三角函数的概念课件（一）-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

三角函数的概念环节一 三角函数的概念（一）创设创设情境情境问题1 如图，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况根据已有的研究函数的经验，你认为我们需要研究哪些内容？答案：明确研究背景对应关系的特点分析下定义研究性质1形成概念问题2 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP（1）如图，当=时，点P的坐标是什么？求解的依据是什么？（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？新知探究新知探究新知探究新知探究答案：（1）点P的坐标是(，)，求解的依据是勾股定理；（2）步骤：如图，画出的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在RtOMP中，利用勾股定理可得点P的坐标是(，)点P的坐标是唯一确定的1形成概念1形成概念 追问1 当=或 时，能利用上述的方法求解吗？若不能，如何转化？点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？新知探究新知探究答案：画出 的终边OP，显然点P的坐标为(0，1)画出 的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，MOP=，在RtOMP中，利用勾股定理，且点P在第二象限，可得点P的坐标是(，)点P的坐标是唯一确定的 1形成概念 追问2 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？答案：对于R中的任意一个角，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数新知探究新知探究1形成概念 定义 设是一个任意角，R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)（1）把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin，即y=sin；新知探究新知探究（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos，即y=cos；（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan（x0）1形成概念新知探究新知探究追问3 对于R中的任意一个角，是唯一确定的吗？为什么？是的函数吗？答案：当=+k（kZ）时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标等于0，所以 =tan无意义除此之外，对于确定的角，点P(x，y)的横坐标和纵坐标都是唯一确定的，所以 也是唯一确定的由此可知，=tan（x0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数1形成概念 定义 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数通常将它们记为：正弦函数 y=sinx；新知探究新知探究余弦函数 y=cosx；正切函数 y=tanx，x +k（kZ）2理解概念问题3 请同学们先阅读教科书，再回答如下问题：（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（1）符号sin，cos和tan分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？（3）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？为什么？新知探究新知探究（2）正弦函数的对应关系：点P的纵坐标y；余弦函数的对应关系：点P的横坐标x；正切函数的对应关系：答案：（1）分别表示sin=y，cos=x，tan=；引入过符号logab表示ax=b中的x新知探究新知探究（3）正弦函数、余弦函数的定义域是R；正切函数的定义域是xR|x +k，kZ 2理解概念答案：作出RtABC，其中A=x，C=90，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的非负半轴上，可得出y1=z1的结论对于余弦、正切也有相同的结论问题4 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数设x(0，)，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1，y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？新知探究新知探究2理解概念4应用概念例1 利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值追问 依据三角函数定义，如何求一个角的三角函数值？答案：利用勾股定理求出角与单位圆交点的坐标，然后根据定义，求得角的三角函数值在直角坐标系中，作AOB=（如图）易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，)所以，sin =，cos =，tan =新知探究新知探究4应用概念sin=0，cos=1，tan=0；sin =1，cos =0，的正切值不存在新知探究新知探究练习 利用三角函数定义，求0，的三个三角函数值答案：sin0=0，cos0=1，tan0=0；sin =1，cos =0，的正切值不存在4应用概念例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r求证：sin=，cos=，tan=（2）在你所作出的图形中，你发现 ，与任意角的三角函数有怎样的关系？依据什么？追问（1）根据三角函数的定义，如何作图得到sin，cos，tan呢？新知探究新知探究4应用概念答案：（1）作单位圆，求出单位圆与OP的交点(x0，y0)，则sin=y0，cos=x0，tan=（2）发现 =y0=sin，=x0=cos，=tan新知探究新知探究4应用概念证明：如图，设角的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，OMPOM0P0新知探究新知探究于是 ，即|y0|=因为y0与y同号，所以y0=，即sin=同理可得cos=；tan=4应用概念追问 例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？答案：设是任意一个角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则 ，分别叫做角的正弦、余弦、正切新知探究新知探究4应用概念练习 已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s求2 s时点P所在的位置解：以坐标原点为圆心O，OP所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系2s时点P所在位置记为Q因为点P是在圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s，所以圆心角POQ2rad又因为圆的半径为2，所以2s时，点P在该坐标系中的位置为（2cos2，2sin2）新知探究新知探究归纳小结归纳小结（1）任意角三角函数的现实背景是什么？（2）三角函数的概念是什么？它的定义方法与幂函数、指数函数的定义方法有什么不同？任意角三角函数与锐角三角函数有哪些区别和联系？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？问题5 本节课学习了三角函数的概念，结合下述问题，完成本节课的总结：归纳小结归纳小结（2）对于R中的任意一个角，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，sin=y，cos=x，tan=幂函数、指数函数等是通过具体实例的共性归纳而抽象出来的，而三角函数概念是直接由单位圆上的点的运动规律的描述得到的任意角三角函数与锐角三角函数的区别是：锐角三角函数是用直角三角形边长的比来刻画的，它的引入与“解三角形”有直接关系；而任意角的三角函数是通过角的终边与单位圆的交点坐标或坐标比来定义的，它主要是用来刻画周期变化现象的它们的联系是：当x(0,)时，对应的函数值相等答案：（1）任意角三角函数的现实背景是周期现象；归纳小结归纳小结（3）