2015-2016学年江西省抚州市临川一中高一(上)第一次月考数学试卷(解析版).pdf

2015-2016 学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一个选项是正确的）1已知全集 U=R，集合 A=x|2x3，集合 B=x|2x4，则（UA）B 等于（）Ax|3x4 Bx|3x4 Cx|x=2 或 3x4 Dx|3x4【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由全集 U=R，找出不属于 A 的部分，确定出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|2x3，UA=x|x2，或 x3，集合 B=x|2x4，（UA）B=x|x=2 或 3x4，故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键 2已知集合 A=x|x22x3=0，集合 B=1，0，1，2，3，且集合 M 满足 AMB，则 M 的个数为（）A32 B16 C8 D7【考点】子集与真子集【专题】集合【分析】先求出集合 A=1，3，根据 AMB 便知 M 中一定含有元素1，3，而 0，1，2 可能为集合 M 的元素，从而便可得到 M 的个数为，这样便可得出M 的个数【解答】解：A=1，3，AM；1M，3M；又 MB；0，1，2，可能是 M 的元素；M 的个数为：故选：C【点评】考查一元二次方程的解法，列举法、描述法表示集合，子集的概念，组合数的概念，以及二项式定理 3下列四组函数中，f（x）与 g（x）是同一函数的一组是（）Af（x）=|x|，g（x）=Bf（x）=x，g（x）=（）2 Cf（x）=，g（x）=x+1 Df（x）=1，g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数的性质及应用【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【解答】解：对于 A，f（x）=|x|（xR），与 g（x）=|x|（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于 B，f（x）=x（xR），与 g（x）=x（x）的定义域不同，不是同一函数；对于 C，f（x）=x+1（x1），与 g（x）=x+1（xR）的定义域不同，不是同一函数；对于 D，f（x）=1（xR），与 g（x）=x0=1（x0）的定义域不同，不是同一函数 故选：A【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目 4函数 f（x）=的定义域是（）A4，2 B4，1）（1，2 C（4，2）D（4，1）（1，2）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】由 0 指数幂的底数不等于 0，分母中根式内部的代数式大于 0 联立不等式组得答案 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得4x2 且 x1 函数 f（x）=的定义域是（4，1）（1，2）故选：D【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题 5在映射 f：AB 中，A=B=（x，y）|x，yR，且 f：（x，y）（2xy，x+2y），则元素（1，2）在 f 的作用下的原像为（）A（4，3）B（，）C（，）D（0，1）【考点】映射【专题】函数的性质及应用【分析】设元素（1，2）在 f 的作用下的原像为：（x，y），则 2xy=1，x+2y=2，解得答案【解答】解：设元素（1，2）在 f 的作用下的原像为：（x，y），则 2xy=1，x+2y=2，解得：x=0，y=1，即元素（1，2）在 f 的作用下的原像为：（0，1），故选：D【点评】本题考查的知识点是映射，由原象求象是求代数式的值，由象求原象是解方程（组）6在同一个平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的可能是（）A B C D【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，a0，x=0，得 b0，由直线可知，a0，b0，正确；B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误 C、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误；D、由抛物线可知，a0，x=0，得 b0，由直线可知，a0，b0，错误；故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，以及抛物线和直线的性质，属于基础题 7下列函数中满足在（，0）是单调递增的是（）Af（x）=Bf（x）=（x+1）2 Cf（x）=1+2x2 Df（x）=|x|【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的性质进行判断即可【解答】解：A函数的定义域为（，2）（2，+），则在（，0）上不是单调函数，不满足条件 Bf（x）=（x+1）2的对称轴是 x=1，在（，0）上不是单调函数，不满足条件 Cf（x）=1+2x2的对称轴是 x=0，在（，0）上是单调递减函数，不满足条件 D当 x0 时，f（x）=|x|=x 为增函数，满足条件 故选：D 【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质 8已知函数 f（x）=，其定义域是8，4），则下列说法正确的是（）Af（x）有最大值，无最小值 Bf（x）有最大值，最小值 Cf（x）有最大值，无最小值 Df（x）有最大值 2，最小值【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】将 f（x）化为 2+，判断在8，4）的单调性，即可得到最值【解答】解：函数 f（x）=2+即有 f（x）在8，4）递减，则 x=8 处取得最大值，且为，由 x=4 取不到，即最小值取不到 故选 A【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题和易错题 9已知函数 y=f（1x2）的定义域2，3，则函数 g（x）=的定义域是（）A（，2）（2，3 B8，2）（2，1 C，2）（2，0 D，2【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】函数 y=f（1x2）的定义域2，3，可得2x3，可得81x21由，解出即可【解答】解：函数 y=f（1x2）的定义域2，3，2x3，81x21 由，解得，且 x2 故选：C【点评】本题考查了函数的定义域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10已知 A=a，b，c，B=1，2，3，从 A 到 B 建立映射 f，使 f（a）+f（b）+f（c）=4，则满足条件的映射共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】映射【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】从 f（a）+f（b）+f（c）=4 分析，可知 f（a），f（b），f（c）三个数应为 1，1，2 的不同排列【解答】解：f（a）+f（b）+f（c）=4，f（a）=1，f（b）=1，f（c）=2；f（a）=1，f（b）=2，f（c）=1；f（a）=2，f（b）=1，f（c）=1 故选：C【点评】函数是特殊的映射，函数与映射对于对应关系的要求是一样的，属于基础题目 11若函数在 R 上为增函数，则 a 的取值范围为（）A1a B1a3 C1a Da3【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得0，a10，且 12a4，由此求得 a 的范围【解答】解：根据函数在 R 上为增函数，可得0，a10，且 12a4，求得 1a，故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题 12 若函数 f（x）=|mx2（2m+1）x+m+3|恰有 4 个单调区间，则实数 m 的取值范围为（）A（，）B（，0）（0，）C（0，D（，1【考点】函数的单调性及单调区间【专题】函数的性质及应用【分析】根据二次函数的单调性的性质进行求解即可【解答】解：若 f（x）=|mx2（2m+1）x+m+3|恰有 4 个单调区间，则等价为函数 y=mx2（2m+1）x+m+3 与 x 轴有两个不同的交点，即 m0 且判别式=（2m+1）24m（m+3）0，即 4m2+4m+14m212m0，即8m+10，解得 m且 m0，即实数 m 的取值范围为（，0）（0，），故选：B【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据一元二次函数的性质转化为判别式 的关系是解决本题的关键 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13已知函数是幂函数，则 m=4 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】利用幂函数的定义即可得出【解答】解：函数是幂函数，m2m11=1，0，m+30，解得 m=4 故答案为：4【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14已知函数 f（x）=x2+2bx+c，任意的 x1，x2（，0）且 x1x2时，都有0，则实数 b 的取值范围为 b0 【考点】二次函数的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】若任意的 x1，x2（，0）且 x1x2时，都有0，则函数 f（x）在（，0）上为增函数，结合二次函数的图象和性质，可得实数 b 的取值范围 【解答】解：任意的 x1，x2（，0）且 x1x2时，都有0，函数 f（x）在（，0）上为增函数，又 函数 f（x）=x2+2bx+c 的图象是开口朝下，且以直线 x=b 为对称轴的抛物线，故 b0，故答案为：b0【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键 15函数 f（x）=2x1+的值域为（【考点】函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】可令，t0，可解出 x=1t2，并设 y=f（x），从而可以得到，这样由 t 的范围便可得出 y 的范围，即得出原函数的值域【解答】解：令（t0），则 x=1t2，设 y=f（x）；y=2t2+t+1=；t0；函数 f（x）的值域为（故答案为：（【点评】考查函数值域的概念，换元法求函数的值域，以及配方法求二次函数的值域 16已知集合 A=，则集合 A=，1，1 【考点】集合的表示法【专题】集合【分析】通过讨论 a 的范围，结合二次函数的性质求出关于 a 的取值即可【解答】解：集合 A=a|=1，=1 有唯一实数解（1）若 a=1，则=1，符合（2）若 a=1，则=1，符合（3）若 a1，=1 有唯一实数解，等价于 x2x1a=0 有唯一实数解，那么=（1）241（1a）=0 即 a=故答案为：，1，1【点评】本题考查集合的表示法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用 三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分）17设集合 A=x|x+20 或 x30，B=x|2a1xa+2，若 AB=B，求实数 a 的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；集合 【分析】由题意知 BA，从而讨论 B 是否是空集即可【解答】解：AB=B，BA，当 B=时，2a1a+2，a3；当 B时，2a1a+2，即 a3；a+22 或 2a13，解得，a4 或 2a3，综上所述，a4 或 a2【点评】本题考查了集合的运算及集合的关系应用 18已知集合 A=x|ax2+2x+1=0（1）若 A 中只有一个元素，求 a 的值；（2）若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围【考点】元素与集合关系的判断【专题】计算题【分析】（1）A 中只有一个元素包含两种情况：一次方程或二次方程只有一个根，二次方程根的个数通过判别式为 0（2）A 中至多只有一个元素包含只有一个根或无根，只有一个根的情况在（1）已解决；无根时，判别式小于 0，解得【解答】解：（1）当 a=0 时，A=x|2x+1=0=，符合条件；当 a0 时，方程 ax2+2x+1=0 为一元二次方程，要使 A 中只有一个元素，则方程 ax2+2x+1=0 只有一个实数解，所以=44a=0a=1 所以，a 的值为 0 或 1（2）若 A 中至多只有一个元素，则 A 中只有一个元素，或 A=由（1）知：若 A 中只有一个元素，a 的值为 0 或 1；若 A=，则方程 ax2+2x+1=0 无实数解，所以=44a0a1 所以，a1 或 a=0【点评】本题考查分类讨论的数学方法、考查通过判别式解决二次方程根的个数问题 19（1）已知1，求 f（x）的解析式（2）已知 f（x）是二次函数，且满足 f（2）=4，f（3）=4，且 f（x）的最小值为 2，求f（x）的解析式【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用【分析】（1）令 t=，t1，则 x=，利用换法法，先求出 f（t），进而可得 f（x）的解析式（2）由已知可得 f（x）的图象关于直线 x=对称，结合 f（x）的最小值为 2，可设出函数的顶点式方程，求出 a 值后，可得答案【解答】解：（1）令 t=，t1，则 x=，1，=t22t，f（x）=x22x，x1，（2）f（x）是二次函数，且满足 f（2）=4，f（3）=4，故 f（x）的图象关于直线 x=对称，又 f（x）的最小值为 2，设 f（x）=a（x+）2+2，（a0），则 f（2）=a（2+）2+2=4，解得：a=，f（x）=（x+）2+2=x2+x+【点评】本题考查的知识点是换元法求函数解析式，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键 20已知函数 f（x）对任意 a，bR，都有 f（a+b）=f（a）+f（b）3，并且当 x0 时，f（x）3（1）求证：f（x）是 R 上的增函数 （2）若 f（4）=2，解不等式 f（3m2m2）【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）先任取 x1x2，x2x10由当 x0 时，f（x）3得到 f（x2x1）3，再对 f（x2）按照 f（a+b）=f（a）+f（b）3 变形得到结论；（2）由 f（4）=2，再将 f（3m2m2）转化为 f（3m2m2）f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解【解答】解：（1）证明：任取 x1x2，x2x10，f（x2x1）3 f（x2）=fx1+（x2x1）=f（x1）+f（x2x1）3f（x1），f（x）是 R 上的增函数；（2）f（4）=f（2）+f（2）3=2，可得 f（2）=，f（3m2m2）=f（2），又由（1）的结论知，f（x）是 R 上的增函数，3m2m22，3m2m40，m1 或 m，即不等式的解集为m|m1 或 m【点评】本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，利用定义法以及转化法是解决本题的关键属于中档题 21提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数（）当 0 x200 时，求函数 v（x）的表达式；（）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 【专题】应用题【分析】（）根据题意，函数 v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数 v（x）在 20 x200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（）先在区间（0，20上，函数 f（x）为增函数，得最大值为 f（20）=1200，然后在区间20，200上用基本不等式求出函数 f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的 x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值【解答】解：（）由题意：当 0 x20 时，v（x）=60；当 20 x200 时，设 v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数 v（x）的表达式为 （）依题并由（）可得 当 0 x20 时，f（x）为增函数，故当 x=20 时，其最大值为 6020=1200 当 20 x200 时，当且仅当 x=200 x，即 x=100 时，等号成立 所以，当 x=100 时，f（x）在区间（20，200上取得最大值 综上所述，当 x=100 时，f（x）在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为 3333 辆/小时 答：（）函数 v（x）的表达式（）当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为 3333 辆/小时【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题 22已知函数 f（x）=x2+2ax+1 （1）若 y=f（x）在（1，+）上单调递减，求 a 的取值范围（2）若 a=1 时，y=f（x）在区间m，n上的值域为2m，2n，求 m，n 的值（3）记 h（a）为 y=f（x）在区间4，4的最小值，求出 y=h（a）【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】函数 f（x）=x2+2ax+1 的图象是开口朝下，且以直线 x=a 为对称轴的抛物线；（1）若 y=f（x）在（1，+）上单调递减，则 a1；（2）若 a=1 时，y=f（x）在区间m，n上的值域为2m，2n，则 m，n 为方程 f（x）=x2+2x+1=2x，即x2+1=0 的两根，解得 m，n 的值（3）分段讨论，y=f（x）在区间4，4的最小值 h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案【解答】解：函数 f（x）=x2+2ax+1 的图象是开口朝下，且以直线 x=a 为对称轴的抛物线；（1）若 y=f（x）在（1，+）上单调递减，则 a1；（2）若 a=1 时，y=f（x）在区间m，n上的值域为2m，2n，由函数在 x=1 时，取最大值 2，故 2m2n2，即 mn1，故函数 y=f（x）在区间m，n上为增函数，即，即 m，n 为方程 f（x）=x2+2x+1=2x，即x2+1=0 的两根，解得：m=1，n=1，（3）当 a4 时，函数 y=f（x）在区间4，4为减函数，此时 h（a）=f（4）=8a15；当4a4 时，函数 y=f（x）在区间4，a为增函数，a，4为减函数，此时 h（a）=f（a）=a2+1；当 a4 时，函数 y=f（x）在区间4，4为增函数，此时 h（a）=f（4）=8a15；综上所述：h（a）=【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键