2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期期末线上考试数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期期末线上考试数学（理）试题 一、单选题 1在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（）A1 或 2 或 3 或 4 B0 或 2 或 4 C1 或 3 D0【答案】B【分析】利用四种命题的关系即得.【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，逆命题和否命题互为等价命题，四种命题真命题的个数为 0 或 2 或 4 个，故选：B.2设mR，命题“若m0，则方程2xm有实根”的逆否命题是()A若方程2xm有实根，则m0 B若方程2xm有实根，则m0 C若方程2xm没有实根，则m0 D若方程2xm没有实根，则m0【答案】D【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案【详解】命题“若m0，则方程2xm有实根”的逆否命题是命题“若方程2xm没有实根，则m0”，故选 D【点睛】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题 3下表是某厂1 4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7yxa，则aA5.25 B5.15 C5.2 D10.5【答案】A【详解】分析：先求出样本中心点,x y，将该点的坐标代入回归方程可求得a的值 详解：由题意得1112342.5,4.5432.53.544xy 第 2 页 共 15 页 样本中心为2.5,3.5 回归直线过样本中心，3.50.7 2.5a，解得5.25a 故选 A 点睛：回归直线过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归直线中的参数，也可求样本数据中的参数由于此类问题常涉及到大量的运算，所以在解题是要注意计算的准确性 4一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为（）A112 B512 C712 D56【答案】A【解析】列出四张卡片随机排成一行所有样本点，满足条件的样本点 1 种，即可求出结论.【详解】由题意，样本点空间为1,1,3,4，1,1,4,3，1,3,1,4，1,3,4,1，1,4,1,3，3,1,1,4，3,1,4,1，3,4,1,1，4,1,3,1，4,1,1,3，4,3,1,1.所以共有 12 种不同排法，而卡片排成“1314”只有 1 种情况，故所求事件的概率112P.故选:A.【点睛】本题考查古典概型的概率，准确列出样本点是解题的关键，属于基础题.5分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 第 3 页 共 15 页 D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6【答案】C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于 A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42，A 选项结论正确.对于 B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.1 8.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.8 10.18.50625816，B 选项结论正确.对于 C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416，C 选项结论错误.对于 D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616，D 选项结论正确.故选：C 6已知空间向量2,1,am，1,1,2b，1,2,2ct，若a，b，c共面，则 m2t（）A1 B0 C1 D6【答案】D【分析】根据向量共面列方程，化简求得2mt.【详解】2111，所以,a b不共线，由于a，b，c共面，所以存在,x y，使cxayb，即21,2,22,1,1 1,txmy，,21,2,22,tx xyxyym，1,2,22,2ytxyxxmy，21222xyxymxyt，13123222xymtmxyt ，即26mt.故选：D 第 4 页 共 15 页 7运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y=xa，x0，+）是增函数的概率为 A37 B45 C35 D34【答案】C【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合 A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数 y=xa，x0，+）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可【详解】解：由框图可知 A=3，0，1，8，15，其中基本事件的总数为 5，设集合中满足“函数 y=xa，x0，+）是增函数”为事件 E，当函数 y=ax，x0，+）是增函数时，a0 事件 E包含基本事件为 3，则3()5P E 故选：C 8已知函数 2lnf xaxbx在点 1,1f处的切线为1y，则ab的值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得【详解】函数 2lnf xaxbx，2bfxaxx，1fa，f x在点 1,1f处的切线为1y，1201faba，第 5 页 共 15 页 解得1a，2b，3ab 故选：C.9若函数 219ln2f xxx在区间11aa，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A4,B0,2 C1,2 D 12，【答案】C【分析】先利用导数求出 f x的单减区间为0,3，再列不等式组，即可求出实数a的取值范围.【详解】函数 219ln2f xxx的定义域为0,且299()xfxxxx.令()0fx解得：03x，所以函数 f x的单减区间为0,3.因为函数 f x在区间11aa，上单调递减，所以1013aa ，解得：12a 所以实数a的取值范围是1,2.故选：C 10已知函数 22 1f xxxf，则 1f 与 1f的大小关系是 A 11ff B 11ff C 11ff D不能确定【答案】A【分析】由题意首先确定函数的解析式，然后结合解析式整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：22 1fxxf，令1x 可得：122 1ff，则 12f，函数的解析式为：22224f xxxxx，据此可知：11 45f ，11 43f ，据此有：11ff.故选：A.【点睛】求函数的导数应注意：求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；第 6 页 共 15 页 根式形式，先化为分数指数幂，再求导 复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理 11若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截 得的弦长为 2，则C的离心率为 A2 B3 C2 D2 33【答案】A【详解】由几何关系可得，双曲线222210,0 xyabab的渐近线方程为0bxay，圆心2,0到渐近线距离为22213d，则点2,0到直线0bxay的距离为222023babdcab，即2224()3cac，整理可得224ca，双曲线的离心率2242cea故选 A 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c2a2 转化为 a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a或 a2 转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12直线330 xy经过椭圆222210 xyabab的左焦点F，交椭圆于,A B两点，交y轴于C点，若2FCCA，则该椭圆的离心率是 A31 B312 C2 22 D21【答案】A【分析】由直线330 xy过椭圆的左焦点F，得到左焦点为(3,0)F，且223ab，再由2FCCA，求得3 3,22A，代入椭圆的方程，求得23 362a，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线330 xy经过椭圆的左焦点F，令0y，解得3x，所以3c，即椭圆的左焦点为(3,0)F，且223ab 直线交y轴于(0,1)C，所以，3,1,2OFOCFC，第 7 页 共 15 页 因为2FCCA，所以3FA，所以3 3,22A，又由点A在椭圆上，得22394ab 由，可得2242490aa，解得23 362a，所以2222642 3313 36cea，所以椭圆的离心率为31e.故选 A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出,a c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)二、填空题 13已知椭圆的方程为22194xy，过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点，2F是椭圆的右焦点，则2ABF的周长的最小值为_【答案】10【分析】连接1AF，1BF，则由椭圆的中心对称性将2ABF的周长转化为122AFAFABaAB，所以当AB取最小值时，周长最小【详解】解：椭圆的方程为22194xy，26a，24b，5c，连接1AF，1BF，则由椭圆的中心对称性可得 2ABF的周长22122AFBFABAFAFABaAB，当 AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为24b，1266410aABAB 故答案为：10 第 8 页 共 15 页 14如图为函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象，()fx为函数 f(x)的导函数，则不等式 xf(x)0 的解集为_ 【答案】(，3)(0,2)【详解】由图象，得函数 f x在区间,3上递增，在区间3,2上递减，在区间2 上递增，即当3x 或2x 时，0fx，当32x时，0fx，所以不等式 x0fx的解集为,30,2.15 过抛物线220 xpy p 的焦点F的直线l与抛物线相交于,A B两点,O是坐标原点,则ABO的形状是_【答案】钝角三角形【分析】先求出焦点坐标,设直线AB方程及,A B两点坐标,固定A在第四象限,B在第三象限,联立方程组,韦达定理求出121212,xxxxyy,写出,OAOBkk的式子,由抛物线的图像可知,判断ABO的形状只需判断AOB的大小,找到,AOFBOF与直线,OA OB倾斜角之间的关系,进而找到tanAOB与12,x x之间关系,判断其正负,即可判断ABO的形状.【详解】解:由题知直线l过焦点F且l与抛物线相交于,A B两点,抛物线开口向下,故直线AB斜率存在,因为0,2pF,第 9 页 共 15 页 不妨设:2pl ykx,1122,A x yB x y,记点A在第四象限,点B在第三象限,即12120,0,0 xxxx,联立:222pykxxpy,可得:2220 xpkxp,所以212122,xxpk xxp ,2221212224xxpyypp,记,AOFBOF,0,2,直线OA的倾斜角为,直线OB的倾斜角为,1212tan,tan,OAOByykkxx 则有,22,则tantanAOB tan22 tan tantan1tantan 121212121yyxxyyxx 12211212y xy xxxyy 1221121222ppkxxkxxx xyy 122224pxxpp 1223xxp 0,第 10 页 共 15 页 所以AOB为钝角,即ABO为钝角三角形.故答案为:钝角三角形 16由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为_.(从小到大排列)【答案】1,1,3,3【详解】设1234xxxx，则 x2+x3=4，123414244xxxxxx.22222222212341234(2)(2)(2)(2)1(2)(2)(2)(2)44xxxxxxxx 因为1234,x xx x为正整数，所以12341,1,3,3xxxx【解析】本题考查平均数与中位数及标准差的求解.三、解答题 17已知p：27100 xx，q：22430 xmxm，其中0m.（1）若4m 且pq为真，求x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）45x；（2）523m【分析】（1）由pq为真，可知,p q都为真，进而求出命题,p q，可得到答案；（2）先求出命题,p q，由q是p的充分不必要条件，可得p是q的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m的取值范围.【详解】由27100 xx，解得25x，所以p：25x，又22430 xmxm，且0m，解得3mxm，所以q：3mxm.（1）当4m 时，q：412x，因为pq为真，所以,p q都为真，所以45x.（2）因为q是p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，因为p：25x，q：3mxm，所以2350mmm，解得523m.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.第 11 页 共 15 页 18某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.求 x 的值；现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？已知 y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.【答案】（1）380 x；(2)12 名;(3)5()11P A 【详解】试题分析：（1）先根据抽到初二年级女生的概率是 019，做出初二女生的人数；（2）再用全校的人数减去初一和初二的人数，得到初三的人数，全校要抽取 48 人，做出每个个体被抽到的概率，做出初三被抽到的人数；（3）由题意，y+z=500，y245，z245，即可求出初三年级中女生比男生多的概率 试题解析：（1）因为0.192000 x，所以380 x （2）初三年级人数为2000(373377380370)500yz 应在初三年级抽取50048122000人（3）设初三年级女生比男生多的事件为 A，初三年级女生、男生数记为（y,z）,由（2）知 y+z=500,且 y、z 为正整数 基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），（255，245）共 11 个，事件 A 包含的基本事件有（251，249）,（252，248）,（253，247）,（254，246）,（255，245）共5 个，所以 P（A）=511【解析】1等可能事件的概率；2分层抽样方法 第 12 页 共 15 页 19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，2PAAD，2 2BD （1）求证：BD平面PAC；（2）求平面PCD与平面CDB所成夹角余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）4（3）2 33【解析】（1）只需证明BDAC，PABD即可证明BD平面PAC；（2）通过证明,ADCD PDCD可知PDA是平面PCD与平面CDB所成角的平面角，根据PAAD可得结果；（3）利用等体积法可求得结果.【详解】（1）在直角三角形BAD中，22842ABBDAD，所以底面ABCD为正方形，所以BDAC，因为PA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，因为PAACA，所以BD平面PAC.（2）因为ABCD是矩形，所以ADCD，因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PACD，因为PAADA，所以CD 平面PAD，即CDPD，所以PDA是平面PCD与平面CDB所成角的平面角，在直角三角形PAD中，因为PAAD，所以PDA4（3）由题意可知点C到平面PBD的距离等于点A到平面PBD的距离，设为d，由（1）可得2 2PBBDPD，所以23(2 2)2 34PBDS，由P ABDA PBDVV得1133ABDPBDPA Sd S，即11122 22 3323d ，所以2 33d，第 13 页 共 15 页 所以点C到平面PBD的距离等于2 33.【点睛】关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.20已知函数32()3f xxxax在 x1 处取得极值（1）求 a 的值；（2）求 f（x）在区间4，4上的最大值和最小值【答案】（1）9；（2）最大值为 76，最小值为5.【分析】（1）求出导函数，利用()f x在1x 处取得极值，10f，求解a即可（2）求出2()369fxxx判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可【详解】解：（1）因为32()3f xxxax，所以2()36fxxxa 因为()f x在 x1 处取得极值，所以()01f，即360a，解得9a 经检验，符合题意（2）由（1）得3239()f xxxx 所以2()369fxxx 令()0fx，得43x 或14x；令()0fx，得31x 所以()f x的单调递增区间为 4,3)，1,4，单调递减区间为(3,1)所以()f x的极大值为(3)27f，极小值为 15f 又420f，476f，所以 1434ffff 所以()f x的最大值为 76，最小值为5 21已知抛物线 y24x 截直线 y2xb所得的弦长为|AB|35.(1)求 b的值；(2)在 x轴上求一点 P，使APB的面积为 39.【答案】(1)b4(2)（11，0）或（15，0）第 14 页 共 15 页 【分析】（1）直线与抛物线联立韦达定理，弦长公式求解.（2）设 P（a，0），面积用12AB与点P到直线 AB 的距离的乘积.【详解】（1）联立方程组242yxyxb消去 y，得方程：4x2（4b4）xb20，设 A（x1，y1），B（x2，y2），x1x21b，x1x224b，|AB|222121254513 5xxx xbb，解得 b4.(2)将 b4 代入直线 y2xb，得 AB 所在的直线方程为 2xy40，设 P（a，0），则 P 到直线 AB 的距离为 d245a.APB的面积 S2413 53925a，则 a11 或 15，所以 P点的坐标为（11，0）或（15，0）22已知函数2()ln2f xaxx(0)a.（1）若曲线()yf x在点(1,(1)Pf处的切线与直线2yx垂直，求函数()yf x的单调区间；（2）若对(0,)x 都有()2(1)f xa成立，试求实数a的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是(2,)，单调减区间是(0,2);（2）20ae.【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得 11f ，求导数，列方程，解a的值.再解导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即 21minf xa,利用导数确定函数 f x最小值2fa，最后解不等式221faa即得实数a的取值范围.试题解析：（1）直线2yx的斜率 1.函数 f x的定义域为0,，22afxxx，所以 22 1111af ，解得1a.所以 2ln2fxxx，22xfxx.由 0fx 解得2x；由 0fx 解得02x，所以 f x的单调增区间是2,，单调减区间是0,2.（2）2222aaxfxxxx，由 0fx 解得2xa；由 0fx 解得20 xa.所以 f x在区间2,a上单调递增，在区间20a，上单调递减，所以当2xa时，函数 f x取得最小值，min2yfa，第 15 页 共 15 页 因为对于0,x 都有 21f xa成立，所以只须221faa即可，即2lnaaa，解得20ae.