2022-2023学年天津市静海区第一中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年天津市静海区第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1直线10 xy 的倾斜角是（）A4 B3 C34 D23【答案】C【分析】由倾斜角与斜率关系，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由10 xy 得1yx ，故倾斜角满足为tan1，0,，故34.故选：C 2 在三棱锥PABC中，点D，E，F分别是BC，PC，AD的中点，设PAa，PBb，PCc，则EF（）A111244abc B111+244abc C111+244abc D111+244abc【答案】B【分析】连接DE由中位线性质可知12DEb；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE,D，E分别是BC,PC的中点 111222DEBPPBb 1111122444EFDFDEDADEADDEABACDEABACDE 1111111144442244EFABACDEPBPAPCPAPBPAPBPC PAa，PBb，PCc111111244244EFPAPBPCabc 故选：B 第 2 页 共 14 页 3过点1,3P 且平行于直线230 xy的直线方程为（）A270 xy B250 xy C250 xy D210 xy 【答案】A【分析】设直线的方程为20(3)xycc，代入点P的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为20(3)xycc，把点1,3P 坐标代入直线方程得1 60,7cc .所以所求的直线方程为270 xy.故选：A 4已知等差数列 na，nb的前 n项和分别为nS，nT，且nn214SnTn，则55ab（）A12 B1936 C58 D813【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式求得正确答案.【详解】5595151922aaabbabb19991992 9 119294 9362aaSTbb.故选：B 5已知 na是首项为 1 的等比数列，nS是 na的前n项和，且3698SS，则5S （）A31 B3116 C31 或 5 D3116或 5【答案】B【分析】数列 na为等比数列，通过等比数列的前n项和公式化简3698SS，从而得到公比q的值，从而求出5S的值.【详解】因为 na是首项为 1 的等比数列，nS是 na的前n项和，且3698SS 当1q 时，3611(1)(1)9811aqaqqq，计算得12q 所以5511123111612S 当=1q时，33S，66S，所以3698SS 第 3 页 共 14 页 综上：53116S 故选：B 6直线:3410lxy 被圆22:(1)(2)9Cxy所截得的弦长为（）A2 5 B4 C2 3 D2 2【答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆22:(1)(2)9Cxy，圆心坐标为12C，半径为3，所以点12C，到直线:3410lxy 的距离为2238 1234，所以，直线被圆截得的弦长为222 322 5.故选：A.7已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程是30 xy，它的一个焦点在抛物线224yx的准线上，则双曲线的方程为（）A221927xy B221279xy C22136108xy D22110836xy【答案】A【分析】求出抛物线的准线方程，可得出c的值，进而可得出关于a、b的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】抛物线224yx的准线方程为6x ，所以，222=6=3=+cbacab，解得=3=3 3=6abc，因此，该双曲线的方程为221927xy.故选：A.8直线:20l kxy与曲线2:1(1)1Cyx只有一个公共点，则实数k范围是（）A(3,)(,3)B3,2 C4(2,43 D(3,3 2【答案】C 第 4 页 共 14 页【分析】确定直线:20l kxy恒过定点(0,2)，确定曲线2:1(1)1Cyx表示圆心为(1,1)，半径为 1，且位于直线1x 右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kxy恒过定点(0,2)，曲线2:1(1)1Cyx表示圆心为(1,1)，半径为 1，且位于直线1x 右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有 2 个交点，此时2k，不满足题意，直线记为1l，当直线l经过点(1,2)时，l与曲线C有 1 个交点，此时4k，满足题意，直线记为3l，如图，当直线l与半圆相切时，由2|3|11kk，解得43k，直线记为2l，由图知，当24k或43k，l与曲线C有 1 个交点，故选：C 9已知双曲线2221(0)2xybb的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线22(0)ypx p的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 M到直线1:4380lxy和2:3lx 的距离之和的最小值为（）A115 B145 C165 D215【答案】D【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点 F 的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线2221(0)2xybb的渐近线20bxy，右焦点2(2,0)Fb，依题意，22222bbb，解得2b，因此抛物线的焦点为(2,0)F，方程为28yx，其准线为2x ，由243+8=0=8xyyx消去 x并整理得：26160yy，264 160 ，即直线1l与抛物线28yx相离，过点 F作1FPl于点 P，交抛物线于点 M，过 M作2MQl于点 Q，交直线2x 于点 N，第 5 页 共 14 页 则有224 2821|1|1154(3)MPMQMPMNNQMPMFFP ，在抛物线28yx上任取点M，过M作1M Pl 于点P，作2M Ql 于点Q，交准线于点N，连,M F FP，如图，显然|1|M PM QM PM NN QM PM FFPFP ，当且仅当点M与点M重合时取等号，所以抛物线上一动点 M到直线1:4380lxy和2:3lx 的距离之和的最小值为215.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.二、填空题 10点1,Pm到直线l：3420 xy的距离等于 3，求m的值为_【答案】4或72【分析】利用点到直线的距离公式直接求解【详解】点1,Pm到直线l：3420 xy的距离：223 142334md ，4m 或72m.故答案为：4或72 11设数列 na前 n 项和为nS，25nSnn，则数列 na的通项公式为_【答案】7,12,2nnan n 第 6 页 共 14 页【分析】利用11,1,2nnnS naSSn，即得.【详解】因为25nSnn，当1n 时，117aS；当2n时，1nnnaSS2251152nnnnn-，17a 不适合上式，所以数列 na的通项公式7,12,2nnan n.故答案为：7,12,2nnan n.12直线 l过点4,0且与圆22(1)(2)9xy相切，那么直线 l的方程为_.【答案】4x 或512200 xy【分析】当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为4x，与圆相切，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为40kxyk，圆心12C ，到直线l的距离22431kkdk，求出斜率k，由此能出直线l的方程【详解】直线l过点4,0且与圆22(1)(2)9xy相切，圆22(1)(2)9xy的圆心1,2C，半径3r，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为4x，与圆相切，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为4yk x，即40kxyk，圆心1,2C 到直线l的距离22431kkdk，解得512k ，直线l的方程为550123xy，即512200 xy 综上，直线l的方程为4x 或512200 xy 故答案为：4x 或512200 xy 13数列 na满足31nan，数列 nb的前n项和为nT，且1(1)nnnba，则19T _.【答案】31 第 7 页 共 14 页【分析】根据题意写出191234171819Taaaaaaa，然后利用并项求和法即可求解.【详解】因为31nan，1(1)nnnba，数列 nb的前n项和为nT，所以191234171819Taaaaaaa 47 10 13525558 4710 13525558 3 958275831 .故答案为：31.14等差数列 na的首项19a，公差2d ，则使数列的前n项和nS最大的正整数n的值是_【答案】5【分析】根据等差数列的求和公式及二次函数的性质即得.【详解】因为等差数列 na的首项19a，公差2d ，所以122911105252nSan nndnnnnnn ，所以5n 时，数列的前n项和nS最大.故答案为：5.15已知1F，2F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，M 为2PF上的三等分点，且满足22MFPM，若1OPMF，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 【答案】1,12【解析】设00,P x y，根据22MFPM，求出点M，再由21MFOPkk 可得220002yxx，代入椭圆方程可得22200220cxcxba，使方程在,a a上有解，利用零点存在性定理即可求解.【详解】设00,P x y，,M x y，第 8 页 共 14 页 则00,PMxxyy，200,PFcxy，213PMPF，00001,3xxyycxy，00212,333Mxcy，200002324233MFyykxcxc，00OPykx，1OPMF，22020012MFOPykkxcx，220002yxcx，又2220021xyba，222200022bbxxcxa，22200220cxcxba，P存在，0 x存在，22222224440c bcccaa ，显然恒成立，又0,xa a，22200220cxcxba在,a a上有解，令 22200022cf xxcxba，对称轴202222caxacca ，且P不在x上，2220facacb，2220f acacb，解得112e，即1,12e 故答案为：1,12【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率，解题的关键是根据1OPMF，将问题转化为22200220cxcxba在,a a上有解，考查了计算能力.三、解答题 16已知圆1C：222610 xyxy 和2C：221012450.xyxy(1)求证：圆1C和圆2C相交；(2)求圆1C和圆2C的公共弦所在直线的方程和公共弦长 第 9 页 共 14 页【答案】(1)证明见解析(2)43230 xy，2 7 【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长【详解】（1）1C标准方程是22(1)(3)11xy，1(1,3)C，11r，2C标准方程是22(5)(6)16xy，2(5,6)C，4R，2212(5 1)(63)5C C，显然4115411，所以两圆相交（2）两圆方程相减得86460 xy，即43230 xy为公共弦所在直线方程，1C到直线44230 xy的距离为224923243d，所以公共弦长2222 7lrd 17已知数列 na的前n项和114,242nnnSaSan，设1nnba(1)求证：nb是等比数列；(2)设332,211,2loglognnnnbnkcnkbb，*Nk 求数列 nc的前21n项和21nT【答案】(1)见解析(2)233384(1)nnn 【分析】（1）由1n 可求得1a 的值，当2n时，由1242nnSan可得1242(1)nnSan，两式作差变形可得132nnaa，利用等比数列的定义可证得 nb是等比数列.(2)求出nc，利用分组求和法结合等比数列的求和公式，裂项相消法可求得 nc的前21n项和21nT.【详解】（1）证明：1242nnSan，2n时1242(1)nnSan，作差得132nnaa(2)n，整理得到：1131nnaa，11224,242,10aSaa，代入适合上式，第 10 页 共 14 页 因为1130a ，故10na ，11133311nnnnnnbaabaa，nb是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列.（2）由（1）知3nnb，所以3,211,2(2)nnnkcnknn，*Nk，1321211113332 44 62(22)nnTnn 321111(333)2 44 62(22)nnn 213 3911111 94 1 22 3(1)nn n 23233311111133(1).84223184(1)nnnnnn 18如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.(1)求证：AE/平面POC；(2)若侧面PAB 底面ABCD，且3ABCPAB，24ABPA；求PD与平面POC所成的角；在棱PD上是否存在点F，使点F到直线OD的距离为2 4221，若存在，求DFDP的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)4；存在点F，13DFDP 【分析】（1）取线段PC的中点F，连接,OF EF，证明AOFE为平行四边形，即可证明结论；第 11 页 共 14 页（2）以O为原点，分别以,OB OC Oz所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面POC的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；设,0,1DFDP，则向量34,2 32 3,3OFODDFODDP，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果【详解】（1）取线段PC的中点M，连接,OM EM，在PCD中，,E M分别为,PD PC的中点./EMCD，且1=2EMCD 又底面ABCD是菱形，且O为AB的中点，/AO CD，且12AOCD，EMAO，且=EM AO 四边形AOME为平行四边形，/OM AE 又OM 平面,POC AE 平面POC AE平面POC；（2）在平面PAB内过点O作OzAB，由平面PAB 底面ABCD得Oz 平面ABCD，菱形ABCD中3ABC，则OCAB，以O为原点，分别以,OB OC Oz所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，OPA是正三角形，则 1,0,3,0,2 3,0,4,2 3,0PCD，(1,0,3)OP ，(0,2 3,0)OC，3,2 3,3PD ，设平面POC的一个法向量为(,)nx y z，则302 30n OPxzn OCy ，取=3x，得0,3yz，所以3,0,3n，第 12 页 共 14 页 设直线PD与平面POC所成的平面角为，且0,2，则932sincos,21224n PDn PDn PD，4 故直线PD与平面POC所成的角为4 设,0,1DFDP 34,2 32 3,3OFODDFODDP 2 7214,2 3,0,077|ODODOD 12 72 77OF 22dOFOF 即2222812 7342 32 332 7217 化简得291，故13（舍负）综上，存在点F，13DFDP 19已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab过点2,3，且离心率为22(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点(0,2)A,点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），2F为椭圆右焦点，点M满足23OMOF（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且APPB求直线AB的方程【答案】(1)22184xy(2)240 xy或20 xy 第 13 页 共 14 页 【分析】（1）根据点在椭圆上，离心率及,a b c的关系，可求得,a b，写出方程.（2）设出AB的方程与椭圆方程联立，用k表示B，又直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且APPB，得P为AB中点，MPAB，利用向量数量积为0建立方程求得k.【详解】（1）2,3在2222:1(0,0)xyCabab上，即22231ab，又2222=,2ceabca，解得：2 2,2,2abc，椭圆 C的方程：22184xy（2）因为点(0,2)A，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），所以AB斜率一定存在.设AB：2ykx，因为2(2,0)F，23OMOF，2(,0)3M，直线AB和椭圆C方程联立得222184ykxxy,得22(21)80kxkx，26400kk，因(0,2),A 22228842,2212121ABBBBkkkxxxykxkkk，则222842(,)21 21kkBkk，因为直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且APPB，即P为AB中点，MPAB,则2242,221221ABABPPxxyykxykk，2242(,)2121kPkk，22212422(,)6321kkMPkk，22288(,)21 21kkABkk,因为MPAB，所以0MP AB,得2(231)0kkk，得0k（舍去），121,12kk，故直线AB的方程为240 xy或20 xy.20已知na是等比数列，nb是等差数列，且112,1ab，3 442132,a ba abb(1)求 na和 nb的通项公式；(2)将 na和 nb中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 nc，求数列 nc的前50项和50T；(3)设数列 nd的通项公式为：22,2,4nnnnnbandban为奇数为偶数，*Nm，求21niid 第 14 页 共 14 页【答案】(1)2nna，nbn(2)1097(3)60261616225225nn 【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得.（2）结合两个数列的通项公式，可判断 nc的前50项中两个数列的项数，然后分组求和可得.（3）求出相邻两项之和的通项，利用错位相减法求和.【详解】（1）设12nnaq，1(1)nbnd，由题意得21 321 12qdqd ，解得21qd.所以2nna，nbn.（2）当5n时，23250nna，当6n 时，26450nna，所以数列 nc中，na有5项，nb有45项.所以 5502(1 2)45(145)10971 22T.（3）由（1）知 22,2,4nnnnnbandban为奇数为偶数，*Nm 21243212(21)424(21)224nnnnnnnddn 设 21nniiDd 即 1234212()()()nnnDdddddd 159433 25 27 2(21)2nn ，则591341163 25 27 2(21)2nnDn 159134341153 22(2222)(21)2nnnDn 51412(1 16)26602662(21)2161 161515nnnnn 60262616225225nnnD
