小波分析的应用技术.pptx

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。随着小波理论的日益成熟，人们对小波分析的实际应用越来越重视，小波分析的应用领域也变得十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语音的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、高维矩阵运算、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；第1页/共307页在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等；在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。第2页/共307页在本章里，我们将详细讲解小波分析的一般应用技术。在上一章，我们知道，MATLAB所提供的小波分析工具有两种：第一种提供的是命令行形式的函数，用户可通过这些函数，根据实际分析的需要，在调试状态下，编写自己的MATLAB程序。这种方式虽不直观，但它可以按照用户自己的思维，编写出功能强大的MATLAB程序，完成各种信号的小波分析。第二种提供的是图形用户接口(Graphic User Interface，GUI)工具，这种方式简单直观，不需要进行复杂的编程，并且将计算结果直接以图形方式显示出来，第3页/共307页用户可以立即评价自己分析的结果是否正确，但是GUI方式的处理模式比较固定，且它所提供的小波函数种类较少，在进行复杂的信号分析时，有些功能无法实现。从思维角度来讲，利用MATLAB提供的命令行形式的函数编程，可以领会小波分析中的许多细节部分，因此在本章中，我们只讲解第一种方式的应用。第4页/共307页首先，我们将用于一维小波图像分析的主要函数作一个简要介绍，这些函数在第2章中已作过详细说明，在此，为了方便读者的使用而作一个归纳总结，具体每个函数的用法，请参阅第2章的有关内容。表3-1表3-5列出了用于一维信号分析的函数的函数名及其功能。3.1一维小波分析的应用一维小波分析的应用第5页/共307页表3-1一维小波分解函数第6页/共307页表3-2一维小波重建函数第7页/共307页表3-3一维小波分解结构应用函数第8页/共307页表3-4噪声函数第9页/共307页表3-5一维小波消噪和压缩函数第10页/共307页3.1.1数学计算在这里，我们用小波分析这一数学工具处理一些数学问题，从某种意义上讲，这种应用可帮助读者对小波分析理论有更进一步的理解。例3-1：对于一给定的正弦信号s(i)sin(ip p/100p p/4)，i0，1，99，请利用多分辨分析对该信号进行分解与重构。(P280)解：该问题可以说是一个纯粹的数学问题，通过对该问题的讲解，我们可以加深对小波分析中的多分辨分析的理解，即如何对信号进行多层分解与重构。第11页/共307页wavedec功能：多尺度一维小波分解(一维多分辨分析函数)。格式：C，Lwavedec(X，N，wname)；C，Lwavedec(X，N，Lo_D，Hi_D)。说明：wavedec函数用小波或分解滤波器完成对信号X的一维多尺度分解，N为尺度，且是严格的正整数。输出参数C是由cAj，cDj，cDj1，cD1组成，L是由cAj的长度，cDj的长度，cDj1的长度，cD1的长度，X的长度组成的。以一个3尺度分解为例，其分解结构的组织形式如图2.31所示。第12页/共307页图2.31第13页/共307页格式返回如图所示的分解结构。算法说明：给定一个长度为N的信号S，离散小波分解(DWT)最多可以把信号分解成log2N个频率级。第一步分解开始于信号S，分解后分解系数由两部分组成：低频系数向量cA1和高频系数向量cD1，向量cA1是由信号S与低通分解滤波器Lo_D经过卷积运算得到，向量cD1是由信号S与高通分解滤波器Hi_D经过卷积运算得到。为了更加清楚说明第一步分解，其分解过程如图2.32所示。其中，：信号与滤波器的卷积；：抽取向量中标号为偶数的元素。第14页/共307页图2.32第15页/共307页例2-53：loadsumsin；ssumsin；subplot(211)；plot(s)；%画出原始信号的波形title(原始信号)；%用小波函数db1对信号进行3尺度的小波分解c，lwavedec(s，3，db1)；subplot(212)；plot(c)；%画出变换后的波形title(信号S的3尺度小波分解结构)；Xlabel(尺度3的低频系数和尺度3、2和1的高频系数)；axis(0，1000，5，5)；输出结果如图2.33所示。参见：dwt，waveinfo，waverec，wfilters，wmaxlev。第16页/共307页图2.33第17页/共307页appcoef功能：提取一维小波变换低频系数。格式：Aappcoef(C，L，wname，N)；Aappcoef(C，L，wname)；Aappcoef(C，L，Lo_R，Hi_R)；Aappcoef(C，L，Lo_R，Hi_R，N)。第18页/共307页说明：该函数是一个一维小波分析函数，它用于从小波分解结构C，L中提取一维信号的低频系数。其中，C，L为小波分解结构，wname为小波函数，N为尺度。格式计算尺度N(N必须为一个正整数且0Nlength(L)2)时的一维分解低频系数；格式用于提取最后一尺度(尺度Nlength(L)2)的小波变换低频系数；格式、是用滤波器Lo_R和Hi_R进行信号低频系数的提取，一般说来，该滤波器是与某一小波函数相关的，通常可由wfilters函数得到。返回系数A是一个向量，向量的元素个数为length(s)/2N。第19页/共307页例2-54：%下面装载一维信号loadleleccum；sleleccum(1：2000)；lslength(s)；subplot(311)；plot(s)；title(原始信号)；%尺度为3，小波函数为db1时进行分解c，lwavedec(s，3，db1)；%从小波分解结构c，l中提取尺度1、2的低频系数ca1appcoef(c，l，db1，1)；subplot(323)；plot(ca1)；Ylabel(ca1)；第20页/共307页ca2appcoef(c，l，db1，2)；subplot(349)；plot(ca2)；Ylabel(ca2)；输出结果如图2.34所示。参见：detcoef，wavedec。第21页/共307页图2.34第22页/共307页detcoef功能：提取一维小波变换高频系数。格式：Ddetcoef(C，L，N)；Ddetcoef(C，L，)。说明：该函数是一个一维小波分析函数，它与appcoef函数相对应，用来计算一维小波变换后的高频系数。格式提取尺度为N(N必须为一个正整数且0Nlength(L)2)，分解结构为C，L的一维分解高频系数；格式用于提取最后一尺度(尺度Nlength(L)2)的一维分解高频系数。该函数返回一个向量，且其长度为length(s)/2N。第23页/共307页例2-55：%下面装载一维信号loadleleccum；sleleccum(1：2000)；lslength(s)；%画出原始信号波形subplot(311)；plot(s)；title(原始信号)；%尺度为3，小波函数为db1时进行分解c，lwavedec(s，3，db1)；%从小波分解结构c，l中提取尺度分别为1，2的高频系数cd1detcoef(c，l，1)；第24页/共307页subplot(323)；plot(cd1)；Ylabel(cd1)；cd2detcoef(c，l，2)；subplot(349)；plot(cd2)；Ylabel(cd2)；输出结果如图2.35所示。参见：appcoef，wavedec。第25页/共307页图2.35第26页/共307页waverec功能：多尺度一维小波重构。格式：Xwaverec(C，L，wname)；Xwaverec(C，L，Lo_R，Hi_R)。说明：该函数是用指定的小波函数或重构滤波器对小波分解结构C，L进行多尺度一维小波重构，它是wavedec函数的逆函数，即有Xwaverec(wavedec(X，N，wname)，wname)另外，Xwaverec(C，L，wname)与Xappcoef(C，L，wname，0)具有等价性。格式是用小波函数进行重构，格式是用重构滤波器进行重构。第27页/共307页例2-56：%装载一个一维信号loadleleccum；sleleccum(1：3920)；lslength(s)；subplot(211)；plot(s)；%画出原始信号的波形图title(原始信号)；%用小波函数db5对信号进行3尺度分解c，lwavedec(s，3，db5)；%在小波分解结构c，l的基础上对信号进行重构awaverec(c，l，db5)；第28页/共307页subplot(212)；plot(a)；%画出重构后的信号波形图title(重构信号)；%检测重构的误差errnorm(sa)输出结果如图2.36所示。err1.6717e009参见：appcoef，idwt，wavedec。第29页/共307页图2.36第30页/共307页在这里，我们分别选用db1和coif3小波对该正弦信号进行三层多分辨分析，处理过程可编程如下：t0：pi/100：4*pi；ssin(tpi/4)；subplot(532)；plot(s)；title(原始信号)；c，lwavedec(s，3，db1)；grid；ca3appcoef(c，l，db1，3)；%提取小波分解的低频系数cd3detcoef(c，l，3)；%提取第三层的高频系数cd2detcoef(c，l，2)；%提取第二层的高频系数第31页/共307页cd1detcoef(c，l，1)；%提取第一层的高频系数figure(2)；subplot(421)；plot(ca3)；title(第三层低频系数)；subplot(423)；plot(cd1)；title(第一层高频系数)；subplot(425)；plot(cd2)；title(第二层高频系数)；subplot(427)；plot(cd3)；title(第三层高频系数)；s1waverec(c，l，db1)；第32页/共307页 c，lwavedec(s，3，coif3)；grid；ca3appcoef(c，l，coif3，3)；%提取小波分解的低频系数cd3detcoef(c，l，3)；%提取第三层的高频系数cd2detcoef(c，l，2)；%提取第二层的高频系数cd1detcoef(c，l，1)；%提取第一层的高频系数subplot(422)；plot(ca3)；title(第三层低频系数)；subplot(424)；plot(cd1)；title(第一层高频系数)；subplot(426)；plot(cd2)；title(第二层高频系数)；第33页/共307页subplot(428)；plot(cd3)；title(第三层高频系数)；s2waverec(c，l，coif3)；figure(3)；subplot(521)；plot(s1)；grid；title(db1小波重构信号)；c，lwavedec(s，3，coif3)；subplot(522)；plot(s2)；grid；title(coif3小波重构信号)输出结果如图3.1所示。第34页/共307页图3.1第35页/共307页例3-2：给定一信号(信号文件名为leleccum.mat)，请用db1小波对信号分别进行单尺度和三尺度分解，求出各次分解的低频系数和高频系数，并分别对低频系数、高频系数以及低高频系数进行重构。解：该问题是运用小波分析进行信号单、多尺度分解与重构方法的一次全面的讨论。通过对该问题的分析，主要让读者清楚如何用小波分析对信号进行单尺度、多尺度分解以及对信号进行部分重构以及全面重构。第36页/共307页dwt功能：单尺度一维离散小波变换。格式：cA，cDdwt(X，wname)；cA，cDdwt(X，wname，mode，MODE)；cA，cDdwt(X，Lo_D，Hi_D)；cA，cDdwt(X，Lo_D，Hi_D，mode，MODE)。第37页/共307页说明：该函数用于进行一维离散小波分解，X为被分析的离散信号，wname为分解所用到的小波函数，Lo_D、Hi_D为分解滤波器，cA和cD分别为返回的低频系数和高频系数向量，它们长度相等且为length(X)/2(当length(X)为偶数时)或(length(X)1)/2(当length(X)为奇数时)。如果令lxlength(X)，lflength(Lo_R)，则有length(cA)length(cD)floor(lxlf2)/2)形如格式cA，cDdwt(.，mode，MODE)的表达式用于计算按指定扩展模式的小波分解。参数MODE是一个包含指定扩展模式的字符，详细说明参见函数dwtmode。第38页/共307页例2-50：loadnoissin；%装载原始一维信号snoissin(1：1000)；%画出原始信号的波形subplot(411)；plot(s)；title(原始信号)；%下面用haar小波函数进行一维离散小波变换ca1，cd1dwt(s，haar)；subplot(4，2，3)；plot(ca1)；Ylabel(haar(ca1)；第39页/共307页subplot(4，2，4)；plot(cd1)；Ylabel(haar(cd1)；%给定一个小波db2，计算与之相关的分解滤波器Lo_D，Hi_Dwfilters(db2，d)；%用分解滤波器Lo_D，Hi_D计算信号s的离散小波分解系数ca2，cd2dwt(s，Lo_D，Hi_D)；subplot(4，2，5)；plot(ca2)；Ylabel(db2(ca2)；subplot(4，2，6)；plot(cd2)；Ylabel(db2(cd2)；输出结果如图2.28所示。参见：dwtmode，idwt，wavedec，waveinfo。第40页/共307页图2.28第41页/共307页idwt功能：单尺度一维离散小波逆变换。格式：Xidwt(cA，cD，wname)；Xidwt(cA，cD，Lo_R，Hi_R)；Xidwt(cA，cD，wname，L)；Xidwt(cA，cD，Lo_R，Hi_R，L)；Xidwt(.，mode，MODE)。第42页/共307页说明：该函数用于单尺度一维离散小波变换的重构。对格式、，它是用小波函数进行重构的，对于格式、，它是用重构滤波器进行重构的。其中，cA和cD的长度是相等的，Lo_R和Hi_R的长度是相等的。格式用来用指定的延拓模式MODE进行小波重构。返回系数X为重构后信号的向量。如果cA的长度为la，Lo_R的长度为lf，则X的长度为length(X)2*lalf2。对于格式、，则是对信号中间长度为L的部分进行重构，L0)，SORH参数用于软、硬阈值的选择。如果SORH s，则为软阈值处理。对于软件阈值处理，Ywthresh(X，s，T)返回的是YSIGN(X)(|X|T)，即把信号的绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为0，大于阈值的点变为该点值与阈值的差值。第111页/共307页如果SORH h，则为硬阈值处理。对于硬阈值处理，Ywthresh(X，h，T)返回的是YX，1(|X|T)，即把信号的绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为0，大于阈值的点保持不变。一般说来，用硬阈值处理后的信号比用软阈值处理后的信号更为粗糙。第112页/共307页3.平稳信号消噪例3-8：某单位为了考察其用电情况，对其中三天的电网电压值进行监测，得到了一个电压采样序列，但由于在采样过程中，监测设备出现了一些故障，使得所采集的信号引入了噪声，现利用小波分析，将这种由于仪器故障引起的噪声进行消噪处理。解：该问题是一个消噪问题，利用小波消噪的基本原理，首先我们选择一个小波db1，然后确定小波分解的层数N(在这里N取3)。小波消噪处理的方法一般有三种：第113页/共307页(1)强制消噪处理。该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0，即把高频部分全部滤除掉，然后再对信号进行重构处理。这种方法比较简单，重构后的消噪信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成分。(2)默认阈值消噪处理。该方法利用ddencmp函数产生信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消噪处理。(3)给定软(或硬)阈值消噪处理。在实际的消噪处理过程中，阈值往往可以通过经验公式获得，而且这种阈值比默认阈值更具有可信度。在进行阈值量化处理中可用wthresh函数进行。第114页/共307页针对本问题，这里分别以上面三种消噪方法进行消噪处理，并对消噪的结果加以对比。程序如下：%采集的信号已经按照MATLAB格式存成MAT文件，文件名为leleccum.matloadleleccum；%将信号装入MATLAB工作环境sleleccum(1：3920)；%取采样信号的前13920个采样点lslength(s)；%计算采样序列长度subplot(221)；plot(s)；%画出原始信号波形第115页/共307页title(原始信号)；grid；c，lwavedec(s，3，db1)；%采用db1小波并对信号进行三层分解ca3appcoef(c，l，db1，3)；%提取小波分解的低频系数cd3detcoef(c，l，3)；%提取第三层的高频系数cd2detcoef(c，l，2)；%提取第二层的高频系数cd1detcoef(c，l，1)；%提取第一层的高频系数%下面对信号进行强制消噪处理cdd3zeros(1，length(cd3)；cdd2zeros(1，length(cd2)；第116页/共307页cdd1zeros(1，length(cd1)；c1ca3，cdd3，cdd2，cdd1；s1waverec(c1，l，db1)；%c1，l为新的分解结构subplot(222)；plot(s1)；%画出对信号进行强制消噪的波形图title(强制消噪波形图)；grid；%下面利用默认阈值进行消噪处理%用ddencmp函数获得信号的默认阈值，使用wdencmp命令函数来实现消噪过程第117页/共307页thr，sorh，keepappddencmp(den，wv，s)；s2wdencmp(gbl，c，l，db1，3，thr，sorh，keepapp)；subplot(223)；plot(s2)；title(默认阈值消噪后的信号)；grid；%下面给定的软阈值进行消噪cd1softwthresh(cd1，s，1.456)；%对第一层的高频系数，阈值取为1.456第118页/共307页cd2softwthresh(cd2，s，1.832)；%对第二层的高频系数，阈值取为1.832cd3softwthresh(cd3，s，2.786)；%对第三层的高频系数，阈值取为2.786c2ca3，cd3soft，cd2soft，cd1soft；s3waverec(c2，l，db1)；%c2，l为给定阈值量化后的分解结构subplot(224)；plot(s3)；title(给定软阈值消噪后的信号)；grid；输出结果如图3.8所示。第119页/共307页图3.8第120页/共307页从图3.8我们可以看出，强制消噪处理后的信号较为光滑，但它有可能失去了信号中的有用成分。而默认阈值消噪处理和给定阈值消噪处理则在实际应用中更实用一些。第121页/共307页4.非平稳信号消噪在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要作信号的预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。而这种信号的消噪，用传统的傅立叶变换分析，显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点上的信号变化情况，使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个谱图。第122页/共307页而小波分析由于能同时在时、频域中对信号进行分析(并且在频率域内分辨率高时，时间域内分辨率低，在频率域内分辨率低时，时间域内分辨率高，有自动变焦的功能)，因此它能有效地区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。下面将一个信号加入白噪声，然后用傅立叶分析方法和小波分析方法同时对加入白噪声的信号进行消噪处理，可以看出小波分析比传统的傅立叶分析的优越性。第123页/共307页wnoise功能：产生含噪声的测试函数数据。格式：Xwnoise(FUN，N)；X，XNwnoise(FUN，N，SQRT_SNR)；X，XNwnoise(FUN，N，SQRT_SNR，INIT)。说明：格式返回由FUN所给的测试信号，N表示在0，1范围内采样点个数为2N个。格式返回同格式的一个测试向量X和包含高斯白噪声N(0，1)的测试向量XN，XN中的信噪比为SNR(SQRT_SNR)2。第124页/共307页格式类似于格式，只是噪声发生器要设定为值INIT。参数FUN的取值情况如表2-10所示。第125页/共307页表2-10产生函数的类型第126页/共307页例3-9：产生一含噪声的矩形波信号，请分别用小波分析和傅里叶变换进行信号噪声消除。解：该问题是一个非平稳信号噪声消除的问题，可按如下程序进行噪声消除。程序如下：snr4；%设置信噪比init2055615866；%设置随机数初值%产生原始信号xref和含白噪声信号xxref，xwnoise(1，11，snr，init)；xrefxref(1：2000)；xx(1：2000)；第127页/共307页%用sym8小波进行三层分解并用heursure软阈值进行小波系数阈值量化xdwden(x，heursure，s，one，3，sym8)；%进行消噪处理figure(1)；subplot(3，2，1)；plot(xref)；title(原始信号)；subplot(3，2，2)；plot(x)；title(含噪声信号)；%下面用Fourier变换进行信号噪声消除xxreffft(xref)；%对原始信号进行傅立叶变换第128页/共307页xxrefabs(xxref)；xxfft(x)；%对含噪信号进行傅立叶变换absxxabs(xx)；%下面画出Fourier变换后的频谱图figure(2)；subplot(3，2，1)；plot(xxref)；title(原始信号的谱图)；subplot(3，2，2)；plot(absxx)；title(含噪信号的谱图)；%进行低通滤波，滤波频率为0100的相对频率indd2200：1800；第129页/共307页xx(indd2)zeros(size(indd2)；xdenifft(xx)；%进行傅立叶反变换xdenreal(xden)；%提取反变换后的实数部分xdenabs(xden)；figure(3)；subplot(3，2，1)；plot(xd)；title(小波消噪后的信号)；subplot(3，2，2)；plot(xden)；title(用傅立叶分析消噪的效果)输出结果如图3.9所示。第130页/共307页图3.9第131页/共307页从图3.9的比较中可以看出，用小波进行信号的消噪可以很好地保存有用信号中的尖峰和突变部分。而用傅立叶分析进行滤波时，由于信号集中在低频部分，噪声分布在高频部分，因此，可用低通滤波器进行滤波，但是，它不能将有用信号的高频部分和噪声引起的高频干扰加以有效地区分。若低通滤波器太窄，则在滤波后，信号中仍存在大量的噪声；若低通滤波器太宽，则将一部分有用信号当作噪声而滤掉了。因此，小波分析对非平稳信号消噪有着傅里叶分析不可比拟的优点。下面再举一例说明一维小波分析在消噪中的应用。第132页/共307页例3-10：现有某型导弹的伺服机构的一组测试数据，在测试时受到噪声的污染，请用小波分析进行信号的消噪，并将消噪后的信号与正常信号相比较。解：这是一个非平稳信号消噪问题，由小波分析可以方便地解决消噪的问题。程序如下：data0load(E：/sf/sf_280ms.dat)；%装载正常数据data1load(E：/sf/sf_283ms.dat)；%装载测量数据第133页/共307页fdata0data0(1：1000，1)；%读取正常数据第一列fdata1data1(1：1000，1)；%读取测量数据第一列%画出原始信号subplot(321)；plot(fdata0)；title(正常信号)；%画出含噪声的信号subplot(322)；plot(fdata1)；title(含噪声的信号)；%画出滤波前的信号误差subplot(324)；plot(fdata0fdata1)第134页/共307页title(滤波前的信号误差)；%用wdencmp进行故障信号的消噪，采用默认值thr，sorh，keepappddencmp(den，wv，fdata1)；%用全局阈值选项进行信号的消噪fdata11wdencmp(gbl，fdata1，db3，2，thr，sorh，keepapp)；%画出滤波后的信号subplot(323)；plot(fdata11)；title(滤波后的信号)；%画出滤波后的信号误差第135页/共307页subplot(326)；plot(fdata0fdata11)title(滤波后的信号误差)；输出结果如图3.10所示。第136页/共307页图3.10第137页/共307页实验结果表明，对于这些非平稳噪声的去噪问题，小波分析能达到所需的要求，滤波后的信号已经非常接近正常信号，从信号误差也可以看出，滤波后的信号误差明显降低。第138页/共307页5.小波消噪中阈值的选取规则在用一维小波进行信号的消噪和压缩过程中，都要用阈值进行小波分解系数的量化处理，在这两种信号处理中，最重要的环节就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化。所以下面对阈值的选取原则进行一下说明。根据基本的噪声模型，可以在thselect函数中使用四种规则来选取阈值，每一种规则的选择由该函数中对应输入参数tptr决定。该函数返回的是所求的阈值的值。tptr有四种规则，具体见表3-7。第139页/共307页表3-7参数tptr的四种规则第140页/共307页阈值选择规则是基于基本模型yf(t)e，其中e是白噪声N(0，1)，对于方差未知的噪声或非白噪声可以重新调节输出阈值THR(参见wden中的SCAL参数)。可以选择以下几种阈值：tptr rigrsure 是一种基于史坦的无偏似然估计(二次方程)原理的自适应阈值选择。对一个给定的阈值t，得到它的似然估计，再将非似然t最小化，就得到了所选的阈值，它是一种软件阈值估计器。tptr sqtwolog 采用固定的阈值形式，产生的阈值大小是sqrt(2*log(length(X)。第141页/共307页tptr heursure 是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择。如果信噪比很小，SURE估计有很大的噪声。如果有这种情况，就采用这种固定的阈值。tptr minimaxi 采用的也是一种固定的阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是无误差。在统计学上，这种极值原理用于设计估计器。因为已经被消噪的信号可以看做与未知回归函数的估计式相似，这种极值估计器可以在一个给定函数集中实现最大均方误差最小化。如果信号y表示的是一个高斯白噪声信号N(0，1)，那么，各个阈值选择规则下thselect命令函数是如何选取阈值的。第142页/共307页例3-11：下面给出一个白噪声信号(信号采样点的个数为1000)，请计算四种阈值选项的阈值大小。解：四种阈值的计算可按如下的程序进行。程序如下：yrandn(1，1000)；thr1thselect(y，rigrsure)thr2thselect(y，sqtwolog)thr3thselect(y，heursure)thr4thselect(y，minimaxi)第143页/共307页输出结果：thr11.8104thr23.7169thr33.7169thr42.2163第144页/共307页3.1.5识别在含噪信号中有用信号发展趋势例3-12：一个有用的斜坡信号由于被有色噪声(即能量有限噪声)所污染(信号的文件名为conislop.mat)，使有用信号的斜线趋势在时域中看不出来，利用小波分析出一个信号的整体发展趋势。解：在这个例子中，我们用一个db3小波的六层分析，使斜坡信号的斜坡发展趋势在每一层中随着层次的升高表现得越来越清楚。下面是实现这一过程的程序清单。第145页/共307页程序如下：loadcnoislop；%装入要分析的信号scnoislop；lslength(s)；c，lwavedec(s，6，db3)；%用db3小波分解信号到第六层subplot(7，1，1)；plot(s)；title(原始信号及各层重构信号)；Ylabel(s)；%对分解结构c，l中的各低频部分进行重构，并显示结果fori1：6第146页/共307页decmpwrcoef(a，c，l，db3，7i)；subplot(7，1，i1)；plot(decmp)；Ylabel(a，num2str(7i)；end输出结果如图3.11所示。第147页/共307页图3.11第148页/共307页信号中低频部分代表信号的发展趋势，在小波分析中，则对应着最大的尺度小波变换的低频系数。随着尺度的增加，时间分辨率的降低，对信号的这种发展趋势会表现得更明显。另外，我们还可在频率中理解它，尺度分解中的低频部分随着层次的增加，它含有的高频信息会随之减少。当分解到下一个层次时，就有更高频的信息被去除，剩下的就是信号的发展趋势。第149页/共307页从这里可以看出，小波分析在展示信号的发展趋势中很有用，另外，这种分析还有一个目的就是将藏在噪声中的信号显示出来。需要强调的是，信号的发展趋势代表的是信号中最低的频率部分，如果信号本身包含很陡的变化，那么在多尺度小波变换的低频部分中，显示的信号越来越不像原始信号，因为它将信号本身的陡峭变化当作高频滤掉了。第150页/共307页例3-13：对某型号导弹武器上的加速度表进行测试时，主要评定加速度表的极性及其灵敏度。加速度表正常与故障往往表现在它的低频信号(细节信号)的发展趋势不同。现用A/D采样板分别采样，得到加速度表在正常和故障两种状态时的两组数据，但由于某种原因使得测试数据中混入了噪声干扰，因而正常数据和故障数据的波形图不易区分，试用小波分析对加速度表正常与故障时信号的发展趋势加以区分。第151页/共307页解：用A/D采样板采样得到正常与故障的两组数据分别为a_152ms.dat和a_162ms.dat，现对这两组信号分别进行小波变换，然后提取信号的低频成分(细节部分)，即可以判定信号的发展趋势。该问题的处理可编程如下：loade：jba_150ms.dat；loade：jba_151ms.dat；s1a_150ms(1：10：1000)；s2a_151ms(1：10：1000)；subplot(321)；plot(s1)；title(正常情况及其发展趋势)；第152页/共307页subplot(322)；plot(s2)；title(故障情况及其发展趋势)；c，lwavedec(s1，6，db3)；%用db5小波分解信号到第六层a6wrcoef(a，c，l，db3，6)；subplot(323)；plot(a6)；Ylabel(a6)；c，lwavedec(s2，6，db3)；%用db5小波分解信号到第六层a6wrcoef(a，c，l，db3，6)；subplot(324)；plot(a6)；Ylabel(a6)；输出结果如图3.12所示。第153页/共307页图3.12第154页/共307页从第六层的近似信号，我们可以明显看出正常情况和故障情况的信号发展趋势是完全不一样的，但如果从原始图形上观察，则很难判断信号的发展趋势。第155页/共307页3.1.6提取信号中某一频率区间的信号在傅里叶分析中，如果一个信号是由几个不同频率的正弦信号所组成，则FFT可以很有效地分辨这些不同频率的正弦信号。在例3.14中，我们用小波分析来实现这一功能。所分析的信号是由三个不同频率的正弦信号组成的。第156页/共307页例3-14：给定一信号，请利用小波分析把信号的各个频率成分分开。程序如下：x0：0.05：6*pi；ssin(x)sin(10*x)sin(100*x)；%产生一个正弦叠加信号figure(1)；subplot(6，2，1)；plot(s)；title(原始信号与各层低频部分)；Ylabel(s)；第157页/共307页subplot(6，2，2)；plot(s)；title(原始信号与各层高频部分)；Ylabel(s)；c，lwavedec(s，5，db3)；%用db3小波分解信号到第五层%对分解结构c，l中各低频部分进行重构，并显示结果fori1：5decmpwrcoef(a，c，l，db3，6i)；subplot(6，2，2*i1)；plot(decmp)；第158页/共307页Ylabel(a，num2str(6i)；end%对分解结构c，l中各高频部分进行重构，并显示结果fori1：5decmpwrcoef(d，c，l，db3，6i)；subplot(6，2，2*i2)；plot(decmp)；Ylabel(d，num2str(6i)；end第159页/共307页%画出d1的放大波形图figure(2)；d1wrcoef(d，c，l，db3，1)；subplot(411)；plot(d1(1：100)；输出结果如图3.13所示。第160页/共307页图3.13第161页/共307页在图3.13显示的分解结果中可以看到，低频的第四层将正弦信号中的最低频率组成清晰地分离出来了。在小波分解中，若将信号中的最高频率成分看做是1，则各层小波分解分别是带通或低通滤波器，且各层所占的具体频带为a1：00.5d1：0.51a2：00.25d2：0.250.5a3：00.125d3：0.1250.25a4：00.0625d4：0.06250.125a5：00.03125d5：0.031250.0625第162页/共307页3.1.7信号压缩1.一维小波分析进行信号压缩的原理用一维小波之所以能够对信号压缩，是因为一个规则的信号组成可以用下面的几个部分来精确地逼近：一个数据量很小的低频系数(该低频系数需要选在一个合适的分解层上)和几个高频层的系数。第163页/共307页2.一维小波分析进行信号压缩的一般步骤与信号消噪类似，信号的压缩也分为以下几个步骤：(1)进行信号的小波分解。(2)将高频系数进行阈值量化处理。对从1到N的每一层高频系数，都可以选择不同的阈值，并且用硬阈值进行系数的量化。(3)对量化后的系数进行小波重构。第164页/共307页信号的压缩与消噪的不同之处在于第二步。一般说来，有两种比较有效的信号压缩的方法，第一种方法是对信号进行小波尺度的扩展，并且保留绝对值最大的系数。在这种情况下，可以用全局阈值来压缩信号，来实现信号的压缩或相对均方误差规范的信号恢复，这时只需用一个输入参数；第二种方法是根据每一层分解后的效果，来决定该层的阈值，而且每层的阈值是不同的。第165页/共307页例3-18：对于一给定的信号(信号序列文件名为leleccum.mat)，利用小波分析对信号进行压缩处理。解：处理过程的程序如下：loadleleccum；%将信号装入MATLAB工作环境%设置变量名s和ls，在原始信号中，只取260031000个点，其余点不予考虑sleleccum(2600：3100)；lslength(s)；c，lwavedec(s，3，db3)；%用db3小波分解信号到第三层%选用全局阈值进行信号压缩第166