2023届天津市南开中学高三上学期第三次月考数学试卷(含答案).pdf
天津市南开中学 2023 届高三第三次月考 一、选择题 1设i为虚数单位，则复数21 iz的虚部是（）Ai B1 Ci D1 2集合2|4Ax x，|51Bxx，则RAB=（）A|52xx B|22xx C|21xx D|21xx 3已知直线1:120laxay，2:22110la xay，则1a是12/ll的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4623xx展开式中的常数项是（）A135 B135 C1215 D1215 5已知2log3a，0.42b，1313c，则,a b c的大小关系是 Abac Bacb Cabc Dbca 6将函数2sin 23fxx的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移6个单位，得到函数g x的图象，则下列说法正确的是（）Ag x的图象关于点7,024对称 Bg x的图象关于直线6x对称 Cg x过点,28 Dg x在区间0,24上单调递增 7设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，C上一点B，满足直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在,F M之间，若2FBBM，且点B到抛物线准线的距离为43，则点M的纵坐标为（）A1 B2 C32 D3 8已知双曲线H：222210,0 xyabab的右焦点为F，关于原点对称的两点,A B分别在双曲线的左右两支上，0AF FB，32BFFC，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A2 B375 C102 D2 33 9已知函数 3,42,4,26.6xxxfxxxx 若方程 20f xax有 5 个不等实根，则实数a的取值范围是（）A21,43 B11,34 C12,34 D21,43 二、填空题 10某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_ 11一批产品分为一，二，三 3 个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则1533P_ 12等差数列 na中，31a，5672aaa，则数列cosna的前 2023 项和为_.13已知,a b都是正数，则222ababab的最小值是_ 14已知圆C的圆心为2,1C，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420lxy与C交于,A B两点，120ACB，则实数_ 15如图，在ABC中，,23BAB，点M满足13AMAC，43BM AC，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则OA ON的最小值是_ 三、解答题 16在ABC，中，记角A，B，C的对边分别为,a b c，已知cos3sinacCCb(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且4,2 7,6ADBDAB，求ABC的面积.OMCBA 17如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，,3ABBC ADBC AD，2,1,3PABCABPB (1)求证：PB平面ABCD；(2)求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；(3)若点E在棱PA上，且/BE平面PCD，求线段BE的长.18已知椭圆C中心在原点，右焦点2,0F，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A和2A，B为椭圆位于第二象限的一点，在y轴上存在一点N，满足BFNF，设12A A B和1A FN的面积分别为1S和2S，当12:3:2SS时，求直线1A B的斜率.19已知公差不为零的等差数列 na，nb为等比数列，且满足11ab，442ba，2352bba，248,a a a成等比数列.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nT，若不等式*942nnnTnN恒成立，求实数的取值范围 20已知函数 esinxfxkx.（1）当1k，0,2x时，求f x的单调区间；（2）若f x在区间0,2内存在极值点.求实数k的取值范围；求证：f x在区间0,内存在唯一的，使 1f，并比较与 2的大小，说明理由.一、选择题 BDABCDDBA 二、填空题 10、30 11、47 12、12 13、4 213 14、1或11 15、2936 三、解答题 16、（1）因为cos3sinacCCb，由正弦定理可得sincos3sinsinsinsinBCBCAC，因为 AB C，所以sinsinsincoscossinABCBCBC，所以3sinsincossinsinBCBCC，因为0C，则sin0C，所以3sincos1BB，即3sincos1BB，故2sin16B，又0B，所以66B，故3B.（2）在ABD中由余弦定理可得，2221cos22ABADBDAAB AD，0A，60AABC是等边三角形，所以113sin6 69 3222ABCSAB BCB ，即ABC的面积是9 3 17(1)略（2）解：在PAB中，因为2,3,1PAPBAB，所以222PAABPB，所以PBAB 所以，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示 所以(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)ABCDPCDPC，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n 设平面PCD的一个法向量为(,)mx y z，则=0=0m CDm PC，即=2=3x yyz，令=2z，则(3,3,2)m 则210cos,5|334n mn mnm，即平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值为105（3）解：因为点 E 在棱PA，所以,0,1AEAP 因为(1,0,3)AP 所以(,0,3),(1,0,3)AEBEBAAE 又因为BE平面PCD，m为平面PCD的一个法向量，所以0BE m，即3(1)+2 3=0，所以13 所以23,0,33BE，所以7|3BEBE 18（1）椭圆方程2211612xy（2）设直线1A B的方程为4xmy，显然0m，联立2243448xmyxy223424mymy，所以2222224241216,4343434BBmmmyxmmm，所以22222443412164234BFmmmkmmm，设0,Nu，所以2244422mumumm，根据题意，12:3:2SS24222424423628910448023493mmmmmmmm，所以所求直线斜率为32 19(1)2,2nnnan b(2)1222nnnnannb，则23123412222nnnT，23111231222222nnnnnT，2311111111221212222222212nnnnnnnnnT，1242nnnT，*942nnnTnN恒成立，则192544222nnnnnn恒成立，令 52nnf n，则 114561222nnnnnnf nf n，12678fffff，1()6764maxf nff，164，故实数的取值范围是164，+20(1)cos,0,2exfxx x，sin0exfxx，所以 fx在0,2 00fxf，所以f x在0,2单调递增（2）()ecosxfxkx，又()0f，则ecosk且(0,)2，2e(cossin)0cosk，即k在(0,)2上递增，故1k，当1k 时，在(0,)2x上()esin0 xfxkx，即()fx递增，又(0)10fk，()e0fk，(0,)上()0fx，(,)2上()0fx，则()f x在(0,)上递减，在(,)2上递增，()f x在处取极小值，符合题设.1k.要证在0,内存在唯一的使 1f，只需证()esin1xg xkx在0,上有唯一零点，()ecosxg xkx，由（1）知：()g x在(0,)上递减，在(,)2上递增，又,)2x时，()ecos0 xg xkx，即()g x在,)2上递增，综上，()g x在(0,)上递减，在(,)上递增，而(0)0()gg，()e10g，()g x在(0,)无零点，在(,)上存在一个零点，故存在唯一0,使()0g.由知：ecos1k，22(2)esin 21e2sine1e(e2sin)1gk ，令2e2si()n e1xxh xx且(0,)2x，则e e(cossin)2()xxxhxx，令e(cossin)xyxx，则显然esincos0 xyxx，则y递增，0y，即()0h x，故()h x在(0,)2x上递增，则 00h xh，在(0,)2有(2)0g，即有(2)()0gg，又()g x在(,)上递增且2，2.
