2023届天津市南开中学滨海生态城学校高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页 2023 届天津市南开中学滨海生态城学校高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知全集1,0,1,2,3U ，集合0,1,2A，1,0,1B ，则UAB A 1 B 0,1 C1,2,3 D1,0,1,3【答案】A【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】=1,3UC A，则 1UC AB 故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2设xR，则“11|22x”是“31x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x111222x01x，由31x 1x.据此可知1122x是31x 的充分而不必要条件.本题选择 A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3已知2sin55，则sin 210（）A4 2125 B4 2125 C1725 D1725 第 2 页 共 18 页【答案】D【分析】结合2221052，利用诱导公式和二倍角公式即可求解【详解】因为2sin55，所以25sci2n217o5s1252，所以22sin 2sin2cos 210525 1725，故选：D 4函数 3sinxxxxfxee的图象大致是（）A B C D【答案】A【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除 C，D；然后利用特殊值，取x，可排除 B.【详解】定义域为R，定义域关于原点对称，33sinsinxxxxxxxxfxeeee，f x是奇函数，排除 C，D；当x时，33sin0fxeeee，排除 B；故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.5已知等比数列 na满足12a，23564aaa，则3a的值为（）A14 B12 C1 D2 第 3 页 共 18 页【答案】C【解析】根据23564aaa，利用等比数列的性质求得2q，再利用通项公式求解.【详解】在等比数列 na中，12a，23564aaa，所以46224aa，所以4211,42qq，所以2311aa q，故选：C 6设0.3113211log 2,log,32abc，则,a b c大小关系为（）Aacb Babc Cbac Dbca【答案】A【分析】根据函数单调性及中间值比大小.【详解】因为 13logfxx，12logg xx，0.312h x在定义域上单调递减，故1133log 2log 10a，112211loglog132b，0.30110122c，所以acb.故选：A 7已知函数()sin()(R,0,0,)2f xAxxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A直线x 是()f x图象的一条对称轴 B()f x图象的对称中心为(,0)12k，Zk 第 4 页 共 18 页 C()f x在区间,3 6上单调递增 D将()f x的图象向左平移12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【答案】C【分析】由已知图象求得函数解析式，将x 代入解析式，由其结果判断 A;求出函数的对称中心可判断 B;当,3 6x 时，2,62 2x，结合正弦函数的单调性判断 C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断 D.【详解】由函数图象可知，2A,最小正周期为54()126T ，所以22，将点(,2)6代入函数解析式中，得：22sin()3，结合2，所以6，故()2sin(2)6f xx，对于 A，当x 时，()2sin(2)16f，故直线x 不是()f x图象的一条对称轴，A 错误;对于 B，令()2sin(2)06f xx，则2,Z,Z6122kxk kxk ，即()f x图象的对称中心为(,0)122k，Zk，故 B 错误；对于 C，当,3 6x 时，2,62 2x，由于正弦函数sinyx在,2 2上递增，故()f x在区间,3 6上单调递增，故 C 正确；对于 D，将()f x的图象向左平移12个单位长度后，得到()2sin2()2sin(2)1263g xxx的图象，该函数不是奇函数，故 D 错误；故选：C 8已知定义在0,上的函数 f x满足 22+0 xf xx fx，324f，则关于x的不等式 23f xx的解集为（）A0,4 B2,C4,D0,2【答案】D【分析】构造函数 2h xx f x，得到函数 h x的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】令 2h xx f x，则 220h xxf xx fx，所以 h x在0,单调递减，第 5 页 共 18 页 不等式 23f xx可以转化为 2234224x f xf，即 2h xh，所以02x.故选：D.9已知定义在 R上的函数 2ln,1,1x xf xxx x，若函数 g xf xmx恰有 2 个零点，则实数 m的取值范围为（）A 1,10,e B 1,10,1e C 11,0,1ee D 11,01,e 【答案】D【分析】把函数 g xf xmx恰有 2 个零点转化为 yf x和ymx 有两个交点.利用图像法解.【详解】因为函数 g xf xmx恰有 2 个零点，所以 yf x和ymx 有两个交点.作出函数 2ln,1,1x xf xxx x的图像如图所示：因为0 x 时，yf x和ymx 相交，所以只需 yf x和ymx 再有一个交点.22ln,1.,01,0 x xf xxxxxx x.当0 x 时，若 2f xxx与ymx 相切，则有2xxmx 的判别式2100m，此时1m.当01x时，若 2f xxx 与ymx 相切，则有2xxmx 的判别式2100m，此时1m.当1x 时，若 lnf xx与ymx 相切，设切点为,a b.第 6 页 共 18 页 则有ln1bmabama ，解得：e11eabm.所以要使函数 g xf xmx恰有 2 个零点，只需1m 或11em 或0m，解得：11em 或0m 或1m.故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、填空题 102212lg5lg2log54_【答案】3【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】221222lg5lg2loglg25lg4lg254lg1041435455 ,故答案为：3.11若复数3i12ia是纯虚数，则实数a的值是_.【答案】6【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于0，虚部不等于0即可求解.【详解】因为3i1 2i632i3i632i12i12i1 2i555aaaaaa是纯虚数，所以6053205aa，解得6a ，故答案为：6.12设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取 1 件，已第 7 页 共 18 页 知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_【答案】1419【分析】方法 1：由条件概率公式()(|)()P ABP B AP A计算可得结果.方法 2：由条件概率公式()(|)()n ABP B An A计算可得结果.【详解】设事件 A 表示“取得合格品”，事件 B 表示“取得一等品”，由已知得：BA，ABB，方法 1：取得的是合格品，它是一等品的概率为：70()14100(|)95()19100P ABP B AP A 方法 2：取得的是合格品，它是一等品的概率为：()7014(|)()9519n ABP B An A 故答案为：1419.13已知函数 5cos6fxx0在0,4上有且仅有 2 个零点，则实数的取值范围为_.【答案】16 28,33【分析】令 0f x，解得43kxkZ，然后根据 f x在0,4上有且只有 2 个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令 0f x，则562xkkZ，解得43kxkZ，因为 f x在0,4上有且只有 2 个零点，所以434734，解得162833.故答案为：16 28,33.三、双空题 14已知函数 3223xxf xxx，若正数 a、b 满足2110faf b，则2ab_，22211abab的最小值为_.【答案】2 94【分析】分析出函数 f x为R上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出22ab，将所求不等第 8 页 共 18 页 式变形得出22212111ababab，然后再利用基本不等式可求得结果.【详解】函数 3223xxf xxx的定义域为R，33223223xxxxfxxxxxf x ，故函数 f x为奇函数，因为函数12xy、22xy、33yx、3yx均为R上的增函数，故函数 f x为R上的增函数，由2110faf b可得2111faf bfb，21 1ab ，可得22ab，则214ab，所以，22221121121214111aabbabababab 212121121121292155214141414aabbabababbaba.当且仅当13a，43b 时，等号成立，所以，22211abab的最小值为94.故答案为:2；94.15已知函数 21,0,0exxxf xxx，若 g xf xa恰有 2 个零点，则实数 a的值为_，若关于 x的方程 22210fxf xm 恰有 4 个不同实数根，则实数 m 的取值范围为_.【答案】1；112mm【分析】先利用导数研0 x 的 f x的图象，再作出 f x的图象,g xf xa恰有 2 个零点，则 yf x与ya有 2 个交点，数形结合即可得实数 a 的值;若关于 x的方程 22210fxf xm 恰有 4 个不同实数根，令 tf x，通过分析可得 22210h tttm 有 2 个不等根12,t t,且11,t，20,1t，再数形结合即可建立m的不等式组，即可求解【详解】当0 x 时 1exxf x，则 11exxfx，11f，令 0fx，解得1x，所以当0,1x时，0fx,f x单调递增，1,x时，0fx,f x单调递减,再根据题意可作出 f x的图象如下:第 9 页 共 18 页 若 g xf xa有 2 个零点,则 yf x与ya有 2 个交点，数形结合可知1a;若关于 x的方程 22210fxf xm 恰有 4 个不同实数根，令 tf x，则 22210h tttm 有两个不等实数根12,t t，故1yt，2yt与 f x都有 2 个交点或者1yt与 f x仅 1 个交点，2yt与 f x有 3 个交点；当1yt，2yt与 f x都有 2 个交点，根据图象可得121tt，不满足12tt，舍去；当1yt与 f x仅 1 个交点，2yt与 f x有 3 个交点，则 101,t，20,1t，当10t 时，210m，解得12m，故 220h ttt，解得10t 或220,1t，舍去；故 222211220h tttmtm 两个实数根的范围为11,t，20,1t，所以 12200210hmhm 解得112m，所以实数 m的取值范围为112mm，故答案为：1；112mm【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到1yt与 f x仅 1 个交点，2yt与 f x有 3 个交点，并通过分析得到11,t，20,1t 四、解答题 16已知 a，b，c分别为ABC三个内角 A，B，C的对边，且22 cosbcaC.(1)求 A；(2)若3cos3B，求sin 2BA的值；(3)若ABC的面积为4 33，3a，求ABC的周长.【答案】(1)3；第 10 页 共 18 页(2)2 236；(3)8.【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到1cos2A，即可得到A；（2）利用二倍角公式得到2 2sin23B，1cos23B ，然后利用和差公式得到sin 2sin2 coscos2sinBABABA，最后代入即可；（3）利用面积公式得到163bc，利用余弦定理得到229bcbc，两式结合可得5bc，然后求周长即可.【详解】（1）根据正弦定理得，2sinsin2sincos2sinsin2sincosBCACACCAC 2sincos2sincossin2sincosACCACAC2sincossinCAC，0,C，sin0C，则1cos2A，0,A，3A.（2）3cos3B,0,2B，236sin133B，2 2sin22sincos3BBB，21cos22cos13BB ，sin 2sin2 coscos2sinBABABA 2 21133232 2 236.（3）ABC面积为4 33，且3a，134 3sin243bcbcA，整理得163bc，根据余弦定理可得，222222cos9abcbcAbcbc，联立，可得5bc，所以周长为 8.17如图,正三棱柱111ABCABC中,E是AC中点 第 11 页 共 18 页 (1)求证:1AB平面1BEC;(2)若2AB,12AA,求点A到平面1BEC的距离;(3)当1A AAB为何值时,二面角1EBCC的正弦值为105？【答案】(1)证明见解析(2)63(3)1 【分析】(1)连接1CB交1BC于点F,连接EF,根据中位线即可证明1EFAB,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BECABESS,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A长度,找到平面1EBC及平面1BC C的法向量,建立等式,求出1,AB A A长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB交1BC于点F,连接EF如图所示:因为三棱柱111ABCABC,所以四边形11BBC C为平行四边形,所以F为1CB中点,因为E是AC中点,所以1EFAB,第 12 页 共 18 页 因为EF 平面1BEC,1AB 平面1BEC,所以1AB平面1BEC;（2）由题知,因为正三棱柱111ABCABC,所以1CC 平面ABC,且ABC为正三角形,因为2AB,12AA,所以3BE,13EC,16BC,所以1BEC为直角三角形,1133322BECS,131322ABES,记点A到平面1BEC的距离为h,则有11A BECCABEVV,即111133BECABEShSCC,即131323232h,解得63h,故A到平面1BEC的距离为63;（3）由题,取11AC中点为H,可知1EHCC,所以EH 平面ABC,因为ABC为正三角形,E是AC中点,所以BEAC,故以E为原点,EC方向为x轴,EH方向为y轴,EB方向为z轴建立如图所示空间直角坐标系,第 13 页 共 18 页 不妨记1ABa,A Ab,所以130 0 00 000 0222aaaE,B,b,CC,1133,0,0,0,0222,aaabEBbBCCC,记平面1EBC的法向量为111,xny z,则有100n BCn EB,即11113022302aaxbyzaz,取12xb,可得2,0ban;记平面1BC C的法向量为222,mxyz,则有1100n CCn BC,即222203022byaaxbyz,取23x,可得3,0,1m;因为二面角1EBCC的正弦值为105,所以cos,m nm nm n 222 342bba 第 14 页 共 18 页 21015 155,解得:ab,即当11A AAB时,二面角1EBCC的正弦值为105.18如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率为32，短轴长是 2 (1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线1l，2l，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N设1l的斜率为k（0k），DMN的面积为S，当169Sk，求k的取值范围【答案】(1)2214xy(2)20k或02k 【分析】（1）根据离心率和短轴长求出,a b，可得椭圆C的方程；（2）写出直线1l和2l的方程，并与椭圆方程联立求出,M N的坐标，求出|DM和|DN，求出直角三角形的面积S，代入169Sk，解不等式可得结果.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意可得2223222cababc，解得213abc，所以椭圆C的方程为2214xy.（2）由（1）知，椭圆C的方程为2214xy，(0,1)D，第 15 页 共 18 页 所以直线1:1lykx(0)k，21:1lyxk，设11(,)M x y，22(,)N xy，联立22141xyykx，消去y并整理得221408()kxkx，所以12814kxk，所以2128114kyk，所以24221122226464|(1)(14)(14)kkDMxykk228|11 4kkk，联立221411xyyxk，消去y并整理得22(4)80kxkx，所以2284kxk，所以22814yk，所以2222222226464|(1)(4)(4)kDNxykk22814kk,所以1|2SDMDN2218|1214kkk22814kk22232|(1)(14)(4)kkkk，由169Sk，得22232(1)16(14)(4)9kkk，整理得424140kk，得2724k，又20k，所以202k，所以20k或02k.19已知数列 na是等差数列，其前 n项和为nS，715a，763S；数列 nb的前 n项和为nT，233nnTbnN.(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)求数列2nS的前 n项和nQ；(3)求证；12niiiaT.【答案】(1)21nan，3nnb；(2)323212nnn；(3)证明见解析.第 16 页 共 18 页 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得123da，即可得到na，利用2n时，1nnnTTb，得到数列 nb为等比数列，然后求nb即可；（2）根据（1）得到2112nSnn，然后利用裂项相消的方法求和即可；（3）利用放缩的方法得到213nnnanT，然后用错位相减的方法求和，得到2223nnnB，即可证明12niiiaT.【详解】（1）设数列 na的公差为d，则1161572163adad，解得123da，21nan，由233nnTb可得，当1n 时，1112233Tbb，则13b，当2n时，11233nnTb，相减得，1233nnnbbb，整理得13nnbb，所以数列 nb为等比数列，3nnb.（2）由（1）可得，22211122322nn nSn nnnn，所以111111111132435112nQnnnn 1111212nn 323212nnn.（3）由（1）可得，2 21213 313 313 1nnnnnanT，又111312 3312 3nnnn ，12 21213 2 33nnnnnanT，设123521333nnnB，则231135213333nnnB，两式相减得，2312111211233333nnnnB 2111112133121313nnn 142433nn，第 17 页 共 18 页 2223nnnB，12niniiaBT.20已知函数 elnxf xax，Ra.(1)当0a 时，若曲线 yf x与直线ykx相切，求 k的值；(2)当ea 时，证明：ef x；(3)若对任意0,x，不等式 ln2ln 2f xaxaa恒成立，求 a的取值范围.【答案】(1)e；(2)证明见解析；(3)e02,.【分析】（1）设切点坐标为00,exx，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到k；（2）证明 ef x 即证明 minf xe，然后求导，利用单调性求最值，即可证明 ef x；（3）将不等式 ln2ln 2f xaxaa转化为ln 2lnln 2lnxaxxaxee，然后构造函数 exg xx，根据 g x的单调性得到ln 2lnxax恒成立，即 minlnln 2xxa，构造函数 lnt xxx，根据 t x的单调性得到 min1t x，然后代入解不等式即可.【详解】（1）当0a 时，exf x，则 xf xe，设切点坐标为00,exx，则000eexxkkx，解得01exk，所以ek.（2）当ea 时，eelnxf xx，定义域为0,，xxxfxxxee-ee，令 exh xx，则 1 exh xx，当0 x 时，0h x，则 h x在0,上单调递增，又 10f，所以当1x 时，0fx，01x时，0fx，所以 f x在0,1上单调递减，1,上单调递增，所以 min1ef xf，则 ef x.（3）由题可知，0a，则不等式 lnln2ln 2xaxaxaae恒成立，第 18 页 共 18 页 即 2 ln2ln 2xaxaae，即ln 2lnln 2xaxae，即ln 2ln 2lnxaxaxxe，即ln 2lnln 2lnxaxxaxee在0,上恒成立，令 exg xx，易知 g x在0,上单调递增，所以ln 2lnxax在0,上恒成立，即 minlnln 2xxa，令 lnt xxx，则 111xtxxx，当1x 时，0tx，当01x时，0tx，所以 t x在0,1上单调递减，1,上单调递增，则 min11t xt，所以1ln 2a，解得e2a，所以a的取值范围为e02,.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）af x恒成立 maxaf x；（2）af x恒成立 minaf x.