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高等代数初等因子第1页，本讲稿共14页5 5 初等因子初等因子一、初等因子的概念Definition 设 的不变因子为。如果 其中为非负整数，为数域上 互异的首1 系数的不可约多项式。则称 为的初等因子，而 为的全部 初等因子为 的初等因子(组)。第2页，本讲稿共14页Remark 1:初等因子与数域有关 Remark 2:初等因子必须是不可约因式的方幂全体，则称的全部初等因子为的初等因子.Remark 3:例1设域 上 矩阵 的标准形为 求 的初等因子第3页，本讲稿共14页二、初等因子与不变因子的关系1.已知 的不变因子，可求出其初等因子则 的初等因子为第4页，本讲稿共14页Properties2)1)在属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的分解式中，的性质，即.例如：同一个不可约因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在 的分解中.属于同一个不可约因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.Conclusion 初等因子由不变因子唯一确定第5页，本讲稿共14页Proposition等价的 矩阵有相同的初等因子。Remark 该命题的逆不成立。例如：的初等因子相同，但它们不等价。第6页，本讲稿共14页2.已知 的秩和初等因子，可求出 的的不变因子二、初等因子与不变因子的关系方法：将初等因子的方幂按降幂排列(当这些方幂不足 个时，用1补足到 个)为则为所求第7页，本讲稿共14页Theorem它们的秩和初等因子相同.Corollary 1它们初等因子相同.Corollary 2它们的初等因子相同.第8页，本讲稿共14页三、初等因子的求法Theorem 对角 矩阵的初等因子等于其对角线上诸多项式的不可约因式方幂的全体.Lemma 1 设多项式与互素,则Example第9页，本讲稿共14页Lemma 2 设且,则第10页，本讲稿共14页Corollary 设在复数域上等价于一个对角阵把分解为一次因式的幂,则所有这些一次因式的方幂为 的初等因子.第11页，本讲稿共14页Example求的初等因子返回第12页，本讲稿共14页Example求的初等因子第13页，本讲稿共14页谢谢谢谢,再见再见!第14页，本讲稿共14页