《复变函数》教学资料第八章第二节.ppt

8.2.1 对正态总体对正态总体 中中 的检验的检验设 是从正态 中抽取现检验假设的一个样本，其中方差 为已知常数，现（其中 为已知）8.2 检验法检验法 检验法也称为正态检验法，是使用服从正态分布的 统计量来进行检验。由上一节的讨论知，检验的关键在于找一个合适的统计量，当假设 为真时，样本均值 ，因此统计量服从标准正态分布得 ，使 如图8-1所示，检验的拒绝域为对于给定的显著性水平 ，正真态分布或或0图8-1得U的观察值 若 ，则拒绝 ，即认为总体的均值 与 之间的显著差异；显著差异。若 ，则接受 ，即认为 与 无例例1 假定某厂生产一种钢索的断裂强度 （单位：）。从一批该产品中任选一个容量为9的样本，经计算将样本观察值 代入 ，算得 ，能否据此样本，认为这批钢索的平均断裂强度为？解解 由题中所给条件，可知这是一个正态总体，且方差 已知，对均值 是否等于800进行检验的问题，即检验假设 为真时，统计量 对于显著性水平 ，查正态分布表得 ，因此检验的拒绝域为计算统计量U的观察值因为 ，故接受原假设 ，即认为这批钢索的平均断裂强度为是可接受的。上述检验中的拒绝域 是双侧的，即 或 ，也即统计量 。因此检验称为双侧检验。实际应用中，有时只关心总体均值是否增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材料的强度是否比以前提高，这时考虑的问题是在新工艺下，总体均值 是 落入 和 的概率之和为否比原来总体均值大，即要检验假设可以证明，它和假设检验问题在同一显著性水平 下的检验法是一 样的。下面我们只考虑后者的情形。类似于前面的讨论，用统计量 ，对于检验水平 ，查正态分布表得 ，使如图8-2所示，有检验的拒绝域为该检验称为右方单侧检验。0图8-2类似地，检验假设对于检验水平 ，查正态分布表得 。由于 ，使统计量 满足如图8-3所示，得检验的拒绝域为该检验称为左方单侧检验。例例2 某种电子元件，要求平均使用寿命不得低于 。现从一批这种0图8-3元件中随机抽取25件，测其寿命，算得平均寿命 ，设该元件的寿命在 的检验水平下，确定这批元件是否合格？解解 本例是单侧检验问题，即在 下，检验假设对于 ，查正态分布表得，从而该检验的拒绝域为计算统计量 的观察值由于 ，故拒绝原假 ，认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。8.2.2 对方差已知的量正态总体均值的检验对方差已知的量正态总体均值的检验设两正态总体 及和假设是分别从 和 中抽取的两个独立样本，分别为两个样本的均值，并且两总体方差 ，已知。要检验由于故当 为真时，统计量对于给定的显著性水平 ，查正态分布表得 ，使因此，检验的拒绝域为类似地，可以讨论单侧假设检验问题。例例3 某公司从甲、乙两个灯泡厂购买灯泡，已知甲厂灯泡寿命 ，乙厂灯泡寿命 。现从甲厂中抽取40个灯泡测得平均寿命 ；从乙厂中抽取50个灯泡测得平均寿命。能否判断甲、乙两厂的灯泡平均寿命存在差异？解解 本例是对两正态总体，方差已知时，两总体均值有无差异的检验，即假设检验对于 ，查正态分布表得 ，当 为真时，统计量 。又代入求得 的观察值而检验的拒绝域 。由于因此，拒绝原假设 ，即认为甲、乙两两厂的灯泡平均寿命存在显著差异。从灯泡质量上看，甲厂优于乙厂。8.2.3 对一般总体均值的检验对一般总体均值的检验（1）一般总体 ，当方差已知时，对数学期望 是否等于已知值 进行检验。设 是从总体 中抽取的一个样本，总体 的方差 已知，要检验假设由中心极限定理可知，不论总体 服从什么样的分布，在大样本 下，当 为真时，近似地有对于显著性水平 ，由正态分布表查得 使从而该检验的拒绝域为 。类似地，可进行左、右单侧检验。例例4 某县早稻收割面积为100万亩，随机抽取169亩作为样本，统计其亩产量，计算平均亩产量 。设亩产 的方差 。试检验该县早稻预计平均亩产 是否成立？解解 这是一个一般总体，方差已知，大样本情况下，对总体均值是否等于的假设检验问题。即检验假设由于 较大，故近似地有对于显著性水平 ，查正态分布表得 故该检验的拒绝域为计算 的观察值得由于 ，表明小概率事件在一次抽样中就发生了，所以拒绝原假设 ，即不能认为该县早稻的平均亩产量为（2）一般总体 ，当方差 未知时，对数学期望 是否等于已知值 进行检验设 是总体 的一个样本，要检验假设此时，若样本容量 ，当 为真时，近似地有其中 ，分别为样本均值和样本标准差。对于显著性水平 ，由正态分布表查得 ，使得检验的拒绝域类似地可以进行左、右单侧检验。