(完整版)北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定一(提高).pdf

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法 1“边边边”，判定方法 2“角边角”，判定方法3“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等 2能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等【要点梳理】要点一、全等三角形判定 1“边边边”全等三角形判定 1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果A BAB，A CAC，B CBC，则ABCA B C.要点二、全等三角形判定 2“角边角”全等三角形判定 2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果AA，ABA B，BB，则ABCA B C.要点三、全等三角形判定 3“角角边”1.全等三角形判定 3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于 180可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC 和ADE 中，如果 DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC 和ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1“边边边”1、如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.【答案与解析】证明：在ABD 和ACE 中，ABACADAEBDCE ABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证BADCAE，先找出这两个角所在的三角形分别是BDA 和CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：【变式】（2014 秋双峰县校级期中）如图，已知 AB=DC，若要用“SSS”判定ABCDCB，应添加条件是 【答案】AC=DB.类型二、全等三角形的判定 2“角边角”2、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF，交AC 于点 F；然后证明：当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF.【思路点拨】通过已知条件证明DACC，CBFADG，则可证DAEBCF【答案与解析】证明：ADBC，DACC BF 平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG 在DAE 与BCF 中 CDACBCADCBFADG DAEBCF（ASA）DEBF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：【变式】已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ 求证：HNPM.【答案】证明：MQ 和 NR 是MPN 的高，MQNMRN90，又132490，34 12 在MPQ 和NHQ 中，12MQNQMQPNQH MPQNHQ（ASA）PMHN 类型三、全等三角形的判定 3“角角边”3、（2016黄陂区模拟）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，过 C 点作直线 l，点 D，E 在直线 l 上，连接 AD，BE，ADC=CEB=90求证：ADCCEB 【思路点拨】先证明DAC=ECB，根据 AAS 证ADCCEB【答案与解析】证明：DAC+DCA=ECB+DCA=90，DAC=ECB，在ADC 和CEB 中，ADCCEB（AAS）【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS 等注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 4、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN 过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1），易证：AFBF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明 【思路点拨】过 B 作 BHCE 与点 H，易证ACECBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 AFBF2CE【答案与解析】解：图 2，AFBF2CE 仍成立，证明：过 B 作 BHCE 于点 H，CBHBCHACEBCH90 CBHACE 在ACE 与CBH 中，90ACHCBHAECCHBACBC ACECBH（AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC 【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：【变式】已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS；当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图 2 成立；证明图 2：过点D作DMACDNBC，则90DMEDNFMDN 在AMD 和DNB 中，图 2 A D B C E M N F AMD=DNB=90ABADBD AMDDNB（AAS）DMDN MDEEDNNDFEDN90，MDENDF 在DME 与DNF 中，90EMDFDNDMDNMDENDF DMEDNF（ASA）DMEDNFSS DEFCEFDMCNDECFS=S=SS.四边形四边形 可知ABCDMCN1S=S2四边形，12DEFCEFABCSSS 类型四、全等三角形判定的实际应用 5、（2015 春龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高 AB，在旗杆 CD 与楼之间选定一点P 测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角DPC=36，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角APB=54，量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米，量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米，小强计算出了楼高，楼高 AB 是多少米？【思路点拨】根据题意可得CPDPAB（ASA），进而利用 AB=DP=DBPB 求出即可 【答案与解析】解：CPD=36，APB=54，CDP=ABP=90，DCP=APB=54，在CPD 和PAB 中 ，CPDPAB（ASA），DP=AB，DB=36，PB=10，AB=3610=26（m），答：楼高 AB 是 26 米【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出CPDPAB 是解题关键【巩固练习】一、选择题 1（2014 秋西秀区校级期末）如图，ABC 中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（）AABDACD BABEACE CBDECDE D以上答案都不对 2.如图，ABEF，DEAC，BDCF，则图中不是全等三角形的是（）A.BACFED B.BDAFCE C.DECCAD D.BACFCE 3.如图，ABBD，12，添加一个条件可使ABCDBE，则这个条件不可能是（）A.AEEC B.DA C.BEBC D.1DEA 4.下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 5.ABC 和A B C中,条件 AB A B,BC B C,ACA C,A A,B B,C C,则下列各组条件中,不能保证ABCA B C的是()A.B.C.D.6如图，点 A 在 DE 上，ACCE，123，则 DE 的长等于（）ADC BBC CAB DAEAC 二、填空题 7.已知：如图，AEDF，AD，欲证ACEDBF，判定定理为 AAS，需要添加条件_；或添加条件_，证明全等的理由是 ASA.8.（2014 秋白云区期末）如图，已知1=2，B=C，若直接推得ABDACD，则其根据是_.9.（2016滨湖区一模）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，且 AB=DE，请添加一个条件 ，使ABCDEF 10.如图，ABCD，ADBC，OEOF，图中全等三角形共有_对.11如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A、C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则 EF的长是_ 12.如图，ABCD，ACDB，ABD25，AOB82，则DCB_.三、解答题 13（2016 春会宁县期中）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AC=BC，ACB=90，直线 l经过点 C（点 A、B 都在直线 l 的同侧），ADl，BEl，垂足分别为 D、E 求证：ADCCEB 14.已知：如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点F求证：BFAC.15.（2014 秋杭州期末）如图，DCAB，BAD 和ADC 的角平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点.求证：ADABDC.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B 2.【答案】D；3.【答案】A；【解析】D 选项可证得DA，从而用 ASA 证全等.4.【答案】B；【解析】C 选项和 D 选项都可以由 SSS 定理证全等.5.【答案】C；【解析】C 选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等.6.【答案】C；【解析】可证BACE，BCADCE，所以ABCEDC，DEAB.二、填空题 7.【答案】21；EF.8.【答案】AAS；9.【答案】A=D 或ACB=F；【解析】解：可添加条件为A=D 或ACB=F 理由如下：ABDE，B=DEF 在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA）故答案是：A=D 或ACB=F 10.【答案】6；【解析】ABOCDO，AFOCEO，DFOBEO，AODCOB，ABDCDB，ABCCDA.11【答案】3；【解析】由 AAS 证ABFCBE，EFFBBECEAF213.12.【答案】66；【解析】可由 SSS 证明ABCDCB，OBCOCB82412，所以DCB ABC254166 三、解答题 13.【解析】证明：DAC+DCA=ECB+DCA=90，DAC=ECB，在ADC 和CEB 中，ADCCEB（AAS）14.【解析】证明：CDAB 90BDCCDA 45ABC 45DCBABC DBDC BEAC 90AEB 90AABE 90CDA 90AACD ABEACD 在BDF和CDA中 BDCCDADBDCABEACD BDFCDA（AAS）BFAC 15.【解析】证明：延长 DE 交 AB 的延长线于 F CDEF,CDABAD180 DE 平分CDA,AE 平分DAB CDEADE21CDA,DAEEAF21BAD ADEF,EDADAE90 AEDAEF90 在ADE 与AFE 中 AEAEFEADEAFADE ADEAFE（AAS）DEEF,ADAF 在DCE 与FBE 中 FEBDECFEDEFCDE DCEFBE （ASA）DCBF ADABDC.FEDCBA