《非齐次方程的通解》PPT课件.ppt

若若 y(x)满足满足 则则解：由解：由故通解：故通解：将初始条件代入可求得将初始条件代入可求得C12，C2=0二、二阶常系数非齐次线性方程通解二、二阶常系数非齐次线性方程通解1 1、解的结构定理、解的结构定理:定理定理1：非齐次的两个特解之差是齐次方程的解：非齐次的两个特解之差是齐次方程的解非齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次通解齐次通解非齐次特解定理定理2：2、非齐次方程特解的求法、非齐次方程特解的求法试解函数检验法试解函数检验法根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出待定系数，得其特解。待定系数，得其特解。试解函数试解函数Q(x)f(x)说明说明:1、不论、不论f(x)是几项多项式是几项多项式,Q(x)必须是必须是“同同 次完全多项式次完全多项式”。2、不论、不论f(x)是否只含正弦、余弦，是否只含正弦、余弦，Q(x)都要设为都要设为其线性组合。其线性组合。3、f(x)是两类函数乘积是两类函数乘积,Q(x)也是对应两类函数乘也是对应两类函数乘积积若有，则将试解函数乘以若有，则将试解函数乘以 x,再检验，直到没有再检验，直到没有同类项为止。同类项为止。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。例例1.求通解求通解解：解：特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？代入原方程得：代入原方程得：008 k=24k=-=-3原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为例例2.求通解求通解解：解：特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为对吗？对吗？正确的原方程的特解为正确的原方程的特解为代入原方程得：代入原方程得：02a8(ax+b)=xa=-1/8,b=1/32原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为例例3.求通解求通解解：解：特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为可以吗？可以吗？重新设原方程的特解为重新设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为求非齐次方程通解的步骤求非齐次方程通解的步骤:1、求出对应齐次方程的通解、求出对应齐次方程的通解Y2、假设试解函数（非常关键、包括检验）、假设试解函数（非常关键、包括检验）3、求出待定系数，得非齐次方程的一个特解、求出待定系数，得非齐次方程的一个特解4、利用定理得非齐次方程通解、利用定理得非齐次方程通解例例4.方程方程 有形如有形如_的特解的特解例例5.求求解：解：特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为关键的一步关键的一步原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为例例6.求求解：解：特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为要要注注意意原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为解的叠加原理解的叠加原理例例7 7解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得原方程的特解为原方程的特解为由由即即故原方程的通解为故原方程的通解为作业：作业：P406 6(1,4,5)8