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高等量子力学基本原理第1页，本讲稿共34页1 波函数的统计解释原理波函数的统计解释原理经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2.2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。粒子和波的经典观点:第2页，本讲稿共34页经典粒子的图像在经典物理中，粒子的概念抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。为叙述的方便，可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道（m,x,t）经典波动的图像 波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运动 第3页，本讲稿共34页微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波deBroglie 波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。微观粒子状态的量子描述第4页，本讲稿共34页(1)是怎样描述粒子的状态呢？(3)如何体现波粒二象性的？(2)描写的是什么样的波呢？三个问题？第5页，本讲稿共34页(1)入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦 显示衍射图样;(2)入射电子流强度大，很快显示衍射图样.单电子衍射实验(1)(1)“亮纹亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概 率大。率大。“暗纹暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该 处的概率小。处的概率小。(2)(2)衍射图样由电子波动性引起衍射图样由电子波动性引起 “亮纹亮纹”处表示该处波强度处表示该处波强度|(r)|(r)|2 2大，大，“暗纹暗纹”处表示该处波强度处表示该处波强度|(r)|(r)|2 2小，小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比.单电子衍射实验结果分析第6页，本讲稿共34页当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子-“光子光子”组成的。当光强极组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。子事件累积起来呈现干涉条纹。光双缝干涉实验 第7页，本讲稿共34页 两种错误的两种错误的看法看法（1）波由粒子组成如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍不能解释长时间单个电子衍射实验射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。的波动性的一面，具有片面性。第8页，本讲稿共34页（2）粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。l 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 1 。物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性一面，也物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性一面，也具有片面性。具有片面性。第9页，本讲稿共34页争论：微观粒子是波还是粒子薛定谔：薛定谔：不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以用波动方程来只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以用波动方程来表达基本的运动方式。表达基本的运动方式。海森堡：海森堡：物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。从物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。从原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电子在能级间的原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电子在能级间的跃迁，都显示出大自然是不连续的。跃迁，都显示出大自然是不连续的。薛定谔：薛定谔：粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬的粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬的外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子无疑外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展都不大，可以看成是一个都不大，可以看成是一个波包波包。当这种。当这种波包波包做为一做为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是本质上它还个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是本质上它还是波。是波。第10页，本讲稿共34页l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是，既不是经典的粒子也不是经典的波经典的波;“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。概念中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中粒子意味着 1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;2干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着 第11页，本讲稿共34页u衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。u波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born Born 提出了波函提出了波函数意义的统计解释。数意义的统计解释。r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在 r 点附近的概率。在电子衍射实验中，照相底片上 玻恩的解释玻恩的解释（18821970）1954年诺贝尔物理学奖 第12页，本讲稿共34页 据据此此，描描写写粒粒子子的的波波可可以以认认为为是是概概率率波波，反反映映微微观观客客体体运运动的一种统计规律性，波函数动的一种统计规律性，波函数(r r)有时也称为概率波幅有时也称为概率波幅.这这就就是是首首先先由由 BornBorn 提提出出的的波波函函数数的的概概率率解解释释，它它是是量量子力学的基本原理子力学的基本原理。假设衍射波用假设衍射波用 (r)描述，衍射花纹的强度则用描述，衍射花纹的强度则用|(r)|2 描述。描述。|(r)|2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r 点附近概率的大小点附近概率的大小.确切的说确切的说|(r)|2 xyz 表表示示在在 r 点点处处，体体积积元元xyz中中找找到到粒粒子子的的概概率率。波波函函数数在在空空间间某某点点的的强强度度（振振幅幅绝绝对对值值的的平平方方）和和在在这这点点找找到到粒粒子子的的概概率成比例率成比例.波函数模的平方 与粒子 时刻在 处附近出现的概率成正比。第13页，本讲稿共34页 （1 1）“微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态用用波波函函数数描描述述，描描写写粒粒子子的的波波是是概概率率波波”，这这是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本假假设设（基本原理）基本原理）。知知道道了了描描述述微微观观粒粒子子状状态态的的波波函函数数，就就可可知知道道粒粒子子在在空空间间各各点点处处出出现现的的概概率率，以以后后的的讨讨论论进进一一步步知知道道，波波函函数数给给出出体体系系的的一一切切性性质质，因因此此说说波波函函数数描描写写体体系系的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态）（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。小结第14页，本讲稿共34页 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。性也依赖于实验的证实。1.若 是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态 2.当体系处于 态时，发现体系处于 态的概率是 ，并且2 态叠加原理态叠加原理第15页，本讲稿共34页经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别1、经典粒子和量子粒子 相同：局域，不连续 不同 经典：确定的轨道、坐标、动量等 量子：无确定的轨道，概率 2、经典波和概率波 相同：均满足叠加原理（1）叠加 不同（3）数学表达式（2）振幅变化 经典：各 观测时同时出现于 中 量子：各 观测时不能同时出现于 中 经典：不同状态 量子：同一状态 经典：实函数（可测察量）量子：复函数（不可测察量）第16页，本讲稿共34页3 体系状态波函数满足薛定谔方程体系状态波函数满足薛定谔方程微观粒子运动状态用波函数完全描述，波函数确定之后，量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各 种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。第17页，本讲稿共34页Schrodinger 的方程一般表达式薛定谔方程知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。第18页，本讲稿共34页当 不显含时间t 时,体系的能量是守恒量对于一个粒子在势场 中运动的特殊情况,有定态薛定谔方程定态薛定谔方程：本征能量值谱：本征函数系：本征波函数任意状态 第19页，本讲稿共34页判别定态的方法：（1）能量是否为确定值（2）概率与时间无关（3）概率流密度与时间无关非定态：一个粒子不是处于能量本征态，而是若干个能量本征态的叠加测量粒子的能量时,求和中所包含的能量本征值En都有可能出现,出现的概率为称这种态为非定态第20页，本讲稿共34页4 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示 经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动动量量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。量量子子力力学学引引入入了了波波函函数数这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。但但并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力力学学量量。于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念算算符符，用它表示量子力学中的力学量用它表示量子力学中的力学量。第21页，本讲稿共34页什么是算符?算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商，故称为微商算符。2）x u=v，x 也是算符。它对 u 作用 是使 u 变成 v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：u=v 表示 把函数 u 变成 v，就是这种变 换的算符。（一）算符的定义与构造第22页，本讲稿共34页Ex.动能算符 角动量算符 若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。构造力学量算符的规则：构造力学量算符的规则：第23页，本讲稿共34页 （1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符（2 2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。即 注意第24页，本讲稿共34页力学量算符坐标表象动量表象坐标算符动量算符力学量算符其中第25页，本讲稿共34页(二）算符的本征方程、本征值与本征函数算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以 此称为算符 的本征方程 即 称为其本征值，为其本征函数。如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 第26页，本讲稿共34页算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以可以证明明:()+=+(.)+=.+（1 1）复共轭算符与）复共轭算符与厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符算符算符的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭.例如:坐标表象中可以证明：(三三)厄密算符厄密算符第27页，本讲稿共34页(2)(2)(2)(2)厄密算符厄密算符厄密算符厄密算符1.定义:满足下列关系 的算符称为 厄密算符.2.性质性性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则 (+)+=+=(+)性性质 II:两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算符算符,除非二算符除非二算符对易。易。因因为 ()+=+=仅当当 ,=0 成立成立时,()+=才成立。才成立。设 为厄米算符，其本征方程（实数）证:性质性质III:厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数第28页，本讲稿共34页例第29页，本讲稿共34页例第30页，本讲稿共34页第31页，本讲稿共34页例 第32页，本讲稿共34页第33页，本讲稿共34页量子力学基本假定量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的(如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量,则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：第34页，本讲稿共34页