2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题 一、单选题 120222021202081981 1980等于（）A19802022A B412022A C422022A D432022A【答案】D【分析】根据排列数公式判断即可；【详解】解：因为19802022一共有2022 1980 143 个数，所以4320220A20222021 202081981 198，故选：D 2从 2 名男生和 4 名女生中选 3 人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（）A16 种 B32 种 C95 种 D192 种【答案】A【分析】依题意分选出的 3 人为 1 男 2 女和选出的 3 人为 2 男 1 女两类，按分类计数原理求解即可【详解】若选出的 3 人为 1 男 2 女的情况有1224C C种若选出的 3 人为 2 男 1 女的情况有2124C C种 所以至少要有一男一女的选法有21122424C CC C16，故选：A 3下面几种概率是条件概率的是（）A甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B有 10 件产品，其中 3 件次品，抽 2 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】C【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率 选项 A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；第 2 页 共 14 页 选项 B：抽 2 件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项 C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项 D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率 故选：C 4下列结论正确的是（）A若 2sinf xxx，则 cos2fxxx B若 f xx，则 12fxx C若 2f x，则 2fx D若 321f xx，则 23 21fxx【答案】B【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于 A 选项，2sinf xxx，cos2fxxx，故 A 错误；对于 B 选项，12f xxx，121122fxxx，故 B 正确；对于 C 选项，2f x，0fx，故 C 错误；对于 D 选项，321f xx，233 2126 21fxxx，故 D 错误 故选：B 5函数31226yxx的极小值点是（）A2 B23 C2 D143【答案】A【分析】利用极值点的定义求解.【详解】解：由题意得：31226yxx，2122yx，令0y，则2x，当,2x 时，0y，函数31226yxx单调递增 当2,2x 时，0y，函数31226yxx单调递减 当2,x时，0y，函数31226yxx单调递增 故2x 是函数的极小值点.第 3 页 共 14 页 故选：A 6将三颗骰子各掷一次，设事件A“三个点数都不同”，B“至少出现一个 6 点”，则条件概率P B A的值是（）A6091 B12 C518 D91216【答案】B【分析】根据题意，计算P AB，P A，进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义，P B A其含义为在A发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个 6 点”的概率，因为23533C A5618P AB，363A569P A，所以 5118529P ABP B AP A 故选：B 752xyxy的展开式中的33x y系数为（）A30 B10 C30 D10【答案】B【分析】求得5xy的通项，令3r 和2r，即可求出答案.【详解】因为55522xyxyx xyy xy，5xy的通项为：515CrrrrTxy 令3r，则33245=CTxy，令2r，则22335=CTxy，所以33x y的系数为 32325512C110C2010 故选：B.8回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”如 44，585，2662 等；那么用数字 1，2，3，4，5，6 可以组成 3 位“回文数”的个数为（）A30 B36 C360 D1296【答案】B 第 4 页 共 14 页【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，第一步选择第一位数，有6种方法，第二步选择第二位数，有6种方法，利用分步计数原理，共有6 636 种 故选：B.二、多选题 9若随机变量 X的分布列如下，则（）X 1 2 3 4 P 1t 3t 2t 4t A10t B10.8P X C11t D30.6P X 【答案】AD【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为112341t，解得10t，故 A 正确，C 错误 由分布列可知：1111 0.10.9P XP X ，故 B 错误；30.40.20.6P X，故 D 正确.故选：AD.10已知12nxx的二项展开式中二项式系数之和为 64，下列结论正确的是（）A二项展开式中各项系数之和为63 B二项展开式中二项式系数最大的项为32160 x C二项展开式中有常数项 D二项展开式中系数最大的项为390 x【答案】ABC【分析】根据二项式系数和得6n，进而根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为12nxx的二项展开式中二项式系数之和为 64，所以264n，得6n，第 5 页 共 14 页 所以题中二项式为612xx，二项式展开式的通式公式为：36662166122rrrrrrrTCxCxx，对于选项 A，令1x，可得二项展开式中各项系数之和为63，所以选项 A 正确；对于选项 B，第 4 项的二项式系数最大，此时3r，则二项展开式中二项式系数最大的项为336336 322462160TCxx，所以选项 B 正确；对于选项 C，令3602r，则4r，所以二项展开式中的常数项为36446 426260Cx，所以选项 C 正确；对于选项 D，令第1r 项的系数最大，则6161666161662222rrrrrrrrCCCC，解得5733r，因为*rN，所以2r 时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 2433362240TCxx，所以选项 D 错误 故选：ABC 11 在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门 学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史 2 门科目中选择 1 门，再从政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（）A若任意选科，选法总数为1224C C B若化学必选，选法总数为1123C C C若政治和地理至多选一门，选法总数为11112222C C CC D若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为111222C CC【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.【详解】对于 A 中，先从物理和历史中，任选 1 科，再从剩余的四科中任选 2 科，根据分步计数原理，可得选法总数为1224C C种，所以 A 正确；对于 B 中，先从物理、历史中选 1 门，有12C种选法，第 6 页 共 14 页 若化学必选，再从生物、政治、地理中再选 1 门，有13C种选法，由分步计数原理，可得选法共有1123C C种，所以 B 正确；对于 C 中，先从物理和历史中选 1 门，有12C种选法，若从政治和地理中只选 1 门，再从化学和生物中选 1 门，有1122CC种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选 2 门，只有 1 中选法，由分类计数原理，可得共有111222(1)C C C，所以 C 正确；对于 D 中，若物理必选，只有 1 种选法，若化学、生物只选 1 门，则在政治、地理中选 1 门，有1122CC种选法，若化学、生物都选，则只有 1 种选法，由分类计数原理，可得选法总数为11221C C，所以 D 错误.故选：ABC.12 过点,0P a作曲线xyxe的切线，若切线有且仅有两条，则实数 a的值可以是（）A2 B0 C4 D6【答案】AD【分析】设切点为000(,)xxx e，求得切线方程为：000001xxyx exexx，将切线过点(,0)P a，代入切线方程，得到2000 xaxa有两个解，结合0，即可求解【详解】由题意，函数xyxe，可得(1)xyxe 设切点为000(,)xxx e，则000|(1)xx xyxe，所以切线方程为：000001xxyx exexx，切线过点(,0)P a，代入得000001xxx exeax，即方程2000 xaxa有两个不同解，则有240aa，解得0a 或4a 故选：AD.三、填空题 13已知 X是一个离散型随机变量，分布列如表，则常数 c的值为_ X 1 2 P 29cc 3 8c 第 7 页 共 14 页 【答案】13【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列出方程组，即可求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可得22903809381cccccc ，解得13c.故答案为：13.14118除以9的余数是_.【答案】8【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】111181 9 ，展开式的通项公式为 111119kkkC，当0k 时，为 110011191C .所以118除以9的余数是1 98.故答案为：8 15已知一个盒子装有 4 只产品，其中有 3 只一等品，1 只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为_【答案】340.75【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，即可求得答案.【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件 A，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，所以 3213343434P A 故答案为：34 165231xx的展开式中2x的系数为_【答案】95【分析】将2x，3x，1 看作三个不同的对象，把问题可转化为将 5 个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.【详解】解：将2x看作对象甲，3x看作对象乙，1 看作对象丙，则题设可转化为将 5 个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，第 8 页 共 14 页 则要得到2x，则给甲 1 个元素，给乙 0 个元素，给丙 4 个元素，或给甲 0 个元素，给乙 2 个元素，给丙 3 个元素，即2x的系数为1422551395CC 故答案为：95 四、解答题 17已知727012712xaa xa xa x.求：(1)1237aaaa；(2)1357aaaa.【答案】(1)2；(2)1094.【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答.【详解】(1)依题意，令7()1 2f xx，当0 x 时，0(0)1af，当1x 时，701234567(1)1 2 11aaaaaaaaf ，所以，1237(1)(0)2afaafa.(2)由（1）知，当1x 时，7012345673218(71)aaaaaaaaf，因此，1357(1)(1)12187109422ffaaaa .18某种产品的加工需要经过 5 道工序（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某 2 道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某 2 道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某 2 道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72【分析】（1）先从另外 4 道工序中任选 1 道工序放在最后，再将剩余的 4 道工序全排列即可；（2）先从另外 3 道工序中任选 2 道工序放在最前和最后，再将剩余的 3 道工序全排列；（3）先排这 2 道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的 3 道工序，出现 4 个空位，再将这 2 道工序插空【详解】解：（1）先从另外 4 道工序中任选 1 道工序放在最后，有14C4种不同的排法，再将剩余的 4 道工序全排列，有4424A 种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有4 2496种加工顺序；第 9 页 共 14 页（2）先从另外 3 道工序中任选 2 道工序放在最前和最后，有236A 种不同的排法，再将剩余的 3 道工序全排列，有336A 种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6 636 种加工顺序；（3）先排这 2 道工序，有222A 种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有4424A 种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有22448种加工顺序；（4）先排其余的 3 道工序，有336A 种不同的排法，出现 4 个空位，再将这 2 道工序插空，有2412A 种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6 1272种加工顺序，19已知等差数列 na中11a，公差为0d d，nS为其前 n项和，且1S，3S，9S成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设11nnnca a，求数列 nc的前 2022 项的和2022T【答案】(1)21nan(2)202220224045T【分析】（1）利用基本量法求解即可；（2）由（1）有21nan，再利用裂项求和求解即可【详解】(1)等差数列 na中11a，公差为 d（0d），nS为其前 n项和，且1S，3S，9S成等比数列所以111Sa，333Sd，9936Sd 1S，3S，9S成等比数列所以233936dd，又因为0d，解得2d 所以21nan(2)因为21nan，故11111121 212 2121nnnca annnn 11111111112335212122121nnTnnnn 所以21nnTn所以202220224045T 20某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为 0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为 100 元/件，技术处理后得第 10 页 共 14 页 到合格零件的概率为 0.5，得到的不合格零件成为废品(1)求得到一件合格零件的概率；(2)合格零件以 1500 元/件的价格销售，废品以 100 元/件的价格被回收零件的生产成本为 800 元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记 X 为生产一件零件获得的利润，求 X 的分布列【答案】(1)0.8(2)答案见解析【分析】（1）设事件 A：“一次性成型即合格”，设事件 B：“经过技术处理后合格”，求得(),()P A P B的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X可取700，600，800，求得相应的概率，即可得出X的分布列.【详解】(1)解：设事件 A：“一次性成型即合格”，设事件 B：“经过技术处理后合格”，则 0.6P A，1 0.60.50.2P B 所以得到一件合格零件的概率为 0.8PP AP B(2)解：若一件零件一次成型即合格，则1500800700X 若一件零件经过技术处理后合格，则1500800 100600X 若一件零件成为废品，则800100100800X -所以X可取700，600，800，则7000.6P X，6001 0.60.50.2P X，8001 0.61 0.50.2P X ，所以随机变量X的分布列为 X 700 600 800 P 0.6 0.2 0.2 21如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PA=AB，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点 第 11 页 共 14 页 （1）求证：AE平面 PBC；（2）试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30【答案】（1）见解析（2）当点 F 为 BC 中点时，平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30【分析】（1）证明PABCABBC，推出BC 平面PAB得到AEBC证明AEPB，得到AE 平面PBC然后证明平面AEF 平面PBC（2）分别以,ABADAP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形ABCD的边长为 2，求出为平面AEF的法向量，平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【详解】解：（1）PA平面 ABCD，BC平面 ABCD PABC ABCD 为正方形 ABBC 又 PAAB=A，PA，AB平面 PAB BC平面 PAB AE平面 PAB AEBC PA=AB，E 为线段 PB 的中点 AEPB 又 PBBC=B，PB，BC平面 PBC AE平面 PBC （2）以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，第 12 页 共 14 页 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）(1,0,1)AE，(2,2,2)PC，(0,2,2)PD 设 F（2，0）（02），(2,0)AF 设平面 AEF 的一个法向量为111,nx y z 则00n AEn AF 1111020 xzxy 令 y1=2，则11xz (,2,)n 设平面 PCD 的一个法向量为222,mxyz 则00m PCm PD 2222200 xyzyz 令 y2=1，则2201xz 0,1,1m 第 13 页 共 14 页 平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30，223cos302224m nm n，解得=1，当点 F 为 BC 中点时，平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算 22 已知抛物线 C：22xpy的焦点为 F，抛物线上一点,20A mm到 F的距离为 3 (1)求抛物线 C的方程：(2)设直线 l与抛物线 C 交于 D，E 两点，抛物线 C在点 D，E处的切线分别为1l，2l，若直线1l与2l的交点恰好在直线3y 上，证明：直线 l恒过定点【答案】(1)24xy(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）设直线 l的方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理和两条切线方程，将两切线方程联立可得交点坐标，根据交点在直线3y 上，即可得到所求定点.【详解】(1)由抛物线 C：22xpy上一点,2A m到 F的距离为 3，可得232p，解得2p，所以抛物线 C的方程为24xy(2)证明：设211,4xD x，222,4xE x，由题意知直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为ykxn，联立方程24ykxnxy，整理得2440 xkxn，所以216160kn，且124xxk，124x xn，又由24xy，可得=2xy，所以抛物线 C 在点 D 处的切线1l的方程为211124xxyxx，即21124xxyx，第 14 页 共 14 页 同理直线2l的方程为22224xxyx，联立方程2112222424xxyxxxyx，解得122xxx，124x xy，又因为直线1l与2l的交点恰好在直线 y3 上，所以，1234x x 即1212x x ，所以12412x xn ，解得3n，故直线 l的方程为3ykx，所以直线 l恒过定点0,3