 C11 D15【答案】B【分析】根据递推关系求得3a.【详解】121322,35,38aaaaa.故选：B 3设m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n ，则mn B若/m，/n，则mn C若m，mn，则/n D若/m，mn，则n【答案】A【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，根据线面垂直的定义可知，若m，n ，则mn，A 选项正确.B 选项，若/m，/n，则,m n可能平行，所以 B 选项错误.C 选项，若m，mn，则n可能含于平面，所以 C 选项错误.D 选项，若/m，mn，则n可能含于平面，所以 D 选项错误.故选：A 4已知直线:8l yx.则下列结论正确的是（）A点2,6在直线l上 B直线l的倾斜角为4 C直线l在y轴上的截距为 8 D直线l的一个方向向量为1,1v 第 2 页 共 17 页【答案】B【分析】逐个分析各个选项.【详解】对于 A 项，当2x，6y 时，代入直线方程后得62 8，点(2,6)不在直线 l上，故 A项错误；对于 B 项，设直线 l的倾斜角为，1k，tan1，又0,)，4，故 B 项正确；对于 C 项，令0 x 得：8y ，直线 l在 y 轴上的截距为8，故选项 C 错误；对于 D 项，直线 l的一个方向向量为1,1v，111k，这与已知1k 相矛盾，故选项 D错误.故选：B.5在四面体 OABC中记OA a，OB b，OCc，若点 M、N 分别为棱 OA、BC的中点，则MN（）A111222abc B111222abc C111222abc D111222abc【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算，即得.【详解】由题意得：11111()22222MNONOMOBOCOAabc.故选：B.6若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线经过点1,3，则双曲线的离心率为（）A2 33 B62 C3 D2【答案】D【分析】先求出渐近线方程，代入点1,3化简求解.【详解】双曲线22221xyab的渐近线方程为：byxa，点1,3在一条渐近线上即第 3 页 共 17 页 222222333132bbcaeeaaa 故选：D 7若直线1l：310axy 与2l：2110 xay 互相平行，则 a 的值是（）A3 B2 C3或 2 D3 或2【答案】A【分析】根据直线1l：310axy 与2l：2110 xay 互相平行，由12 3a a求解.【详解】因为直线1l：310axy 与2l：2110 xay 互相平行，所以12 3a a，即260aa，解得3a 或2a，当3a 时，直线1l：3310 xy，2l：2210 xy，互相平行；当2a 时，直线1l：2310 xy，2l：2310 xy，重合；所以3a ，故选：A 8已知1,2,ay，,1,2bx，且2/bab，则（）A13x，1y B12x，4y C2x，14y D1x，1y 【答案】B【分析】利用向量平行的充要条件列出关于 x、y的方程组，解之即可求得 x、y 的值.【详解】1,2,ay，,1,2bx，则1,1,2abxy，22,2,4bx 由2/bab，可得2 1204 1220 xxxxy，解之得124xy 故选：B 9已知直线10lkxyk：和圆C：2240 xyx，则直线l与圆C的位置关系为（）A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A 第 4 页 共 17 页【解析】求出直线过的定点P坐标，确定定点在圆内，则可判断【详解】直线方程整理为(1)10k xy，即直线过定点(1,1)P，而22114 120 ，P在圆C内，直线l与圆C相交 故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆C的一般方程为22(,)0f x yxyDxEyF，点00(,)P xy，则00(,)0f xy点P在圆C内，00(,)0fx y点P在圆C上，00(,)0f xy点P在圆C外 10在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC为等腰直角三角形，且满足11ABBCAA，点P满足1BPBCBB，其中 0,1，0,1，则下列说法不正确的是（）A当1时，ABP的面积S的最大值为22 B当1时，三棱锥1PABC的体积为定值 C当12时，有且仅有一个点P，使得1APBP D当12时，存在点P，使得1AB 平面1AB P【答案】C【分析】根据选项 A，可得点P在1CC上运动，当点P运动到点1C时，ABP的面积取得最大值，则111222ABPABCSSAB AC，判断选项 A；根据选项 B，可得点P在11BC上运动，则11P A BCABPCVV，判断选项 B；设BC的中点为M，11BC的中点为N，根据选项 C，可得点P在11BC上运动，则点P在MN上运动，可证得1AP面11BCC B，即可判断选项 C；建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，求得出点P的坐标，即可判断选项 D.【详解】当1时,1BPBCBB,则点P在1CC上运动，则当点P与1C重合时，则此时面积取得最大值，22112ACACCC,由于直三棱柱111ABCABC，则1ABAA,ABC为等腰直角三角形,则ABAC,11,ACAAA AC AA面11ACC A 第 5 页 共 17 页 则AB面11ACC A 1AC 面11ACC A AB1AC 则111222ABPABCSSAB AC,故选项 A 正确；当1时，则1BPBCBB，点P在11BC上运动，则11P A BCABPCVV,由于点1A到平面BPC的距离为定值22，点P到线段BC的距离恒为1 则122 122BCPS,则111221=3226P A BCABPCVV，故选项 B 正确；当12时，112BPBCBB,设BC的中点为M，11BC的中点为N，则点P在MN上运动，当点P与点M重合时，1,BMMN BMA N,则BM面1AMN，则1BMAP 当点P与点N重合时，1AN 面11BCC B，即1AP面11BCC B，则1A PBP,故选项 C 错误；第 6 页 共 17 页 如图建立空间直角坐标系，设1BB的中点为H，1CC的中点为G，当12时，112BPBCBB，则点P在线段HG上运动，1110.0.0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,2ABABP aa 1111,0,1,1,0,1,1,2ABABAPaa 设平面1APB的法向量为,mx y z.则11021,111102AB mxzamaAP maxa yz 当12a 时，则1AB与m平行，则存在点P，使得1AB 平面1AB P，故选项 D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.二、填空题 11已知直线10axy 和直线2410 xy 互相垂直，则a的值是_.【答案】2【分析】根据直线垂直列方程，由此求得a的值.【详解】由于两条直线垂直，第 7 页 共 17 页 所以 214240,2aaa .故答案为：2 12圆心为2,1且和x轴相切的圆的方程是_.【答案】22211xy【分析】根据圆的切线性质进行求解即可.【详解】因为该圆与x轴相切，所以该圆的半径为1，因此圆的方程为22211xy，故答案为：22211xy 13已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D若2AF，60DAF，则抛物线C的方程为_【答案】22yx【分析】根据抛物线的定义可得=2AD，然后在直角三角形中利用60DAF可得p，从而可得答案【详解】根据抛物线的定义可得=2AD AF，又60DAF，所以1=2ADpAF，得=1p，所以抛物线的方程为22yx 故答案为：22yx 14关于曲线22:C xyxy，给出下列四个结论：曲线C关于原点对称，也关于x轴、y轴对称；曲线C围成的面积是2；曲线C上任意一点到原点的距离者不大于2；曲线C上的点到原点的距离的最小值为 1.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】画出曲线C的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.【详解】曲线22:C xyxy，第 8 页 共 17 页 则0,0 xy时，2222111,222xyxyxy，0,0 xy时，2222111,222xyxyxy ，0,0 xy时，2222111,222xyxyxy，当0,0 xy时，2222111,222xyxyxy ，由此画出曲线C的图象如下图所示，由图可知：曲线C关于原点对称，也关于x轴、y轴对称，正确.曲线C围成的面积是11422222，正确.曲线C上任意一点到原点的距离者不大于22222，正确 曲线C上的点到原点的距离的最小值为 1，即1OAOBOCOD，所以正确.故答案为：三、双空题 15已知数列 na的前n项和2*3,NnSnn，则2a _，na的最小值为_.【答案】3 3【分析】利用11,1,2nnnS naSSn求得na，进而求得正确答案.【详解】当1n 时，114aS，第 9 页 共 17 页 当2n时，由23nSn得2113nSn，121nnnaSSn，所以4,121,2nnann，所以22 2 13a ，由于2n时，21nan，na是递增数列，213aa，所以na的最小值为3.故答案为：3；3 四、解答题 16已知数列 na为等差数列，且29a ，50a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若等比数列 nb满足16b ，2234baaa，求数列 nb的前n项和.【答案】(1)315nan(2)133n 【分析】（1）由11940adad 得出数列 na的通项公式；（2）先由21bb得出公比，再由求和公式计算即可.【详解】（1）因为29a ，50a，所以11940adad，解得112,3ad.即数列 na的通项公式为1231315nann.（2）设公比为q，因为223496318baaa ，所以213bqb，所以数列 nb的前n项和为16 1 3331 3nnnS.17已知圆221:(1)(2)9Cxy，圆222:4440Cxyxy，直线:30l xy.第 10 页 共 17 页(1)求圆心1C到直线l的距离；(2)已知直线l与圆1C交于M，N两点，求弦MN的长；(3)判断圆1C与圆2C的位置关系.【答案】(1)2 2(2)1(3)外切 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得正确答案.（2）根据弦长公式求得正确答案.（3）根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【详解】（1）圆1C的圆心为11,2C，半径13r.圆2C的方程可化为22224xy，所以圆心为22,2C，半径22r.所以圆心1C到直线l的距离为1232 22d.（2）22122 982MNrd.（3）221212345C Crr，所以两圆外切.18如图所示，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，AFDE，DEAD，122AFADDE.(1)求证：BF平面CDE；(2)求证：EF平面CDF；(3)若点H在线段DE上，且1EH，求异面直线AH与BE所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 第 11 页 共 17 页(2)证明见解析(3)4 7839 【分析】（1）首先根据面面平行的判定证明平面ABF平面CDE，再根据面面平行的性质即可得到答案.（2）首先取ED的中点G，连接FG，易证EFFD，CDEF，再利用线面垂直的判定即可证明EF平面CDF.（3）首先以D为原点，,DA DC DE分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为AF 平面CDE；DE平面CDE；AFDE，所以AF平面CDE.因为AB 平面CDE；CD 平面CDE；ABCD，所以AB平面CDE.又因为AF 平面ABF，AB平面ABF，AFABA，所以平面ABF平面CDE；又因为BF平面ABF，所以BF平面CDE.（2）取ED的中点G，连接FG，如图所示：因为四边形ADEF为梯形，且DEAD，122AFADDE，所以四边形ADGF为正方形，FGED，2FGEG.所以22222 2EF，22222 2FD，即222EFFDED，EFFD.又因为平面ADEF 平面ABCDAD，且CD 平面ABCD，CDAD，所以CD 平面ADEF.又因为EF 平面ADEF，所以CDEF.因为EFCD，EFFD，CDFDD，,CD FD 平面CDF，第 12 页 共 17 页 所以EF平面CDF.（3）以D为原点，,DA DC DE分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，2,0,0A，0,0,3H，2,2,0B，0,0,4E，2,0,3AH ，2,2,4BE ，设异面直线AH与BE所成角为，则164 78cos394944 16AH BEAHBE.所以异面直线AH与BE所成角的余弦值为4 7839.19 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长是焦距的 2 倍，点F是椭圆的右焦点，且点62,2P在椭圆上，直线:10l yk xk与椭圆C交于 A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)当1k 时，求ABF的面积；(3)对0k，ABF的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)22143xy(2)12 27(3)是，定值为 8，证明见解析 【分析】（1）由 a、b、c关系及点在椭圆上建立方程组即可解得参数；（2）112ABABFSFFyy，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求.（3）判断直线恒过左焦点，由椭圆定义可得周长为定值.【详解】（1）长轴长是焦距的 2 倍，则2ac，则22223bacc，第 13 页 共 17 页 椭圆为2222143xycc，代入点62,2P得22624143cc，解得21c.椭圆C的方程为22143xy.（2）1k，则直线为1yx，过椭圆左焦点110F ，右焦点为1,0F.设1122,A x yB x y，由221431xyyx得27880 xx，121288,77xxx x，12126117yyxx，121212917y yxxx x .212121212 247yyyyy y.112112 227ABFSFFyy.（3）ABF的周长为定值，理由如下：直线l恒过椭圆左焦点110F ，由椭圆定义可知ABF的周长为11228F AFAFBFBaa.20已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角形，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点.再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个条件作为已知.条件：CD 平面PAD；条件：4 2PC；条件：平面PAD 平面ABCD.(1)求证：PO平面ABCD；(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)3(3)答案见解析.【分析】（1）选条件：CD 平面PAD，利用面面垂直的判定定理得到平面PAD 平面ABCD，第 14 页 共 17 页 再由POAD，利用面面垂直的性质定理证明；选条件：4 2PC，由222PDCDPC，得到CDPD，又CDAD，得到CD 平面PAD，然后利用面面垂直的判定定理得到平面PAD 平面ABCD，再由POAD，利用面面垂直的性质定理证明；选条件：平面PAD 平面ABCD，由POAD，利用面面垂直的性质定理证明；（2）由（1）建立空间直角坐标系，求得平面 EFG的一个法向量为,mx y z，易知平面 ABCD的一个法向量为0,0,1n，由cos,m nm nmn求解；（3）设PMPA，0,1，得到2,4,2 32 3GM，由（2）知平面 EFG 的一个法向量为3,0,3m，由1cos,sin62m GMm GMm GM求解.【详解】（1）证明：选条件：CD 平面PAD，又CD 平面 ABCD，所以平面PAD 平面ABCD，因为PAD是正三角形，且O是AD的中点，所以POAD，又平面 APD平面 ABCD=AD，PO平面 APD 所以PO平面ABCD；选条件：4 2PC；因为4PDCD，所以222PDCDPC，则CDPD，又CDAD，且=PDAD D，所以CD 平面PAD，又CD 平面 ABCD，所以平面PAD 平面ABCD，因为PAD是正三角形，且O是AD的中点，所以POAD，又平面 APD平面 ABCD=AD，PO平面 APD 所以PO平面ABCD；选条件：平面PAD 平面ABCD.因为PAD是正三角形，且O是AD的中点，所以POAD，又平面 APD平面 ABCD=AD，PO平面 APD 所以PO平面ABCD；第 15 页 共 17 页（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0ABCD，0,0,2 3,1,2,3,1,0,3,0,4,0PEFG，所以0,2,0,1,2,3EFEG，设平面 EFG 的一个法向量为,mx y z，则00m EFm EG，即20230yxyz，令3z，则3,0 xy，所以3,0,3m，易知平面 ABCD的一个法向量为0,0,1n，所以1cos,2m nm nmn，所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3；（3）设PMPA，0,1，则2,4,2 32 3GMPMPGPAPG，由（2）知平面 EFG的一个法向量为：3,0,3m，所以直线GM与平面EFG所成角的正弦值为1cos,sin62m GMm GMm GM，即226122 32162 32 3，整理得22320，因为70 ，所以方程无解，即不存在满足条件的点 M.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点为0,2，离心率为33，M，N分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于A，B两点，满足MA MB，过点M作MHAB，垂足为H.第 16 页 共 17 页(1)求椭圆C的标准方程；(2)判断直线AB是否过定点，如果是，则求出此定点的坐标，如果不是，则说明理由；(3)写出HMN面积的最大值.【答案】(1)22164xy(2)过定点20,5(3)125 【分析】（1）根据已知条件求得,a b，从而求得椭圆C的标准方程.（2）设出直线AB的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据MA MB列方程，化简后确定直线AB所过定点坐标.（3）先求得H点的轨迹，然后求得HMN面积的最大值.【详解】（1）依题意222233bcaabc，解得6,2ac，所以椭圆方程为22164xy.（2）依题意可知直线AB不过点0,2M，若直线AB的斜率不存在，则AMB为锐角，不满足MA MB，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为2ykxm m，由22164ykxmxy消去y并化简得2222363120kxkmxm，2222364 233120k mkm，整理得22640km.设 1122,A x yB x y，则21212226312,2323kmmxxx xkk，1122,2,2MAx yMBxy，由于MA MB，所以 1122,2,20MA MBx yxy，即1212220 x xyy，121212240 x xy yyy，第 17 页 共 17 页 121212240 x xkxmkxmkxmkxm，2212121220kx xkmkxxm，22222312612202323mkmkkmkmkk，即22221312262230kmkmkkmmk，整理得25840,2520mmmm，由于2m，故解得25m ，所以直线AB的方程为25ykx，所以直线AB过定点20,5，此时20,5在椭圆C内，满足直线AB与椭圆有2个公共点.（3）设20,5D，由于MHDH，所以H点的轨迹是以MD为直径的圆（M点除外），所以H到MD，也即H到MN的距离的最大值为1625MD，所以HMN面积的最大值为161612425255MN.