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高等代数课件高等代数课件陇南师范高等专科学校数学系陇南师范高等专科学校数学系20082008年制作年制作第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换*7.1 线线性变换的定义及性性变换的定义及性质质*7.2 线性变换的运算线性变换的运算*7.3 线性变线性变换的矩换的矩阵阵*7.4 不变子空间不变子空间*7.5 线性变换的本征值和线性变换的本征值和本征向本征向量量7.1 线性变换的定义及性质线性变换的定义及性质假定假定V和和W是是数域数域F上的向量空间上的向量空间.定义定义1 1 设设是是V到到W的一个映射的一个映射,如果满足下列条件如果满足下列条件,则称是一个则称是一个从到的线性映射从到的线性映射:(i)对于任意对于任意,V,(+)=()+();(ii)对于任意对于任意aF,V,(a)=a().可将定义可将定义1中条件中条件(i),(ii)换成下面一个条件换成下面一个条件:(iii)对任意对任意,V,任意任意a,bF,(a+b)=a()+b().例例 1 1 对于对于R2中的每一个向量中的每一个向量=(x1,x2)定义定义()=(x1,x1x2,x1+x2)R3,则则是一个线性映射是一个线性映射.例例 2 2 令令H是是V3中经过原点的一个平面中经过原点的一个平面.对于对于V3中的每一个向量中的每一个向量,令令()表示表示在在H上的正射影上的正射影.则则是是V3到到V3的一个线性映射的一个线性映射.与向量空间同构与向量空间同构的定义比较的定义比较例例 3 3 令令A是数域是数域F上的一们上的一们mn矩阵矩阵,对对n元列空间元列空间Fn中的每一中的每一向量向量=规定规定:()=A.则则()是一个是一个m元列向量元列向量,即即()Fn.容容易证明易证明是一个从是一个从Fn到到Fm的线性映射的线性映射.例例 4 4 令令V和和W是数域是数域F上的两个向量空间上的两个向量空间.对于对于V中的每一向量中的每一向量,令令W的零向量与它对应的零向量与它对应.容易看出这是容易看出这是V到到W的一个线性映射的一个线性映射,称之称之 为为零映射零映射.例例 5 5 设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间.取定取定F中的一个数中的一个数k.对于任意对于任意V,令令()=k.则则是是V到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射.称为称为V的一个的一个位似位似.例例 6 6 取定数域取定数域F中的中的n个数个数a1,a2,an.对于对于Fn中的每一个向量中的每一个向量=(x1,x2,xn),定义定义()=a1x1+a2x2+anxnF.则则是从是从Fn到到F的一的一 个个线性映射线性映射.称为称为F上的一个上的一个n元线性函数元线性函数或或Fn上的一个上的一个线性型线性型.例例 7 7 Fx上的求导运算是上的求导运算是Fx到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射.例例 8 8 对每一对每一f(x)Ca,b,规定规定 .则则是是Ca,b到自身的一个线性有映射到自身的一个线性有映射.,线性映射把零向量映射为零向量线性映射把零向量映射为零向量.,(a11+a22+ann)=a1(1)+a2(2)+an(n).设设是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射.如果如果VV,则称则称W的子的子空间空间()|V是是V在在下的下的象象,记作记作(V).如果如果WW,则称则称V的子空间的子空间|()W是是W在在下的下的原象原象,记作记作 1(V).定理定理7 7.1 1.1 1 设设是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射.V是是V 的子的子空间空间,W是是W的子空间的子空间.则则V在在下的象是下的象是W的子空间的子空间,W在在下下的原象是的原象是V的子空间的子空间.特别地特别地,向量空间向量空间V在在下的象是下的象是W的子空间的子空间,称其为称其为的象的象,记作记作 Im().W的零子空间的零子空间0在在下的原象是下的原象是V的子空间的子空间,称其为称其为的核的核,记记作作 Ker(),即即Ker()=|()=0.定理定理7 7.1 1.2 2 设设是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射.则有则有(i)是单射是单射Im()=W.(i)是满射是满射Ker()=0.,两个线性映射的合成映射是线性映射两个线性映射的合成映射是线性映射.设设U,V,W是数域是数域F上的向量空间上的向量空间,:UV,:VW是线性映射是线性映射.则合成映射则合成映射:VW是是U到到W线性映射线性映射.,如果线性映射如果线性映射:VW有逆映射有逆映射 1,则则 1是从是从W到到V的线性映射的线性映射.7.2 线性变换的运算线性变换的运算设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间.V到自身的一个线性映射称为到自身的一个线性映射称为V的一的一 个个线性变换线性变换.用用L(V)表示表示V的一切线性变换的集合的一切线性变换的集合.零变换零变换:V到自身的零映射称为到自身的零映射称为V的的零变换零变换,记作记作,显然显然L(V).单位变换单位变换:V到自身的恒等映射称为到自身的恒等映射称为V的的单位变换单位变换,记作记作,显然显然L(V).负变换负变换:L(V),的负变换的负变换是指是指V到到V的映射的映射:|().变换的加法变换的加法:,L(V),定义定义V到到V的映射的映射+为为+:|()+().容易说明容易说明+L(V).称为变换称为变换+为变换为变换与与的的和和.变换的减法变换的减法:,L(V),定义定义变换变换与与的的差差为为=+().变换的纯量乘法变换的纯量乘法:L(V),kF.定义定义V到到V的映射的映射k:|k().则则kL(V),称它为称它为k与与的的积积.可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律:+=+(+)+=+(+)+=+()=k(+)=k+k(k+l)=k+l(kl)=k(l)1=其中其中,是是V到到V的任意变换的任意变换,k,l是是F中的任意数中的任意数.因此因此:定理定理7 7.2 2.1 1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一上的一个线性空间个线性空间.变换的乘法变换的乘法:,L(V),则它们则它们(作为映射作为映射)的合成的合成L(V),称称之为之为与与的的积积,记作记作.变换的乘法满足结合律变换的乘法满足结合律.对于正整数对于正整数n,规定规定n=.再规定再规定0=.(表示单位变换表示单位变换).另可将另可将k简单地记为简单地记为k,k是是F中的一个数中的一个数.设设 是是Fx中的一个多项式中的一个多项式,是一个线性是一个线性变换变换,则则 也是一个线性变换也是一个线性变换,记作记作:若若 ,A是一是一 个个 n阶方阵阶方阵,则则7.3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵*一一.线性变换关于一个基的矩阵线性变换关于一个基的矩阵*二二.线性变换关于不同基的矩阵的关系线性变换关于不同基的矩阵的关系一一一一.线性变换关于一个基的矩阵线性变换关于一个基的矩阵线性变换关于一个基的矩阵线性变换关于一个基的矩阵设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间,1,2,n是是V的一个基的一个基,是是V的一个线性变换的一个线性变换.则对们每一则对们每一 j=1,2,n,(j)都可由都可由1,2,n线线性表示性表示.设设其中其中,(a1j,a2j,anj,)是是(j)关于基关于基1,2,n的坐标的坐标 j=1,2,n,.它们是唯一确定的它们是唯一确定的.以它为第以它为第j列列,做成一个矩阵做成一个矩阵:n阶矩阵阶矩阵A叫叫线性变换线性变换关于基关于基1,2,n的矩阵的矩阵.对于给定的线对于给定的线性变换和取定的基性变换和取定的基,它是唯一确定的它是唯一确定的.等式等式(1)将等式将等式(1)写为矩阵的形式就是写为矩阵的形式就是(1),(2),(n)=(1,2,n)A.设设=x11+x22+xnn是是V的任一向量的任一向量.所以所以因此因此,()关于基关于基1,2,n的坐标构成的列向量是的坐标构成的列向量是:由此我们得到由此我们得到:定理定理7 7.3 3.1 1 设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间,1,2,n是是V的一的一个基个基,是是V的一个线性变换的一个线性变换,A是线性变换是线性变换关于这个基的矩阵关于这个基的矩阵,与与()关于这个坐标分别是关于这个坐标分别是(x1,x2,xn)和和(y1,y2,yn).则有则有例例 1 1 设设1,2是是V2的两个正交单位向量的两个正交单位向量,则它构成则它构成V2的一个基的一个基,是将是将V2的每一个向量都旋转的每一个向量都旋转角的一个线性变换角的一个线性变换.则有则有因此因此关于基关于基1,2的矩阵是的矩阵是设设是中是中V2的一个向量的一个向量,它和它和()关于基关于基1,2的坐标分别是的坐标分别是(x1,x2)和和(y1,y2),则则例例 2 2 位似变换关于任意基的矩阵是位似变换关于任意基的矩阵是.特别地；特别地；单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵,零变换关于任意基的矩阵零变换关于任意基的矩阵是零矩阵是零矩阵.1(2)2(2)O定理定理 设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,1,2,n是是V的的一个基一个基,那么对那么对V中的任意中的任意n个向量个向量 1,2,n,恰有恰有V的一个线性变的一个线性变换换,使得使得(i)=i,i=1,2,n.数域数域F上所有上所有n阶矩阵的集合构成阶矩阵的集合构成F的一个的一个n2维向量空间维向量空间,记之记之 为为Mn(F).定理定理 设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,1,2,n是是V的的一个基一个基,对于对于V的每个线性变换的每个线性变换,让它对应于它关于基让它对应于它关于基1,2,n的矩阵的矩阵A.如此建立的对应关系是如此建立的对应关系是L(V)到到Mn(F)的一个同构的一个同构(保持加保持加法和纯量乘法的双射法和纯量乘法的双射).而且如果变换而且如果变换,分别对应于矩阵分别对应于矩阵A,B,则变换则变换,的乘积的乘积对应于矩阵对应于矩阵A,B的乘积的乘积AB.(保持乘法保持乘法)推论推论 设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,是是V的一个线性变换的一个线性变换,它关于某个基的矩阵是它关于某个基的矩阵是A.则变换则变换可逆当且仅当矩阵可逆当且仅当矩阵A可逆可逆,且且1关关于这个基的矩阵就是于这个基的矩阵就是A1.(保持逆保持逆)二二二二.线性变换关于不同基的矩阵的关系线性变换关于不同基的矩阵的关系线性变换关于不同基的矩阵的关系线性变换关于不同基的矩阵的关系设设A,B是两个是两个n阶矩阵阶矩阵,如果存在如果存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T使得使得:B=T1AT则则称矩阵称矩阵A与与B相似相似.矩阵的相似关系是一种等价关系矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反即相似具有自反性性,对称性和传递性对称性和传递性).设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间,是是V的一个线性变换的一个线性变换,它关它关于于V的两个基的两个基1,2,n和和1,2,n的矩阵分别是的矩阵分别是A,B.则则有有(1),(2),(n)=(1,2,n)A,(1),(2),(n)=(1,2,n)B.再设再设T是从基是从基1,2,n到到1,2,n的过渡矩阵的过渡矩阵:(1,2,n)=(1,2,n)T.由此三式可得由此三式可得:(1,2,n)B=(1,2,n)T1AT.所以所以 B=T1AT.即即:同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的.反之反之,两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.7.4 不变子空间不变子空间设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一个向量空间,是是V的一个线性变换的一个线性变换.定义定义 设设W是是V的一个子空间的一个子空间,如果如果(W)W,则称则称W在线性变换在线性变换之下之下不变不变,或说或说W是是的一个的一个不变子空间不变子空间.例例 1 1 V本身和零子空间本身和零子空间V是任何变换的不变子空间是任何变换的不变子空间.例例 2 2 的象的象Im()和核和核Ker()都是都是的不变子空间的不变子空间.例例 3 3 任何一个子空间都是任何一个子空间都是位似变换的不变子空间位似变换的不变子空间.例例 4 4 设设L是是V3中一条过程原点的直线中一条过程原点的直线,是是V3的一个以为轴的旋的一个以为轴的旋转变换转变换.那么那么L是是的一个一维不变子空间的一个一维不变子空间,过程原点与过程原点与L垂直的平面垂直的平面H是是的一个二维不变子空间的一个二维不变子空间.例例 5 5 设设Fx是是F上的一元多项式所成的向量空间上的一元多项式所成的向量空间,Fnx是次数是次数不超过不超过n的多项式及零多项式所成的子空间的多项式及零多项式所成的子空间.则则Fnx是求导变换的不是求导变换的不变子空间变子空间.设设W是是的一个不变子空间的一个不变子空间,定义映射定义映射|W:WW为为|W()=().则则|W是是W的一个线性变换的一个线性变换,称它为线性变换称它为线性变换在在W上的上的限限制制.设设W是是的一个非平凡的不变子空间的一个非平凡的不变子空间,1,2,r是是W的一个基的一个基,把它扩充为把它扩充为V的一个基的一个基1,2,r,r+1,n.由于由于W在在之下不变之下不变,所以所以(1),(2),(r)仍在仍在W内内,它们可用它们可用W的基的基1,2,r线线性表示性表示.因此因此这表明关于这个基的矩阵是这表明关于这个基的矩阵是|W关于关于W的基的基1,2,r 的矩阵的矩阵一个一个(nr)r 阶零矩阶零矩阵阵如果如果V是它的两个子空间是它的两个子空间W1与与W2的直和的直和,即即V=W1 W2.可用可用W1的基的基1,2,r 与与W2的基的基r+1,n组成组成V的一个基的一个基.如果如果W1与与W2是是的不变子空间的不变子空间,则则关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是例例 6 6 接例接例4.V3是是L与与H的直和的直和.取取L上的一个非零向量上的一个非零向量1作为它作为它的基的基,取取H上的两个正交单位向量上的两个正交单位向量2,3作为它的基作为它的基,那么那么1,2,3组组V3的一个基的一个基.关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是|W1关于关于W1的基的基1,2,r 的矩阵的矩阵|W2关于关于W2的基的基r+1,2,n 的矩阵的矩阵应该地应该地,如果如果V是它的子空间是它的子空间W1,W2,Ws的直和的直和,且每一个都且每一个都是是的不变子空间的不变子空间.用这些子空间的基组用这些子空间的基组V的一个基的一个基.则则关于这个基关于这个基的矩阵是的矩阵是Ai是是|Wi关于关于Wi的基的矩阵的基的矩阵.特别地特别地,当每一个子空间都是一维空间时当每一个子空间都是一维空间时,这个矩阵就是一个对角矩阵这个矩阵就是一个对角矩阵.7.5 线性变换的本征值和本征向量线性变换的本征值和本征向量设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一个向量空间,是是V的一个线性变换的一个线性变换.定义定义 1 1 设设是是数域数域F中的一个数中的一个数.如果存在如果存在V中的一个非零向量中的一个非零向量使得使得()=,则称则称是是的一个的一个特征根特征根,称称是是的属于特征根的属于特征根的一的一 个个特征向量特征向量.例例 1 1 设设H是是V3中一个过程原点的平面中一个过程原点的平面,是把是把V3的每一个向量变的每一个向量变成它在成它在H上的正射影的线性变换上的正射影的线性变换.那么那么H中每一个非零向量都是中每一个非零向量都是的的属于特征根属于特征根1的特征向量的特征向量,而过原点与而过原点与H垂直的直线上的每一个非零垂直的直线上的每一个非零向量都是向量都是的属于特征根的属于特征根0的特征向量的特征向量.例例 2 2 用用D表示实数域上的可微分任意次的实函数所成的向量空表示实数域上的可微分任意次的实函数所成的向量空间间.:f(x)|f(x)是求导运算是求导运算.对每一实数对每一实数都有都有,(ex)=ex.因此每因此每一实数一实数都是都是的特征根的特征根,而而ex是是的属于特征根的属于特征根的一个特征向量的一个特征向量.例例 3 3 用用Fx表示所有一元多项式构成的向量空间表示所有一元多项式构成的向量空间.是把是把f(x)变变为为 xf(x)的线性变换的线性变换.对任何数对任何数都不存在多项式都不存在多项式f(x)使使 xf(x)=f(x),因因此此没有特征根没有特征根.定义定义 2 2 设设A=(aij)数域数域F上的一个上的一个n阶矩阵阶矩阵.行列式行列式叫做叫做矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式.,相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式.一个线性变换一个线性变换关于不同的基有不同的矩阵关于不同的基有不同的矩阵,但是但是,这些矩阵是这些矩阵是相似的相似的,这些矩阵的特征多项式也就是相同的这些矩阵的特征多项式也就是相同的.因此我们把一个因此我们把一个线性线性变换变换的特征多项式的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式,记作记作f(x).定理定理 设设是数域是数域F上的上的n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换.F是的是的一个特征根当且仅当一个特征根当且仅当是是的特征多项式的特征多项式f(x)的一个根的一个根.n阶矩阵阶矩阵A=(aij)的主对角线上的元素的和称为矩阵的主对角线上的元素的和称为矩阵A的的迹迹,记作记作Tr(A).,在在 fA(x)中最高次项中最高次项xn的系数是的系数是1.,在在 fA(x)中中,xn1的系数是的系数是 Tr(A).,在在 fA(x)的常数项是的常数项是A的行列式乘以的行列式乘以(1)n.例例 4 4 计算的特征多项式计算的特征多项式.矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 fA(x)在复数域内的根叫做在复数域内的根叫做矩阵矩阵A的特征根的特征根.设设是矩阵是矩阵A的一个特征根的一个特征根,则齐次线性方程组则齐次线性方程组的一个非零解叫做的一个非零解叫做矩阵矩阵A的属于特征根的属于特征根的一个特征向量的一个特征向量.设设1,2,n是矩阵是矩阵A的全部特征根的全部特征根,则则,Tr(A)=1+2+n,|A|=12n.设设是数域是数域F上的上的n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换,它关于基它关于基1,2,r的矩阵是的矩阵是A,是是A的特征根的特征根,且且F,那么那么,是是的特征根的特征根.方程组的非零解就是方程组的非零解就是的属于的属于的一个特征向量关于基的一个特征向量关于基1,2,r的坐标的坐标.例例 5 5 设设R上三维向量空间的线性变换上三维向量空间的线性变换关于关于基基1,2,3的矩阵是的矩阵是:.求求的特征根和相应的的特征根和相应的特征向量特征向量.例例 6 6 求矩阵求矩阵A的特征根和相应的特征向量的特征根和相应的特征向量:设设是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一个的一个线性变换线性变换.如果存在如果存在V的一个基使关于这个基的的一个基使关于这个基的矩阵具有右面的形式矩阵具有右面的形式,则称则称可以对角化可以对角化.类似地类似地如果对于数域如果对于数域F上的一个矩阵上的一个矩阵A,存在数域存在数域F上的上的一个矩阵一个矩阵T,使得使得T1AT具有右面的矩阵形式具有右面的矩阵形式,则称则称矩阵矩阵A可对角化可对角化.定理定理7 7.6 6.1 1 设设是数域是数域F上的维向量空间上的维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换.如果如果1,2,n是是的属于不同特征根的特征向量的属于不同特征根的特征向量,那么那么1,2,n线性线性无关无关.推论推论7 7.6 6.2 2 设设是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一个线性变的一个线性变换换.如果如果的特征多项式的特征多项式 f(x)在在F内有内有n个单根个单根,那么存在那么存在V的一个基的一个基,使使关于这个基的矩阵是对角形式关于这个基的矩阵是对角形式.推论推论7 7.6 6.3 3 设设A是数域是数域F上的上的 n 阶矩阵阶矩阵.如果如果A的特征多项的特征多项式式 fA(x)在在F内有内有n个单根个单根,那么存在一个可逆矩阵那么存在一个可逆矩阵T,使使设设是是的一个特征根的一个特征根,则则V=|()=Ker()是是V的一个的一个子空间子空间,称之为称之为的属于特征根的属于特征根的的特征子空间特征子空间.,特征子空间是特征子空间是的不变子空间的不变子空间.,特征子空间特征子空间V的维数不大于特征根的维数不大于特征根的重数的重数.推论推论7 7.6 6.4 4 设设是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一个线性变的一个线性变换换.如果如果1,2,tF是的互不相同的特征根是的互不相同的特征根,Vi是是的属于特征根的属于特征根i的特征子空间的特征子空间,那么这些子空间的和那么这些子空间的和W=V1+V2+V t是直和是直和,且且 W在在之下不变之下不变.定理定理7 7.6 6.4 4 设设是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一的一个线性变换个线性变换.可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是:(i)的特征多项式的每一根都在的特征多项式的每一根都在F内内;(ii)对对的特征多项式的每一根的特征多项式的每一根,特征子空间特征子空间V的维的维数都等于数都等于的重数的重数.推论推论7 7.6 6.4 4 设设A是数域是数域F上的上的n(n 0)阶矩阵阶矩阵.A可对角可对角化的充要条件是化的充要条件是:(i)A的特征根都在的特征根都在F内内;(ii)对对A的每一特征根的每一特征根,秩秩(IA)=ns,其中其中s是是的的重数重数.例例 1 1 矩阵矩阵A=不能对角化不能对角化.,将矩阵将矩阵A对角化的步骤对角化的步骤(参考下一页图示参考下一页图示):(求出矩阵求出矩阵A的所有特征根的所有特征根(如果如果A的特征根都在的特征根都在F内内,则对每一特征根则对每一特征根,求出方程组求出方程组的一个基础解系的一个基础解系.(如果每一个特征根对应的方程组的基础解系中解的个数都等于这如果每一个特征根对应的方程组的基础解系中解的个数都等于这个特征根的重数个特征根的重数,则矩阵则矩阵A可对角化可对角化.以这些解向量为列做一个以这些解向量为列做一个n阶矩阶矩阵阵T,则则TAT就是一个对角矩阵就是一个对角矩阵.例例 2 2 将下面的矩阵将下面的矩阵A对角化对角化.12 t求特征根求特征根求基础解系求基础解系求矩阵求矩阵T,以基础解系为以基础解系为列列,同一根的解同一根的解必须是相邻的列必须是相邻的列T 1AT对角线上根的对角线上根的次序与次序与T中列中列向量对应的根向量对应的根的次序相同的次序相同 t的重数2的重数1的重数