2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合14,0,2,4,6AxxB，则AB的子集个数为（）A1 B2 C4 D8【答案】C【分析】用交集定义求得交集AB中的元素，然后可得子集个数【详解】由已知0,2AB，共 2 个元素，因此其子集有 4 个 故选：C 2已知是第四象限的角，则点tan,cosP在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得tan0,cos0，可得答案【详解】根据题意，是第四象限角，则tan0,cos0，则点tan,cosP在第二象限,故选：B 3已知扇形AOB的周长为8cm，圆心角2radAOB，则扇形AOB的面积（）2cm A1 B2 C4 D6【答案】C【分析】求出扇形的半径，再用扇形的面积公式求面积.【详解】设扇形的半径为r，则弧长2lr，由题意知28rrr，所以2r，扇形的面积为142Slr2cm，故选：C.4冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQQ，其中0Q是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，e2.71828.试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.ln20.693 A267 B277 C287 D297【答案】B 第 2 页 共 15 页【分析】由0.0025001e2tQQ可得，0.00251e2t，求解整理可得ln20.0025t，代入数值，即可解出.【详解】令012QQ可得，0.0025001e2tQQ，即0.00251e2t，则有10.0025lnln22t，解得ln20.693277.20.00250.0025t.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.5“2”是“函数sin 2yx在0,2x上单调递增”的（）条件.A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当2 时，sin 2cos22yxx，0,2x时，02x，cos2xy 单调递增成立；当函数sin 2yx在0,2x上单调递增时，由2x知，当2,Z2k k 时，函数sin 2yx在0,2x上单调递增，故推不出2 成立，如32；综上，“2”是“函数sin 2yx在0,2x上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 6已知函数 21,0,0 xaxxf xxa x 在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为（）A0a B1a C01a D01a【答案】D【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解【详解】因为2221124aayxaxx 的对称轴为2ax，所以21yxax在,2a上单调递减，在,2a上单调递增，因为函数 21,0,0 xaxxf xxa x 在其定义域上单调递减，第 3 页 共 15 页 所以021aa，解得01a 故选：D 7关于x的不等式24160 xabx的解集为单元素集，且0,0ab，若不等式21122ttab恒成立，则实数t的取值范围为（）A13t B31t C1t 或3t D3t或1t 【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集求得4ab，由基本不等式求得11ab的最小值为 1，然后解不等式2221tt可得【详解】由已知2(4)640ab，又0,0ab，48ab，4ab，1111111()()(2)(22)1444aba babababbab a，当且仅当2ab时等号成立，所以11ab的最小值是 1，不等式21122ttab恒成立，则2221tt，2230tt，解得13t 故选：A 8定义域为R的函数 f x为偶函数，1f x为奇函数，且 f x在区间 0,1上单调递减，则下列选项正确的是（）A2312022log23fff B2132022log32fff C213log202232fff D231log202223fff【答案】B【分析】由条件证明函数为周期函数并确定函数的周期，利用周期函数的性质和偶函数的性质将函数值转化到同一区间，再利用单调性比较函数值大小.【详解】因为函数 f x为偶函数，所以 fxf x，因为函数1f x为奇函数，所以11f xfx ，故11f xf x，第 4 页 共 15 页 所以 43 12f xf xf xf x ，所以函数 f x为周期函数，周期为 4，所以 2022505 4220ffff ，311112222ffff ，222214loglog 32log 3log33ffff ，因为222410log 1loglog232，函数 f x在区间 0,1上单调递减，所以 2410log32fff，所以 2410log32fff ，所以2132022log32fff，故选：B.二、多选题 9下列函数中满足“对任意12,0,x x，都有 12120f xf xxx”的是（）A 21f xx B 1f xx C 22f xxx D 2logf xx 【答案】AC【分析】根据单调性定义可知 f x在0,上单调递增，根据一次函数、反比例函数、二次函数和对数函数性质依次判断各个选项中函数的单调性即可.【详解】对任意12,0,x x，都有 12120f xf xxx，fx在0,上单调递增；对于 A，由一次函数性质知：21f xx在0,上单调递增，A 正确；对于 B，由反比例函数性质知：1f xx在0,上单调递减，B 错误；对于 C，由二次函数性质知：f x对称轴为14x，则 f x在0,上单调递增，C 正确；对于 D，由对数函数性质知：2logyx在0,上单调递增，则 f x在0,上单调递减，D 错误.故选：AC.10下列命题为真命题的是（）A“2R,10 xxx ”的否定为“2R,10 xxx ”第 5 页 共 15 页 B若函数 f x的定义域为R，则“00f”是“函数 f x为奇函数”的必要不充分条件 C函数2(3)yx与函数3yx是同一个函数 D若方程210 xaxa在区间2,3上有实数解，则实数a的取值范围为1,2【答案】BD【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，“2R,10 xxx ”的否定为“2R,10 xxx ”，所以A 选项错误.B 选项，函数 f x的定义域为R，当 00f时，如 2,f xxf x是偶函数.当 f x为奇函数，则 00f，所以“00f”是“函数 f x为奇函数”的必要不充分条件，B 选项正确.C 选项，函数2(3)yx的值域为0,；函数3yx的值域是R，所以不是同一函数，C 选项错误.D 选项，21110 xaxaxxa，由于方程210 xaxa在区间2,3上有实数解，所以213,12aa，D 选项正确.故选：BD 11下列命题为真命题的是（）A若22abcc，则ab B若0ab，0m，则amabmb C若0abc，则2acbc D若0ab，则11abba【答案】ACD【分析】利用不等式的基本性质可判断 A 选项；利用作差法可判断 BD 选项；利用不等式的基本性质以及基本不等式可判断 C 选项.第 6 页 共 15 页【详解】对于 A 选项，若22abcc，则20c，由不等式的基本性质可得ab，A 对；对于 B 选项，若0ab，0m，则0am ba bmm baamabmbb bmb bm，所以，amabmb，B 错；对于 C 选项，因为0abc，则0c，所以，2acbcbc，C 对；对于 D 选项，若0ab，则0ab，0ba，则1110abababababbaabab，故11abba，D 对.故选：ACD.12设函数 2sin 36fxx，则（）A f x的最小正周期为2 B5,018是 f x的一个对称中心 C f x向左平移9个单位后为偶函数 D先将函数2sin 23yx的图象向右平移12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数 f x的图象.【答案】BCD【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性，图像平移对应解析式变化规律即可求解.【详解】2sin 36fxx，所以 f x的最小正周期为23T，故选项 A 错；552sin 32sin018186f，所以5,018是 f x的一个对称中心，所以选项 B 正确；f x向左平移9个单位后为 2sin 32sin 32cos3962f xxxx，所以函数为偶函数，所以选项 C 正确；先将函数2sin 23yx的图象向右平移12个单位后，函数变为2sin 22sin(2)1236yxx，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，变为32sin 22sin(2)2sin(3)123266yxxx，得到函数 f x的图象.故选项 D 正确；第 7 页 共 15 页 故选：BCD.三、填空题 13已知tan2，则221sinsin cos2cos的值为_.【答案】58【分析】2222221ssincosinsin cos2cossinsin cos2 osc，后利用sintancos可得答案.【详解】因22sincos1，则2222221ssincosinsin cos2cossinsin cos2 osc，又sintancos，则222222tan15sinsin cos2costantan28sincos.故答案为：58 14集合22,1,2Aaaa，若4A，则a_【答案】2【分析】分224aa和14a，并结合集合元素的互异性求解即可.【详解】解：因为4A，所以，若224aa，则可得3a 或 2，当3a 时，14a，不满足互异性，舍去，当2a 时，11a，满足题意;若14a，则3a ，此时224aa，不满足互异性，舍去；综上2.a 故答案为：2 15已知幂函数 f xx（为常数）过点4,2，则35f afa的最大值为_.【答案】2【分析】由已知可得 12f xx，代入可得3535f afaaa，35a，平方后根据a的取值范围即可求出答案.【详解】由已知可得42，所以12，所以 12f xx.则3535f afaaa，35a.第 8 页 共 15 页 因为2253535821aaaaaa 24122a，所以，当4a 时，235aa有最大值 4.所以352aa，所以35f afa的最大值为 2.故答案为：2.16已知函数 21 lnf xaxbxx，若 0f x 恒成立，则实数b的取值范围是_.【答案】1,【分析】设 21g xaxbx，则原题等价于01x时，0g x，而1x 时，0g x.当0a 时，根据二次函数的性质可得1ba，1()(1)lnf xa xxxa，分为a0和0a 结合1 ln0 xx即可得出1b；当0a 时，根据一次函数的性质分别解出1x 以及01x时b的范围，取交集可得1b.最后取并集即可得出结果.【详解】设 21g xaxbx，因为当01x时，ln0 x，而1x 时，ln0 x，但当0 x 时，0f x 恒成立，故01x时，0g x，而1x 时，0g x，当0a 时，因 21g xaxbx为二次函数，故 10g，0g x 的另一个实数解为1a，故11baa ，即1ba.此时 11g xa xxa，故1()(1)lnf xa xxxa，0a，因为1x 与ln x符号相同，所以1 ln0 xx恒成立.若a0，此时10a xa在0,上恒成立，故1()(1)ln0f xa xxxa在0,上恒成立，此时1b，若0a，当1,xa时，1()(1)ln0f xa xxxa恒成立，与题设矛盾，综上，1b；当0a 时，此时 1g xbx，第 9 页 共 15 页 但当0 x 时，0f x 恒成立，故01x时，0g x，而1x 时，0g x.当01x时，要使 0g x 恒成立，则应有 0010gg，即1010b，所以1b；当1x 时，要使 0g x 恒成立，显然0b，1g xbx在1,上单调递减，所以 110gb，即1b .所以，当0a 时，要使0 x 时，0f x 恒成立，应有1b.综上所述，b的取值范围为1,.又 10f满足，所以b的取值范围为1,.故答案为：1,四、解答题 17设全集U R，集合1,24AxxaBx x.(1)当4a 时，求UAB；(2)从下面三个条件中任选一个，求实数a的取值范围.ABA，ABB；UAB.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)2,14,6UAB(2)6a 【分析】(1)根据4a 得出|14Axx，然后求出集合A的补集，将集合B化简，然后利用交集的定义即可求解；(2)选可得AB，然后分A和A 两种情况进行讨论即可求解.选可得AB，后面同；选可得AB，后面同.【详解】（1）当4a 时，集合|14Axx，则,14,UA，又因为|24|26Bx xxx，则)2,14,6UAB(第 10 页 共 15 页（2）选，因为ABA，则AB，所以分A和A 两种情况：当A时，则有1a，当A 时，则有16aa，解得：16a，综上：实数a的取值范围为：6a.选，由ABB可得：AB，所以分A和A 两种情况：当A时，则有1a，当A 时，则有16aa，解得：16a，综上：实数a的取值范围为：6a.选，由UAB 可得：AB，所以分A和A 两种情况：当A时，则有1a，当A 时，则有16aa，解得：16a，综上：实数a的取值范围为：6a.18（1）化简：cossintan 223coscos2；（2）已知关于x的方程2502xxa的两个根为sin和cos，求sincos的值.【答案】（1）1；（2）32【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解；(2)根据同角三角函数基本关系式和完全平方公式即可求解.【详解】（1）原式cos(cos)(tan)sin(cos)cossin1sincos.（2）由题意可知5sincos,2sin cosa.又22sincos1，则1sin cos8.23(sincos)1 2sin cos4，即3sincos2.19某同学用“五点法”作函数 sin0,2fxAx在某一周期内的图象时，列表并填第 11 页 共 15 页 入的部分数据如下表：x 23 3 x 0 2 32 2 sinx 0 1 0 1 0 f x 0 0 1 0 (1)求函数 f x的解析式及函数 f x在0,上的单调递减区间；(2)若存在 2,03xfxm 成立，求m的取值范围.【答案】(1)1sin23fxx；,3；(2)12m.【分析】（1）根据给定的表格，求出,A，进而求出解析式及单调减区间作答.（2）求出函数 f x在区间2,3上的最小值，结合给定条件求出m范围作答.【详解】（1）由表格知，1A，20332，解得1,23，所以函数 f x的解析式为 1sin23fxx；当0,x时，5,2336x，由52236x得：3x，所以 f x在0,上的单调减区间为,3.（2）因为存在 2,03xfxm 成立，即 2,3xmf x 成立，由（1）知，1sin23fxx，当2,3x 时，26233x，因此当x 时，min1()2f x，则有12m，所以m的取值范围是12m.20已知函数 2logf xx.第 12 页 共 15 页(1)解关于x的不等式121xfx；(2)求函数 14,16162axg xffxx的最小值.【答案】(1)5,1,3 (2)答案见解析 【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解.【详解】（1）不等式可化为：21log21xx,所以 0141xx，即11513xxxx 或或,解得53x 或1x，所以不等式的解集为5,1,3.（2）22loglog416axg xx 22log4log2xxa 当1,162x时，2log1,4tx 则 42g ttta.若2a ，则 g t在1,4单调递减，则 g t的最小值为 40g.2a，当12a，即3a时，g t在1,4单调递增，则 g t的最小值为 15 1 2ga.当12a，即23a 时，g t在1,2a单调递减，在2,4a单调递增，则 g t的最小值为22(2)gaa.综上：当2a 时，min()40g tg;当23a 时，2min()2(2)g tgaa;当3a时，min()15 12g tga.第 13 页 共 15 页 21已知函数 ee2xxafx为偶函数，其中e是自然对数的底数，e2.71828.(1)证明：函数 yf x在0,上单调递增；(2)函数 2,0g xm fxf xm，在区间0,ln2上的图象与x轴有交点，求m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)10,117 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明求解；（2）根据图象与x轴有交点，可得函数有零点，即对应方程有根，利用换元法数形结合求解.【详解】（1）由于 f x是偶函数，则 fxf x，代入化简得1ee0 xxa 故1a，当1a 时，ee2xxf x 设任意的120 xx，则 112212eeee22xxxxfxfx 1212121e1ee2e exxxxxx，当120 xx时，1212ee0,e10 xxxx，则 120f xf x 即 12f xf x，故函数 yf x在0,上单调递增.（2）22eeee22xxxxg xm，令eexxt，由（1）知 ee2xxf x在0,上单调递增.所以eexxt在0,上单调递增，则52,2t，因为222ee2xxt，所以 22022ttg xm有解，则12tmt 在52,2t上有解，又因为函数2ytt 在52,2t上单调递增，所以2171,10tt，所以1171,10m故m的取值范围为10,117 22定义在R上的奇函数,10,1,xxxf xax 其中0,1aa，且 1ef，其中e是自然对数的底数，e2.71828.第 14 页 共 15 页(1)当0 x 时，求函数 f x的解析式；(2)若存在210 xx，满足 21ef xf x，求 12xf x的取值范围.【答案】(1),01,()e,1xxxf xx；(2)210,e,e 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；（2）由函数解析式，根据x的范围分类讨论：1201xx，1201xx，121xx，分别得出12,x x的关系，把12()x f x化为1x的函数，从而得其范围【详解】（1）1e,ff x是奇函数 1efa ，则ea.当01x时，10,xfxx 又 f x是奇函数，则 f xx 当1x时，1,exxfx 又 f x是奇函数，则 exf x 因为 f x是定义在R上的奇函数，则 00f.故,01,()e,1xxxf xx,（2）若1201xx，则由 21ef xf x，有21exx，且110 xe，从而有 2121211e0,exfxxxx 若1201xx，则由 21ef xf x，有21eexx，而21ee,eexx 所以等式不成立.若121xx，则由 21ef xf x，有211eexx，即211xx，且11x 从而有 21121211eeexxxf xxx 综上：12xf x的取值范围为210,e,e 第 15 页 共 15 页