2020-2021备战中考数学——一元二次方程组的综合压轴题专题复习.pdf

2020-2021备战中考数学一元二次方程组的综合压轴题专题复习 一、一元二次方程 1如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称轴 l 为 x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 l 上 当 PANA，且 PA=NA 时，求此时点 P 的坐标；当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】（1）y=（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）点 P（21，2）；P（32，154）【解析】试题分析：（1）将 B、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x 即可得到抛物线的解析式；（2）首先求得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到 PD=OA，从而得到方程求得 x 的值即可求得点 P 的坐标；OBCAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可 试题解析：（1）抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），其对称轴 l 为1x，0312abccba，解得：123abc ，二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，顶点坐标为（1，4）；（2）令2230yxx，解得3x 或1x，点 A（3，0），B（1，0），作PDx 轴于点 D，点 P 在223yxx 上，设点 P（x，223xx），PANA，且 PA=NA，PAD AND，OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或 x=21，点 P（21，2）；设 P(x，y)，则223yxx，OBCAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形=12OBOC+12ADPD+12(PD+OC)OD=1113 1+(3)(3)()222x yyx=333222xy=2333(23)222xxx=239622xx=23375()228x，当 x=32时，ABCPS四边形最大值=758，当 x=32时，223yxx=154，此时 P（32，154）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4压轴题 2解方程：(x+1)(x3)=1【答案】x1=1+3，x2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x22x=2，配方得：x22x+1=3，即（x1）2=3，解得：x1=1+3，x2=13 3解方程：x22x2x1.【答案】x125，x225.【解析】试题分析：根据方程，求出系数 a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式242bbacxa 求解即可.试题解析：方程化为 x24x10.b24ac(4)241(1)20，x420225，x125，x225.4解方程：（3x+1）2=9x+3【答案】x1=13，x2=23【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）23（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+13）=0，可得 3x+1=0 或 3x2=0，解得：x1=13，x2=23 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.5已知：关于 的方程有两个不相等实数根（1）用含 的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求 的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3=0 是关于 x 的一元二次方程 由求根公式，得 或（II），而，由题意，有 即（）解之，得 经检验是方程（）的根，但，【解析】（1）计算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即可 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：6由图看出，用水量在 m 吨之内，水费按每吨 1.7 元收取，超过 m 吨，需要加收 7某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的 4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m 【答案】当13xm时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为 y，则由题意得 502302xy.即10yx 列方程:50304(10)1344x x 解得13x (舍)，213x.当13xm时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心 8已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）xk22k0 有两个实数根 x1，x2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)当 k14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）2221420kkk，解得14k （2）由2212120 x xxx 得 2121230 x xxx（），由根与系数的关系可得：2121221,2xxkx xkk 代入得：22364410kkkk，化简得：210k，得1k.由于k的取值范围为14k，故不存在 k 使2212120 x xxx 9设 m 是不小于1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m23m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，（1）若 x12+x22=6，求 m 值；（2）令 T=121211mxmxxx，求 T 的取值范围【答案】（1）m=5172；（2）0T4 且 T2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得1m1，根据根与系数的关系可得 x1+x2=42m，x1x2=m23m+3；（1）把 x12+x22=6 化为（x1+x2）22x1x2=6，代入解方程求得 m 的值，根据1m1 对方程的解进行取舍；（2）把 T 化简为 22m，结合1m1 且m0 即可求 T 得取值范围.【详解】方程由两个不相等的实数根，所以=2（m2）24（m23m+3）=4m+40，所以 m1，又 m 是不小于1 的实数，1m1 x1+x2=2（m2）=42m，x1x2=m23m+3；（1）x12+x22=6，（x1+x2）22x1x2=6，即（42m）22（m23m+3）=6 整理，得 m25m+2=0 解得 m=；1m1 所以 m=（2）T=+=22m 1m1 且 m0 所以 022m4 且 m0 即 0T4 且 T2【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 10已知关于 x 的方程 mx2+(3m)x3=0(m 为实数，m0)(1)试说明：此方程总有两个实数根(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值.【答案】(1)2243bacm0；(2)m=-1,-3.【解析】分析:（1）先计算判别式得到=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到 0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出 x1=3m，x2=-1，然后利用整除性即可得到 m 的值 详解:（1）证明：m0，方程 mx2+（m-3）x-3=0（m0）是关于 x 的一元二次方程，=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，（m+3）20，即 0，方程总有两个实数根；（2）解：x=332mmm，x1=-3m，x2=1，m 为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1 或-3 点睛:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程 11关于 x 的一元二次方程 x22x(n1)0 有两个不相等的实数根(1)求 n 的取值范围；(2)若 n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】(1)n0；(2)x10，x22【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240bac ，即可求出n 的取值范围；（2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，224(2)4 1(1)0bacn 解之得：0n；(2)0n 且n为取值范围内的最小整数，1n，则方程为220 xx，即(2)0 x x，解得120,2xx【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a0)axbxc 的根与24bac 的关系（当 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根）是解题关键.12某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为 10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则商品应降价 2.5元【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1x）2 为两次降价后的百分率，40 元 降至 32.4 元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x 40（1x）232.4 x10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得 4030y(448)5100.5y 解得：1y1.5，2y2.5，有利于减少库存，y2.5 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可 13已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为 ABC 三边的长（1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1)ABC 是等腰三角形；(2)ABC 是直角三角形；(3)x1=0，x2=1【解析】试题分析：（1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断 ABC 的形状；（3）利用 ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 试题解析：（1）ABC 是等腰三角形；理由：x=1 是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC 是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC 是直角三角形；（3）当 ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1 考点：一元二次方程的应用 14我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价 30 元或 80 元；（2）该店应按原售价的 8 折出售【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价 x 元，利用销售量每件利润=41600 元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价 80 元，求出此时的销售单价即可确定几折【详解】（1）设每千克茶叶应降价 x 元根据题意，得：（400 x240）（200+10 x40）=41600 化简，得：x210 x+240=0 解得：x1=30，x2=80 答：每千克茶叶应降价 30 元或 80 元（2）由（1）可知每千克茶叶可降价 30 元或 80 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价 80 元 此时，售价为：40080=320（元），320100%80%400 答：该店应按原售价的 8 折出售【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程 15关于 x 的一元二次方程 x2（m3）xm2=0（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1|=|x2|2，求 m 的值及方程的根【答案】（1）证明见解析；（2）x1=1+2，x2=12或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式=b24ac 的结果判断即可，当 0 时，有两个不相等的实数根，当=0 时，有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系 x1+x2=-ba，x1x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程 x2（m3）xm2=0，a=1，b=（m3）=3m，c=m2，=b24ac=（3m）241（m2）=5m26m+9=5（m35）2+365，0，则方程有两个不相等的实数根；（2）x1x2=ca=m20，x1+x2=m3，x1，x2异号，又|x1|=|x2|2，即|x1|x2|=2，若 x10，x20，上式化简得：x1+x2=2，m3=2，即 m=1，方程化为 x2+2x1=0，解得：x1=1+2，x2=12，若 x10，x20，上式化简得：（x1+x2）=2，x1+x2=m3=2，即 m=5，方程化为 x22x25=0，解得：x1=126，x2=1+26