2022年江苏省南京市中考数学冲刺模拟试卷1含答案解析.pdf

2022 年南京市中考数学冲刺模拟试卷（1）一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1比2 大 3 的数是（）A5 B1 C1 D5 2下列各式计算正确的是（）A5510 xxx B109aaa C4416abab D6424aaa 3计算638的结果是（）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 4普通火车从绵阳至成都历时大约 2 小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了 80 分钟和 20 分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍 A2 B2.5 C3 D4 5演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A平均数 B中位数 C众数 D方差 6如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，将BCD 沿射线 BD 平移 a 个单位长度（a0）得到BC D ，连接AB，AD，则当ABD 是直角三角形时，a 的值为（）A75 B165 C75或165 D75或 3 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上)7计算：|33|11()3_ 8化简222xxx的结果是_ 9若使代数式3xx有意义，则x的取值范围是_ 10若一次函数 ykx+2 的图象，y 随 x 的增大而增大，并与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为 2，则 k_ 11已知点,P a b为直线7yx与双曲线5yx 的交点，则11ba的值等于_ 12已知直线ab，用一块含 30角的直角三角板按图所示的方式放置，若123，则2_ 13如图，将等腰直角ABC 绕底角顶点 A 逆时针旋转 15后得到ABC，如果 AC=1，那么两个三角形的重叠部分面积为_ 14 如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF，已知6AB，8AC，10BC，若以B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，那么CF的长度是_ 15如图，正方形ABCD的边长为 2，将正方形ABCD绕点 A 逆时针旋转角0180得到正方形ABCD ，连接D C，当点B恰好落在线段D C上时，线段D C的长度是_（结果保留根号）16如图，在四边形ABCD中，2 3ADCD，6CBAB，90BADBCD，点E在对角线BD上运动，O为DCE的外接圆，当O与四边形ABCD的一边相切时，其半径为_ 三、解答题(本大题共 11 小题，共 88 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)17.（7 分）解不等式组：8(1)5171062xxxx，并将其解集在数轴上表示出来 18.（7 分）解方程：2315xx 19.（7 分）计算：（a+1）（a3）（a2）2 20.（8 分）如图，O的直径为AB，点 C 在O上，点 D，E 分别在AB，AC的延长线上，DEAE，垂足为 E，CD与O相切于点 C (1)求证：ACDE；(2)若4AB，3BD，求CD的长 21.（8 分）为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，某市加大了预防诈骗的宣传工作 为了了解学生预防诈骗的意识情况，某校开展预防诈骗知识问卷调查活动，问卷共 10 道题，每题 1 分，共 10分（满分为 10 分），随机抽取了 40 名同学的问卷得分，根据获取的问卷得分情况制作了如图所示的统计图：根据以上信息，回答下列问题：(1)扇形统计图中，m 的值为_，本次所抽取的这 40 名同学的问卷得分的众数为_分，中位数为_分；(2)求本次所抽取的这 40 名同学的问卷得分的平均数；(3)若该校共有学生 600 人，请估计问卷得分为满分的学生有多少名？22.（8 分）甲乙两盒中各有 3 张卡片，卡片上分别标有数字-7、-1、3 和-2、1、6，这些卡片除数字外都相同把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取 1 张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标(1)请用树状图或表格列出这样的点所有可能的坐标；(2)计算这些点落在第三象限的概率 23.（8 分）如图，在ABC 中，90BAC，BD 平分ABC (1)利用直尺和圆规在 BC 上找一点 E，使得2CDCE CB（保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若3BA，30C，求 CE 长 24.（8 分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点 P 处测得正前方水平地面上某建筑物 AB 的顶端 A 的俯角为 30，面向 AB 方向继续飞行 5 米，测得该建筑物高端 B 的俯角为 45，已知建筑物 AB 的高为 3 米，求无人机飞行的高度（结果精确到 1 米，参考数据：21.414，51.732）25.（8 分）如图，一次函数 yx2 与反比例函数 ykx（x0）的图象交点的横坐标是 4，点 P（m，n）在第一象限内，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交一次函数图像于点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交反比例函数的图象于点 N (1)求 k 的值；(2)当 m4，n=2 时，PMN 能否为等腰三角形，若能出 P 点坐标，若不能，请说明理由；(3)若 m=n，且 PMPN，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围 26.（10 分）【问题提出】(1)如图1，已知线段AB4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是_；【问题探究】(2)如图 2，以正方形 ABCD 的边 CD 为直径作半圆 O，E 为半圆 O 上一动点，若正方形的边长为 2，求 AE长度的最大值；【问题解决】(3)如图 3，某植物园有一块三角形花地 ABC，经测量，AC203米，BC120 米，ACB30，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在 BC 下方找一点 P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿 AP 修一条小路，以便游客观赏考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC 需满足BPC60为容纳更多游客，要求小路 AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路 AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出 AP 的最大长度；若不存在，请说明理由 27.（9 分）已知抛物线 yx2xm2m(1)求证：抛物线与 x 轴必定有公共点；(2)若 P（a，y1），Q（2，y2）是抛物线上的两点，且 y1y2求 a 的取值范围；(3)设抛物线与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴负半轴交于点 C，且|x1|+|x2|3，若点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，连接 CD、DB，DBC 面积是否存在最大值，若存在，求点 D的坐标，若不存在说明理由 2022 年南京市中考数学冲刺模拟试卷（1）一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1比2 大 3 的数是（）A5 B1 C1 D5【答案】C【解析】解：根据题意得：-2+3=1故选：C 2下列各式计算正确的是（）A5510 xxx B109aaa C4416abab D6424aaa【答案】B【解析】解：Ax5+x5=2x5，故 A 不符合题意；Ba10a9=a，故 B 符合题意；C（ab4）4=a4b16，故 C 不符合题意；Da6a4=a10，故 D 不符合题意；故选：B 3计算638的结果是（）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间【答案】D【解析】解：638 3 22 2 5 2 50，495064，即 7500）得到BC D ，连接AB，AD，则当ABD 是直角三角形时，a 的值为（）A75 B165 C75或165 D75或 3【答案】C【解析】：当DAB=90时，如图所示：分别过点 B、D作 BMAB，DNAB，AB=4，BC=3，且B MAD，BMBDAB，34B MDAMBAB，设 BM=3k，MB=4k，则 BB=a=5k，AM=ABBM=44k，N=BMA=C=90，四边形 CDNM 为矩形，DN=CM=CB+BM=3+3k，MN=CD=4，NA=NMAM=4(44k)=4k，DAB=90，BAM+DAN=DAN+ADN=90，BAM=ADN，RtDANRtABM，ANB MD NAM，43(0)3344kkkkk，解得725k 755BBak；当DBA=90时，如图所示：AB=4，AD=3，在 RtABD 中，2222435BDABAD，ABBD，ABBDBA，ABBBDBBA，454BB，165BBa，在平移过程中，ADB90，综上所述，当ABD为直角三角形时，a 的长为：75或155，故选：C 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上)7计算：|33|11()3_【答案】3【解析】解：原式333，3 故答案为：3 8化简222xxx的结果是_【答案】42x 【解析】解：222xxx 2222xxxx 2242xxx 42x 故答案为：42x 9若使代数式3xx有意义，则x的取值范围是_【答案】x3 且 x0【解析】解：要使代数式3xx有意义，则有：300 xx，解得3x 且0 x 10若一次函数 ykx+2 的图象，y 随 x 的增大而增大，并与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为 2，则 k_【答案】1【解析】解：如图，令 x=0，则 y=2，A(0，2),OA=2 令 y=0，则2xk，B(2k，0)一次函数 ykx+2 的图象，y 随 x 增大而增大，k0，OB=2k，一次函数 ykx+2 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为 2，122OA OB，即12222k，解得：1k 故答案为：1 11已知点,P a b为直线7yx与双曲线5yx 的交点，则11ba的值等于_【答案】75【解析】解：点 P（a，b）为直线 y=x-7 与双曲线5yx 的交点，b=a-7，b=-5a，a-b=7，ab=-5 11ba=77-55abab=-2 故答案是：75 12已知直线ab，用一块含 30角的直角三角板按图所示的方式放置，若123，则2_ 【答案】37【解析】解：过A作直线ABa，如图所示：ab，ABab，13，24，在含 30角的直角三角板中，3460 ，1260 ，123，2602337，故答案为：37 13如图，将等腰直角ABC 绕底角顶点 A 逆时针旋转 15后得到ABC，如果 AC=1，那么两个三角形的重叠部分面积为_ 【答案】36【解析】解：设 BC与 AB 相交于点 D，在等腰直角ABC 中，BAC=45，旋转角为 15，CAC=15，CAD=BAC-CAC=45-15=30，AD=2CD，在 RtACD 中，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2，即 12+CD2=4CD2，解得 CD=33，重叠部分的面积=12133=36 故答案为：36 14 如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF，已知6AB，8AC，10BC，若以B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，那么CF的长度是_ 【答案】254或407【解析】解：ABC沿EF折叠B和B重合，BFBF，设BFx，则10CFx，当BFCABC B FCABC时，B FCFABBC，6AB，10BC，10610 xx，解得：154x，则25104CFx；当FB CABC 时，B FFCABAC，即1068xx，解得：307x，则40107CFx，故254CE 或407CE 故答案是：254或407 15如图，正方形ABCD的边长为 2，将正方形ABCD绕点 A 逆时针旋转角0180得到正方形ABCD ，连接D C，当点B恰好落在线段D C上时，线段D C的长度是_（结果保留根号）【答案】62【解析】解：如图所示，连接 AC，连接AC交CD于 O，四边形 ABCD 和四边形AB C D都是正方形，=90AODAOC,B=90，AB=BC=2，AOD O，22=2 2ACABBC，由旋转的性质可得2ADAB，2224AOODAD，224AO，2AOD O，226OCACAO，=62CDOCOD，故答案为：62 16如图，在四边形ABCD中，2 3ADCD，6CBAB，90BADBCD，点E在对角线BD上运动，O为DCE的外接圆，当O与四边形ABCD的一边相切时，其半径为_ 【答案】2 或10 36 6或3【解析】解：在四边形ABCD中，2 3ADCD，6CBAB，90BADBCD，3tantan3ABDCBD，30,60ABDCBDADBCDB ，当O与四边形ABCD的AD边相切时，连接 OD，过点 O 作 OMCD 于点 M，如图所示：ODAD，即ADO=90，132DMCD，ODM=ADC-ADO=30，2cosDMODODM，即O的半径为 2；当O与四边形ABCD的AB边相切于点 G 时，作 OFCD于点 F，并延长，交 AD 的延长线于点 P，交 AB 于点 N，如图所示：NFBC，132DFCD，60ANFABC，30PGON，22 3DPDF，3tanDFFPP，4 3AP，8cosAPNPP，NF=5，设OGODr，则有2 3cos3OGONrGON，2 353OFr，在 RtDFO 中，由勾股定理得：222 3533rr，整理得：220 3840rr，解得：1210 36 6,10 36 6rr（不符合题意，舍去）；当O与四边形ABCD的BC边相切时，则切点即为点 C，CD为O的直径，O的半径为3；综上所述：当O与四边形ABCD的一边相切时，其半径为 2 或10 36 6或3；故答案为 2 或10 36 6或3 三、解答题(本大题共 11 小题，共 88 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)17.（7 分）解不等式组：8(1)5171062xxxx，并将其解集在数轴上表示出来【答案】不等式组的解集为：32x，在数轴上表示见解析【解析】解：解不等式81517xx得，3x，解不等式1062xx得，2x，所以，不等式组的解集为：32x，将不等式组的解集在数轴上表示为：18.（7 分）解方程：2315xx 【答案】15136x，25136x【解析】解：2315xx 原方程可化为23510 xx，3a，5b，1c，224(5)4 3 1130bac ，513513236x，即15136x，25136x 19.（7 分）计算：（a+1）（a3）（a2）2【答案】27a【解析】解：（a+1）（a3）（a2）2 223344aaaaa 27a 20.（8 分）如图，O的直径为AB，点 C 在O上，点 D，E 分别在AB，AC的延长线上，DEAE，垂足为 E，CD与O相切于点 C (1)求证：ACDE；(2)若4AB，3BD，求CD的长【答案】(1)见解析；(2)21【分析】(1)证明：连接 OC，CD 与O 相切于点 C，OCD90，ACO+DCE180OCD90，DEAE，E90，CDE+DCE90，CDEACO，OCOA，AACO，ACDE(2)解：AB4，BD3，OCOB12AB2，OD2+35，在 RtOCD 中，OCD90，OD5，OC2 222OCCDOD 22225221CDODOC 21.（8 分）为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，某市加大了预防诈骗的宣传工作 为了了解学生预防诈骗的意识情况，某校开展预防诈骗知识问卷调查活动，问卷共 10 道题，每题 1 分，共 10分（满分为 10 分），随机抽取了 40 名同学的问卷得分，根据获取的问卷得分情况制作了如图所示的统计图：根据以上信息，回答下列问题：(1)扇形统计图中，m 的值为_，本次所抽取的这 40 名同学的问卷得分的众数为_分，中位数为_分；(2)求本次所抽取的这 40 名同学的问卷得分的平均数；(3)若该校共有学生 600 人，请估计问卷得分为满分的学生有多少名？【答案】(1)10，9，8；(2)8.3 分；(3)105 名【分析】(1)解：得 6 分的同学所占的比例为：4100%10%40，m 的值为 10；得 9 分的人数最多，故众数为 9 分；将问卷得分按从小到大的顺序排列，排在第 20、21 位的均为 8 分，故中位数为 8 分；故答案为：10，9，8；(2)解：6 47 68 119 1210 78.340 （分），答：本次所抽取的这 40 名同学的问卷得分的平均数为 8.3 分；(3)解：600 17.5%105（名），答：估计问卷得分为满分的学生有 105 名 22.（8 分）甲乙两盒中各有 3 张卡片，卡片上分别标有数字-7、-1、3 和-2、1、6，这些卡片除数字外都相同把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取 1 张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标(1)请用树状图或表格列出这样的点所有可能的坐标；(2)计算这些点落在第三象限的概率【答案】(1)共有 9 种等可能的结果：（7，2），（7，1），（7，6），（1，2），（1，1），（1，6），（3，2），（3，1），（3，6）；(2)29【分析】(1)画树状图：共有 9 种等可能的结果：（7，2），（7，1），（7，6），（1，2），（1，1），（1，6），（3，2），（3，1），（3，6）；(2)这些点落在第三象限的结果数为 2，所以这些点落在第三象限的概率为29 23.（8 分）如图，在ABC 中，90BAC，BD 平分ABC (1)利用直尺和圆规在 BC 上找一点 E，使得2CDCE CB（保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若3BA，30C，求 CE 长【答案】(1)见解析；(2)2 33【分析】(1)解：如图，作CDE=DBC，C=C，CDECBD，CDCECBCD，CD2=CECB，作CDE=DBC，点 E 即为所求；(2)解：在Rt ABC中，BA=3，C=30，BC=2BA=2 3，AC=3，ABC=60，BD 平分ABC，ABD=12ABC=30，AD=1，CD=ACAD=2，由（1）知，CD2=CECB，222 3CE，2 33CE 24.（8 分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点 P 处测得正前方水平地面上某建筑物 AB 的顶端 A 的俯角为 30，面向 AB 方向继续飞行 5 米，测得该建筑物高端 B 的俯角为 45，已知建筑物 AB 的高为 3 米，求无人机飞行的高度（结果精确到 1 米，参考数据：21.414，51.732）【答案】无人机飞行的高度约为 14 米【解析】解：如图，过 A 作 ACPQ，交 PQ 的延长线于 C，设 ACx 米，由题意得：PQ5 米，APC30，BQC45，在RtAPC中，3tantan303ACAPCPC，33PCACx（米）在 RtBCQ 中，tantan451BCBQCQC，3QCBCACABx米 PCQCPQ5 米，335xx，解得：431x 43134 3714BC（米）答：无人机飞行的高度约为 14 米 25.（8 分）如图，一次函数 yx2 与反比例函数 ykx（x0）的图象交点的横坐标是 4，点 P（m，n）在第一象限内，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交一次函数图像于点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交反比例函数的图象于点 N (1)求 k 的值；(2)当 m4，n=2 时，PMN 能否为等腰三角形，若能出 P 点坐标，若不能，请说明理由；(3)若 m=n，且 PMPN，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围【答案】(1)k 的值为 8；(2)PMN 能为等腰三角形，此时 P（2，2）；(3)当 0m2 或 m4 时，PMPN【分析】(1)解：一次函数 y=x2 与反比例函数 ykx（x0）的图象交点的横坐标是 4，y=42=2，交点 A(4，2)，k=42=8；(2)解：PMN 能为等腰三角形，理由如下：由（1）知反比例函数的解析式为8yx，n=2，而 A(4，2)，点 M 与点 A 重合，PNy轴，点 N(m，8m)，根据题意知 PMPN，PMN 为等腰三角形，P（m，2），PN=PM，即8m-2=4-m，解得 m=4 或 2，经检验，m=4 或 2 都是原方程的解，但 m=4 不符合 m4，舍去，P（2，2）；(3)解：如图，由题意 P（m，m），M（m+2，m），N（m，8m）PM=m+2-m=2，当 PM=PN 时，82mm，解得 m=2 或-4 或 4 或-2，经检验，m=2 或-4 或 4 或-2 都是原方程的解，m0，m=2 或 4，观察图象可知：当 0m2 或 m4 时，PMPN 26.（10 分）【问题提出】(1)如图1，已知线段AB4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是_；【问题探究】(2)如图 2，以正方形 ABCD 的边 CD 为直径作半圆 O，E 为半圆 O 上一动点，若正方形的边长为 2，求 AE长度的最大值；【问题解决】(3)如图 3，某植物园有一块三角形花地 ABC，经测量，AC203米，BC120 米，ACB30，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在 BC 下方找一点 P，将该花地扩建为四边形 ABPC，扩建后沿 AP 修一条小路，以便游客观赏 考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC 需满足BPC60为容纳更多游客，要求小路 AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路 AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出 AP 的最大长度；若不存在，请说明理由 【答案】(1)6；(2)5+1；(3)60+403【分析】(1)解：当 C 在线段 AB 延长线上时，AC 最大，此时 ACAB+BC4+26，故答案为：6；(2)解：连接 AO 并延长交半圆 O 于 F，如图：正方形 ABCD 的边 CD 为直径作半圆 O，边长为 2，ADO90，AD2，ODOCOF1，当 E 运动到 F 时，AE 最大，AF 的长度即是 AE 的最大值，RtAOD 中，AO225ADOD，AFAO+OF5+1，即 AE 最大为5+1；(3)解：作 BC 的垂直平分线 DE，在 BC 下方作BCO30，射线 CO 交 DE 于 O，以 O 为圆心，OC 为半径作O，连接 OB、连接 AO 并延长交O 于 P，则 AP 为满足条件的小路，过 A作 AFOC 于 F，如图：BCO30，ACB30，ACF60，RtACF 中，AFACsin6030，CFACcos60103，DE 垂直平分 BC，BC120，CE60，OEC90，OC40 3cos30CEOP，OFOCCF303，RtAOF 中，OA2260OFAF，APOA+OP60+403 即小路 AP 的长度最大为 60+403 27.（9 分）已知抛物线 yx2xm2m(1)求证：抛物线与 x 轴必定有公共点；(2)若 P（a，y1），Q（2，y2）是抛物线上的两点，且 y1y2求 a 的取值范围；(3)设抛物线与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴负半轴交于点 C，且|x1|+|x2|3，若点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，连接 CD、DB，DBC 面积是否存在最大值，若存在，求点 D的坐标，若不存在说明理由【答案】(1)见解析；(2)a3 或 a2；(3)存在，D（1，2）【分析】(1)解：yx2xm2m，1+4（m2+m）（2m+1）20，抛物线与 x 轴必定有公共点；(2)yx2xm2m（x12）214m2m，抛物线的对称轴为直线 x12，a1，抛物线的开口向上，y1y2，|a12|212|，解得 a3 或 a2；(3)DBC 面积存在最大值，理由如下：令，则 ym2m，C（0，m2m），令 y0，则 x2xm2m0，121xx，212xxmm，123xx，2212xx2|x1x2|9，（x1+x2）22x1x2+2|x1x2|9，1+2m2+2m+2|m2m|9，解得 m1 或 m2，yx2x2，令 y0，则 x2x20，x1 或 x2，A（1，0），B（2，0），令 x0，则 y2，C（0，2），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，220bkb，解得12kb，yx2，过点 D 作 DEy 轴交直线 BC 于点 E，设 D（t，t2t2），则 E（t，t2），EDt2（t2t2）t2+2t，SBCD12（t2+2t）2t2+2t（t1）2+1，当 t1 时，DBC 面积有最大值 1，此时 D（1，2）