中考数学北师大版复习八年级上册 第七章·平行线的证明课件.pptx

分层练透教材，多重拓展培优第七章平行线的证明数学八年级上册北师第一节为什么要证明第一节过基础教材核心知识精练1.下列结论,你能肯定的是()A.今天是阴天,明天必然还是阴天B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明的数学成绩一向很好,因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖D.两张照片看起来完全一样,可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的答案1.B【解析】三个连续整数中一定有一个是2的倍数、一个是3的倍数,所以它们的积一定能被6整除,故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论,不能说明一定成立.故选B.知识点 1证明的必要性2.如图,位于中心的两圆一样大吗?答案2.【解析】借助圆规或刻度尺,可知位于中心的两圆的半径或直径相等,故两圆一样大.知识点 1证明的必要性3.一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b(b0),若把它的十位数字与个位数字对调,将得到一个新的两位数,这两个两位数的和能被11整除吗?差能被11整除吗?我们可以验证一下,比如23,对调后所得到的新的两位数是32,而23+32=55,32-23=9.因此我们断定,这两个两位数的和能被11整除,差不能被11整除.请问上述验证过程正确吗?若不正确,请写出正确的验证过程.答案3.【解析】不正确,上述验证过程只是一个特例,为了验证结论的正确性,可作如下证明:因为原两位数的十位数字为a,个位数字为b(b0),所以原两位数为10a+b,新两位数为10b+a.因为(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),是11的整数倍,所以这两个两位数的和能被11整除.因为(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b),一定不是11的整数倍,所以这两个两位数的差不能被11整除.知识点 1证明的必要性4.下列说法正确的是()A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个答案4.D【解析】A项中的经验、观察或实验往往受到外部条件、自身水平等因素的影响,因此不一定能判断一个数学结论的正确与否;B项的说法明显错误;C项,当n=36时,n2+n+37=3737,不是质数;易知D项正确.故选D.知识点 2检验数学结论是否正确的常用方法5.由幂的乘方的性质得(ab)2=a2b2,类比这个等式,能得到(a+b)2=a2+b2也成立吗?答案5.【解析】不能.因为(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,所以不能得到(a+b)2=a2+b2成立.知识点 2检验数学结论是否正确的常用方法6.我们知道:22=4,2+2=4.试问:对于任意实数a与b,是否一定有结论ab=a+b?答案6.【解析】不一定.假设a=3,b=2.因为32=6,3+2=5,而65,所以对于任意实数a与b,不一定有结论ab=a+b.7.2018山东淄博中考甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()A.3B.2 C.1D.0答案7.D【解析】4个人共进行6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同,所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场.若甲只胜一场,这时乙、丙各胜一场,说明丁胜三场,这与甲胜丁矛盾,所以甲只能是胜两场,即:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,也就是胜0场.所以甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,丁胜0场.故选D.知识点 3推理的应用答案知识点 3推理的应用输入12345输出1225310417526第二节定义与命题第二节 课时1定义与命题课时1过基础教材核心知识精练1.下列语句中,属于定义的是()A.两点确定一条直线B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,同位角相等D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度答案1.D【解析】定义是对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,而不是对其性质的判断.定义中一般有“叫做”“是”等词语.选项A中的语句属于公理,选项B,C中的语句属于定理,只有选项D中的语句符合要求.故选D.知识点 1定义2.下列不属于定义的是()A.两边相等的三角形是等腰三角形B.两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离C.正方形的四条边相等D.含有未知数的等式叫做方程答案2.C知识点 1定义3.下列语句中,不是命题的是()A.垂线段最短B.不平行的两条直线只有一个交点C.x与y的和D.两点之间线段最短答案3.C【解析】判断一件事情的句子,叫做命题,只有对事情作出了某种判断的语句才是命题.A项、B项、D项都对某件事情作出了判断,而C项没有对事情作出任何判断.故选C.知识点2命题4.给出下列语句:如果两个角都是50,那么这两个角是对顶角;直角三角形一定不是轴对称图形;画线段AB=5cm;延长线段AB至点C,使AB=BC;明天下雨吗?其中命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案4.B【解析】命题应该对一件事情作出判断,疑问句、祈使句、几何作图语言都不是命题.结合题中语句,可知是命题.故选B.知识点2命题5.命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是()A.平行B.两条直线C.同一条直线D.两条直线平行于同一条直线答案5.D知识点3命题的组成6.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”的条件是,结论是.答案6.一个点在一条线段的垂直平分线上这个点到这条线段两个端点的距离相等知识点3命题的组成7.将下列命题改写成“如果那么”的形式,并指出条件、结论.(1)90的角是直角;(2)在平面内,垂直于同一直线的两直线平行.答案7.【解析】(1)如果一个角是90,那么这个角是直角.条件:一个角是90.结论:这个角是直角.(2)如果平面内两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.条件:平面内两条直线垂直于同一条直线.结论:这两条直线平行.知识点3命题的组成8.下列命题是真命题的是()A.三个角对应相等的两个三角形全等B.同旁内角相等,两直线平行C.钝角三角形只有一条高线D.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等答案8.D【解析】A项,三个角相等的两个三角形不一定全等,故错误,是假命题;B项,同旁内角互补,两直线平行,故错误,是假命题;C项,所有三角形均有三条高线,故错误,是假命题;D项,有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等,正确,是真命题.故选D.知识点4真命题、假命题、反例答案知识点4真命题、假命题、反例10.2019福建泉州期中下列选项,能说明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A.2k(k为常数)B.15C.24D.42答案10.D【解析】A项,2k(k为常数)是偶数,有可能是8的倍数;B项,15是奇数不是偶数;C项,24是偶数,并且是8的3倍;D项,42是偶数,不是8的倍数.所以可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是42.故选D.知识点4真命题、假命题、反例11.判断下列命题是真命题,还是假命题,是假命题的举反例加以说明.(1)如果AB=2BC,那么点C是AB的中点;(2)三条线段长度分别为a,b,c,如果a+bc,那么这三条线段一定能组成三角形;(3)如果|a|=|b|,那么a=b.答案11.【解析】(1)假命题,反例:当点C在AB的延长线上,且AB=2BC时,点C不是AB的中点.(2)假命题,反例:当a=5,b=1,c=3时,5+13,但长为5,1,3的三条线段不能组成三角形.(3)假命题,反例:当a=2,b=-2时,|a|=|b|,但ab.知识点4真命题、假命题、反例 课时2定理与证明课时2过基础教材核心知识精练1.下列命题能够称为公理的是()A.同角的补角相等B.两点确定一条直线C.邻角的平分线互相垂直D.内错角相等,两直线平行答案1.B【解析】公认的真命题叫做公理,只有B项符合.故选B.知识点 公理、证明、定理2.某工程队在修建高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以说明这样做能缩短路程()A.直线的公理B.直线的公理或线段最短公理C.线段最短的公理D.平行公理答案2.C【解析】由题意知,用到两点之间线段最短.故选C.知识点 公理、证明、定理3.给出下列命题:能被3整除的数也能被6整除;等式两边除以同一个数,结果仍是等式;x=2是一元一次方程x-2=0的根;对顶角相等.其中可以作为定理的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案3.A【解析】演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.能被3整除的数,不一定能被6整除,故是假命题;等式两边除以同一个不为零的数,结果仍是等式,故是假命题;是一个运算过程,不能作为定理;对顶角相等是定理.故选A.知识点 公理、证明、定理4.如图,点C是直线AB上的一点,CE,CF分别是ACD,BCD的平分线.求证:CECF.答案知识点 公理、证明、定理5.如图,在ABC和ADC中,给出下列三个论断:BC=DC;BAC=DAC;AB=AD.请将其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论构成一个真命题,然后写出证明过程.答案知识点 公理、证明、定理6.“全等三角形对应边上的中线相等”是真命题还是假命题?若是真命题,请给予证明(要求写出已知,求证并画出图形);若是假命题,请举出反例.答案知识点 公理、证明、定理第三节平行线的判定第三节过基础教材核心知识精练1.2020山东滨州模拟如图,在四边形ABCD中,点E在线段DC的延长线上,给出下列条件:(1)D=BCE,(2)B=BCE,(3)A+B=180,(4)A+D=180,(5)B=D.其中能使直线ADBC的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案1.B【解析】(1)利用“同位角相等,两直线平行”判定ADBC.(3)利用“同旁内角互补,两直线平行”判定ADBC.故选B.知识点平行线的判定2.易错题 2019河南省实验中学期末在下面的四个图形中,已知1=2,那么能判定ABCD的是()答案2.A知识点平行线的判定ABCD3.如图,若1与2互补,2与3互补,则()A.l4l5B.l1l2C.l1l3D.l2l3答案3.C【解析】因为1与2互补,2与3互补,所以1=3,所以l1l3(内错角相等,两直线平行).故选C.知识点平行线的判定4.2019山东聊城三模如图,ABCD,AF交CD于点O,且OF平分EOD,如果A=34,那么EOC的度数是()A.134B.68C.112D.146答案4.C【解析】ABCD,A=34,DOF=A=34.OF平分EOD,EOD=2FOD=68,EOC=180-68=112.故选C.知识点平行线的判定5.已知:如图,1=ABC=ADC,3=5,2=4,ABC+BCD=180.填空:(1)1=ABC,AD;();(2)3=5,AB();(3)2=4,();(4)1=ADC,();(5)ABC+BCD=180,().答案5.(1)BC同位角相等,两直线平行;(2)CD内错角相等,两直线平行;(3)ADBC内错角相等,两直线平行;(4)ABCD内错角相等,两直线平行;(5)ABCD同旁内角互补,两直线平行知识点平行线的判定6.如图,ABBC,1+2=90,2=3.求证:BEDF.答案6.【解析】ABBC,3+EBC=90.2=3,1+2=90,1=EBC,BEDF.知识点平行线的判定7.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,EG平分BEF,FG平分EFD,且1+2=90.求证:ABCD.答案7.【解析】因为EG平分BEF,FG平分EFD(已知),所以BEF=21,EFD=22(角平分线的定义),所以BEF+EFD=21+22(等式的性质),又因为1+2=90(已知),所以BEF+EFD=2(1+2)=180,所以ABCD(同旁内角互补,两直线平行).知识点平行线的判定8.如图,BD平分ABC,1=D,那么AB与CD平行吗?并说明理由.答案8.【解析】ABCD.理由如下:因为BD平分ABC(已知),所以1=ABD(角平分线的定义),又因为1=D(已知),所以ABD=D(等量代换),所以ABCD(内错角相等,两直线平行).知识点平行线的判定过能力能力强化提升训练1.2020河北保定竞秀区二模如图,将木条a,b与c钉在一起,1=70,2=50,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少为()A.10B.20C.50D.70答案1.B2.2020湖北黄冈二模如图,下列条件中,能判定DEAC的是()A.EDC=EFCB.AFE=ACDC.1=2D.3=4答案2.D【解析】3与4是直线DE,AC被直线EC所截而成的内错角,根据“内错角相等,两直线平行”,可知当3=4时,能判定DEAC.故选D.3.2019江苏苏州期中如图,四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边a,b互相平行的是()A.如图,展开后测得1=2B.如图,展开后测得1=2且3=4C.如图,测得1=2=60D.如图,展开后再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得ABCD答案3.D【解析】A项,由1=2,可以判定ab,理由是“内错角相等,两直线平行”;B项,由1=2且3=4,可得1=2=3=4=90,可以判定ab;C项,由折叠的性质知1=3,因为1=2=60,所以3=60,所以3=2,可以判定ab,理由是“内错角相等,两直线平行”.故选D.4.如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中1=55,2=55,3=125,找出图中的平行线,并说明理由.答案4.【解析】ABCD,ACBD.理由如下:1=55,2=55,1=2,ABCD(同位角相等,两直线平行).1=55,3=125,1+3=180,ACBD(同旁内角互补,两直线平行).5.如图,已知1+2=180,A=C.(1)AE与CF平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?答案5.【解析】(1)AE与FC平行.理由如下:1+2=180(已知),2+CDB=180(平角的定义),1=CDB(同角的补角相等),AECF(同位角相等,两直线平行).(2)平行.理由如下:AECF,C=CBE(两直线平行,内错角相等),又A=C(已知),A=CBE(等量代换),ADBC(同位角相等,两直线平行).6.有一段如图所示的公路,其中BCD+B+D=360,那么该段公路中的AB与ED平行吗?请说明理由.答案6.【解析】ABED.理由如下:如图,过点C作CFAB,所以B+BCF=180(两直线平行,同旁内角互补).因为BCD+B+D=360(已知),所以D+DCF=360-B-BCF=360-(B+BCF)=360-180=180(等量代换),所以CFDE(同旁内角互补,两直线平行),所以ABED(平行于同一条直线的两条直线平行).7.如图,已知AB=AC=AD,且C=2D.求证:ADBC.答案7.【解析】AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD,又C=2D,ABC=2ABD,CBD=ABD=D,ADBC.第四节平行线的性质第四节过基础教材核心知识精练1.2019湖南长沙中考如图,平行线AB,CD被直线AE所截,1=80,则2的度数是()A.80B.90C.100D.110答案1.C【解析】如图,1=80,3=100.ABCD,2=3=100.故选C.知识点1平行线的性质2.2019山东威海期末直角三角板GEF(GEF=90,GFE=30)如图放置,已知ABCD,AF平分BAE,则AEG=()A.40B.35C.30D.20答案2.C【解析】ABCD,AF平分BAE,BAF=EAF=AFE=30,BAE=60,AEF=180-60=120.GEF=90,AEG=120-90=30.故选C.知识点1平行线的性质3.2020重庆渝北中学期中如图,ABCD,点E是CD上一点,AEC=42,EF平分AED交AB于点F,求AFE的度数.答案知识点1平行线的性质4.已知:如图,ABCD,B=D,点F在AD上,EF交BC的延长线于点E.求证:E=DFE.答案4.【解析】ABCD(已知),B+DCB=180(两直线平行,同旁内角互补),又B=D(已知),D+DCB=180(等量代换),ADBC(同旁内角互补,两直线平行),E=DFE(两直线平行,内错角相等).知识点1平行线的性质5.2019贵州遵义中考如图,1+2=180,3=104,则4的度数是()A.74B.76C.84D.86答案5.B【解析】如图,1+2=180,1+5=180,2=5,ab,4=6.3=104,6=180-3=76,4=76.故选B.知识点2平行线的性质与判定的综合应用6.如图,C=3,2=80,1+3=140,A=D,则B的度数是()A.80B.40C.60D.无法确定答案6.B【解析】C=3,EFBC,1+2=180.2=80,1=100.1+3=140,C=3=40.A=D,ABCD,B=C=40.故选B.知识点2平行线的性质与判定的综合应用7.2019河南南阳期末如图,ADC=ABC,BE,DF分别平分ABC,ADC,且1=2.求证:(1)ABCD;(2)A=C.答案知识点2平行线的性质与判定的综合应用8.求证:垂直于同一条直线的两条直线平行.答案8.【解析】已知:如图,ac,bc.求证:ab.证明:ac,bc(已知),1=90,2=90(垂直的定义),1=2(等量代换),ab(同位角相等,两直线平行).知识点3证明的一般步骤过能力能力强化提升训练1.2019湖北天门中考如图,CDAB,点O在AB上,OE平分BOD,OFOE,D=110,则AOF的度数是()A.20B.25C.30D.35答案1.D【解析】CDAB,AOD+D=180,BOD=D.D=110,AOD=70,BOD=110.OE平分BOD,DOE=55.OFOE,FOE=90,DOF=90-55=35,AOF=70-35=35.故选D.2.2018四川广安中考一大门栏杆的平面示意图如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,若BCD=150,则ABC=度.答案2.120【解析】如图,过点B作BGAE.CDAE,CDBGAE,1+BCD=180,2+BAE=180,又BCD=150,BAE=90,1=30,2=90,ABC=1+2=120.3.2020广东一模如图,已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点,若长方形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成1,2,则2-1=.答案3.90【解析】如图,由平行线的性质,得2=3,因为4=90-1,3+4=180,所以3+4=2+90-1=180,所以2-1=90.4.2020河南新乡期末如图,已知1+2=180,3=B,试猜想AED和C的关系,并说明理由.答案4.【解析】AED=C.理由如下:因为1+2=180(已知),1+DFE=180(平角的定义),所以2=DFE(同角的补角相等),所以ABEF(内错角相等,两直线平行),所以3=ADE(两直线平行,内错角相等),又因为3=B(已知),所以ADE=B(等量代换),所以DEBC(同位角相等,两直线平行),所以AED=C(两直线平行,同位角相等).5.如图,AOB的一边OA为平面镜,AOB=3736,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,求DEB的度数.答案5.【解析】如图,过点D作DFAO交OB于点F.反射角等于入射角,1=3.DCOB,1=2(两直线平行,内错角相等),2=3(等量代换).在RtDOF中,ODF=90,AOB=3736,2=90-3736=5224(直角三角形的两个锐角互余),DEB=180-1-3=180-22=7512.6.如图,已知ABCD,不添加辅助线,试再添加一个条件,使1=2成立.(1)写出两个合适的条件;(2)选择其中一个加以证明.答案6.【解析】(1)AEFH,EAH=FHA.(答案不唯一)(2)选择:AEFH.证明:因为ABCD(已知),所以BAH=CHA(两直线平行,内错角相等),因为AEFH(已知),所以EAH=FHA(两直线平行,内错角相等),所以BAH-EAH=CHA-FHA(等式的性质),所以1=2.7.如图,ABCD,BE平分ABF,DE平分CDF,BFD=120,求BED的度数.答案7.【解析】如图,分别过点E,F作EMAB,FNAB,则ABEMFNCD,ABE=BEM,CDE=DEM,BFN=ABF,CDF=DFN,BE平分ABF,DE平分CDF,ABE=EBF=BEM,CDE=EDF=DEM,BED=ABE+CDE,BFD=2ABE+2CDE=120,BED=60.第五节三角形内角和定理第五节 课时1三角形内角和定理课时1过基础教材核心知识精练1.2019湖北襄阳中考如图,直线BCAE,CDAB于点D,若BCD=40,则1的度数是()A.60B.50C.40D.30答案1.B【解析】CDAB,BCD=40,DBC=180-90-40=50.BCAE,1=DBC=50.故选B.知识点 1三角形内角和定理2.2020广东揭阳期末如图,在ABC中,A=60,C=70,BD平分ABC,DEBC,则BDE的度数是()A.50B.25C.30D.35答案2.B【解析】在ABC中,A=60,C=70,ABC=180-A-C=180-60-70=50.BD平分ABC,DBC=25.DEBC,BDE=DBC=25.故选B.知识点 1三角形内角和定理3.2018湖北黄石中考如图,ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是BAC,ABC的平分线,BAC=50,ABC=60,则EAD+ACD=()A.75B.80C.85D.90答案3.A【解析】AD是BC边上的高,ABC=60,BAD=30.BAC=50,AE平分BAC,BAE=25,DAE=BAD-BAE=5.在ABC中,C=180-ABC-BAC=70,EAD+ACD=5+70=75.故选A.知识点 1三角形内角和定理4.如图,在ABC中,C=ABC=2A,BD是AC边上的高,求DBC的度数.答案4.【解析】设A=x,则C=ABC=2x,x+2x+2x=180,解得x=36,C=72.在BDC中,BDC=90,DBC=180-90-C=18.知识点 1三角形内角和定理5.2020天津西青区期末如图,AD是ABC的高,BE平分ABC交AD于点E.若C=76,BED=64,求BAC的度数.答案5.【解析】AD是ABC的高,ADB=90,EBD=180-90-BED=26.BE平分ABC,ABD=2EBD=52,BAC=180-ABD-C=180-52-76=52.知识点 1三角形内角和定理6.2019黑龙江鸡西期末如图,BGEF,ABC的顶点C在EF上,AD=BD,A=23,BCE=44,求ACB的度数.答案6.【解析】AD=BD,A=23,ABD=A=23.BGEF,BCE=44(已知),DBC=BCE=44(两直线平行,内错角相等),ABC=DBC+ABD=44+23=67.在ABC中,A+ABC+ACB=180(三角形内角和定理),ACB=180-67-23=90(等式的性质).知识点 1三角形内角和定理7.2019浙江杭州中考在ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则()A.必有一个内角等于30B.必有一个内角等于45C.必有一个内角等于60D.必有一个内角等于90答案7.D【解析】如图,在ABC中,A+B+C=180,A=C-B,2C=180,C=90.故选D.知识点 2三角形内角和定理的应用8.在ABC中,B-C=20,A=80,求B,C的度数,并说明ABC按角分类属于什么三角形.答案8.【解析】设C的度数为x,则B=x+20.根据三角形内角和定理,得x+(x+20)+80=180,解得x=40,所以C=40,B=40+20=60,又因为A=80,所以ABC的三个角都是锐角,所以ABC按角分类属于锐角三角形.知识点 2三角形内角和定理的应用9.一个模板如图所示,设计要求BA和CD相交成30角,DA和CB相交成20角,怎样通过测量A,B,C,D的度数来检查模板是否合格?答案9.【解析】如图,延长BA,CD相交于点E,延长DA,CB相交于点F.设计要求BA和CD相交成30角,即BEC=30,只要量得ABC+C=150,就可判定BA与CD相交成30角.同理,只要量得C+CDA=160,就可判定DA与CB相交成20角.知识点 2三角形内角和定理的应用过能力能力强化提升训练1.如图,点O是ABC内一点,A=80,1=15,2=40,则BOC=()A.135B.120C.95D.65答案1.A【解析】BOC=180-(OBC+OCB)=180-180-(1+2+A)=1+2+A=135.故选A.2.如图,将ABC沿DE,HG,EF翻折,三个顶点均落在点O处,若1=131,则2的度数为()A.49B.50C.51D.52答案2.A【解析】由折叠的性质,得HOG=B,DOE=A,EOF=C.A+B+C=180,HOG+DOE+EOF=180.1+2+HOG+DOE+EOF=360,1+2=180.1=131,2=180-131=49.故选A.3.如图,在ABC中,A=80,高BE和CH的交点为O,则BOC=()A.80B.120C.100D.150答案3.C【解析】BE和CH为ABC的高,BHC=AEB=90.A=80,在ABE中,ABE=180-AEB-A=180-90-80=10,在BHO中,BOH=180-BHO-HBO=180-90-10=80,BOC=180-BOH=180-80=100.故选C.4.2018湖南永州中考一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边AB,CE相交于点D,则BDC=.答案4.75【解析】CEA=60,BAE=45,ADE=180-CEA-BAE=75,BDC=ADE=75.5.将如图所示的一块直角三角板放置在ABC上,使三角板的两条直角边DE,EF分别经过点B,C,若A=70,则ABE+ACE=.答案5.20【解析】在EBC中,EBC+ECB+E=180,E=90,EBC+ECB=90.在ABC中,ABC+ACB+A=180,即ABE+EBC+ECB+ACE+A=180,ABE+ACE=90-A=20.6.如图,1+2+3+4=.答案6.280【解析】1+2=180-40=140,3+4=180-40=140,1+2+3+4=280.7.如图,将ABC沿EF折叠,使点C落到点C处,则1+22C.(填“”“ADE;(2)EGH=ADE+A+AEF.答案5.【解析】(1)EGH是FBG的外角,EGHB,又DEBC,B=ADE,EGHADE.(2)BFE是AFE的外角,BFE=A+AEF.EGH是BFG的外角,EGH=B+BFE,EGH=B+A+AEF.由(1)知,B=ADE,EGH=ADE+A+AEF.知识点 2三角形内角和定理的推论6.2019内蒙古赤峰中考如图,点D在BC的延长线上,DEAB于点E,交AC于点F.若A=35,D=15,则ACB的度数为()A.65B.70C.75D.85答案6.B【解析】DEAB,A=35,AFE=CFD=180-90-35=55,ACB=D+CFD=15+55=70.故选B.知识点 3三角形的内角与外角的综合7.2020湖南益阳六中期中已知:如图,在ABC中,D为BC上一点,1=2,3=4,BAC=120,求DAC的度数.答案7.【解析】BAC=120,2+3=60.4是ABD的外角,1=2,3=4=1+2=22.把代入得,32=60,2=20,DAC=120-20=100.知识点 2三角形内角和定理的推论8.如图,ADBD,AE平分BAD,B=30,ACD=70,求EAB和CAE的度数.答案8.【解析】ADBD,B=30,BAD=60,又AE平分BAD,EAB=30.ACD=70,BAC=ACD-B=70-30=40,CAE=BAC-EAB=40-30=10.知识点 2三角形内角和定理的推论过能力能力强化提升训练1.2019河北石家庄期末如图,把ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED的外部时,则A,1和2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是()A.3A=21-2B.A=2(1-2)C.2A=1-2D.A=1-2答案1.C【解析】根据折叠的性质,得A=A.在AOD中,1=DOA+A,在AOE中,DOA=2+A,1=A+2+A,2A=1-2.故选C.2.2018青海中考小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中E=90,C=90,A=45,D=30,则1+2等于()A.150B.180C.210D.270答案2.C【解析】如图,1=D+DOA,2=E+EPB,DOA=COP,EPB=CPO,1+2=D+E+COP+CPO=D+E+180-C=30+90+180-90=210.故选C.3.2020广西柳州柳江区期中如图,在ABC中,B=44,C=72,AD是ABC的角平分线,则ADB的度数为.答案4.2020山东青岛市北区期末如图,BD平分ABC,ACE是ABC的外角,CD平分ACE,A=50,则D的度数为.答案4.25【解析】因为BD平分ABC,CD平分ACE,所以ABC=2DBE,ACE=2ACD=2DCE.因为ACE=A+2DBE,DCE=D+DBE,所以ACE=2DCE=2D+2DBE,所以A=2D,又因为A=50,所以D=25.5.如图,在ABC中,AD平分BAC,CDAD于点D,ABAC,求证:ACDABC.答案5.【解析】如图,延长CD交边AB于点E.AD平分BAC,EAD=CAD.ADCD,ADE=ADC=90,AED+EAD=CAD+ACD=180-90=90,AED=ACD,又AED是BEC的一个外角.AEDABC,ACDABC.6.一个零件的形状如图所示,按规定A等于90,B,D应分别等于20,30,小李量得BCD=145,他断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?答案6.【解析】如图,延长BC与AD相交于点E.由三角形的外角性质,得1=B+A=20+90=110,BCD=1+D=110+30=140.小李量得BCD=145,不是140,这个零件不合格.7.(1)如图1,这是一个五角星ABCDE,请你计算A+B+C+D+E的度数.(2)如图2,如果点B向右移动到AC上,那么还能求出A+DBE+C+D+E的大小吗?若能,结果是多少?(3)如图3,当点B向右移动到AC的右侧时,上面的结论还成立吗?请说明理由.(4)如图4,当点B,E移动到CAD的内部时,结论又如何?请说明理由.图1图2图3图4答案7.【解析】(1)如图1,由三角形的外角性质,得A+C=1,B+D=2.因为1+2+E=180,所以A+B+C+D+E=180.(2)能求出来.如图2,由三角形的外角性质,得A+D=1.因为1+DBE+C+E=180,所以A+DBE+C+D+E=180.(3)成立.如图3,由三角形的外角性质,得A+C=1,B+D=2.因为1+2+E=180,所以A+B+C+D+E=180.(4)结论成立.理由如下:如图4,延长CE与AD相交,由三角形的外角性质得,A+C=1,B+BEC=2.因为1+2+D=180,所以A+B+C+D+BEC=180.易错疑难集训集训过易错教材易错易混集训1.如图,ABC中,在BC延长线上取点D,E,连接AD,AE,则下列式子中正确的是()A.ACBACDB.ACB1+2+3C.ACB2+3D.以上都正确答案1.C易错点 1混淆或错用定理2.如图,已知1=2,3=4,5=C.证明:ABDE.答案2.【解析】因为3=4,所以ADBC(内错角相等,两直线平行),所以ADC+C=180(两直线平行,同旁内角互补),又因为5=C,所以ADC+5=180,所以AFCD(同旁内角互补,两直线平行),所以2=AGD(两直线平行,内错角相等),又因为1=2,所以1=AGD,所以ABDE(内错角相等,两直线平行).易错点 1混淆或错用定理3.2019广东广州中考一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转(090),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则的度数为.答案3.15或60【解析】分两种情况:如图1,当DEBC时,CFD=180-90-C=60,DAF=CFD-D=60-45=15,即的度数为15;如图2,当ADBC时,BAD=180-90-B=30,CAD=90-BAD=60,即的度数为60.综上所述,的度数为15或60.易错点 2忽略分类讨论图1图24.在ABC中,B=C,BD是AC边上的高,ABD=30,求C的度数.答案4.【解析】分两种情况:(1)当ABC为锐角三角形时,如图1所示.在ABD中,因为BD是AC边上的高,所以ADB=90,所以A=180-ADB-ABD=180-90-30=60,又因为A+ABC+C=180,所以ABC+C=120.因为ABC=C,所以C=60.(2)当ABC为钝角三角形时,如图2所示.在RtABD中,因为ABD=30,所以BAD=60,所以BAD=ABC+C=60.因为ABC=C,所以C=30.综上,C的度数为60或30.易错点 2忽略分类讨论图1图2过疑难常考疑难问题突破1.将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放,使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上,求1+2的度数.答案1.【解析】解法一(添加辅助线构造内错角)如图1,过点E作EFAB,交AC于点F.因为EFAB,所以1=MEF.因为ABCD,EFAB,所以EFCD,所以2=NEF.因为MEF+NEF=MEN=90,所以1+2=90.疑难点 1平行线相关问题中作辅助线的方法图1答案解法二(添加辅助线构造同旁内角)如图2,过点E作EFAB,交BD于点F.因为EFAB,所以1+MEF=180.因为ABCD,EFAB,所以EFCD,所以2+NEF=180.所以1+2+MEF+NEF=360.因为MEN+MEF+NEF=360,所以MEN=1+2.因为MEN=90,所以1+2=90.解法三(添加辅助线构造三角形)如图3,延长ME交CD于点G.因为ABCD,所以1=EGN.因为MEN为EGN的外角,所以MEN=EGN+2=1+2.因为MEN=90,所以1+2=90.图3图22.(1)探究:如图1,求证:BOC=A+B+C.(2)应用:如图2,ABC=100,DEF=130,求A+C+D+F的度数.答案2.【解析】(1)如图1,连接AO并延长.3是ABO的外角,1+B=3.4是AOC的外角,2+C=4.+,得1+B+2+C=3+4,BOC=3+4=(1+2)+B+C=BAC+B+C.(2)如图2,连接AD.由(1),得F+2+3=DEF,1+4+C=ABC,+,得F+2+3+1+4+C=DEF+ABC=130+100=230.BAF=1+2,CDE=3+4,BAF+C+CDE+F=230.疑难点 2三角形内角和定理及其推论有关的应用