(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十六10.10圆锥曲线中的定值、定点与存在性.pdf

核心素养提升练五十六 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题（30 分钟 60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分)1.(2018宁波模拟)已知焦点在 y 轴上的椭圆+=1 的离心率为，则实数 m 等于（）A。3 B.C.5 D。【解析】选 D。由已知，a=,b=2,c=,离心率 e=,得 m=.2.已知双曲线-=1 的焦点与椭圆+=1 的焦点相同,则双曲线的离心率为 ()A。B。C。D.2【解析】选 B.由已知,椭圆焦点为(2,0),所以 c=2,解得 a=2，所以离心率e=。3。以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(）A。（0，2)B。（2，0）C.（4，0)D。(0,4)【解析】选 B。因为抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2,所以由题可知动圆的圆心在 y2=8x 上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0)。4.（2018台州模拟）已知圆 C：x2+y2=4，点 P 为直线 x+2y-9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA,PB,A，B 为切点，则直线 AB 经过定点（)A.B.C.（2,0）D.（9，0)【解析】选 A。设 P(9-2m,m）,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA,PB,A，B 为切点，则 OAPA，OB PB，AB是 以OP为 直 径 的 圆D与 圆C的 公 共 弦,得 圆D的 方 程 为+=,又圆 C 方程为 x2+y2=4，两式相减得公共弦 AB 所在直线方程为 m(2xy）+(49x）=0，令 得 所以直线 AB 经过定点。5.（2018洛阳模拟）在直角坐标平面内,过定点 P 的直线l:ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线m:xay+3=0 相交于点 M，则|MP2+|MQ2的值为（)A。B.C。5 D.10【解析】选 D。由已知,P（0，1),Q(3，0)，且lm，所以 M 在以 PQ 为直径的圆上.因为PQ=,所以MP|2+|MQ2=|PQ|2=10。二、填空题（每小题 5 分,共 15 分）6。(2018滁州模拟)已知抛物线 C：y2=2px(p0)的焦点为 F,准线l：x=-,点 M 在抛物线C 上，点 A 在准线l上，若 MAl，直线 AF 的倾斜角为，则MF=_。【解析】如图,设准线与 x 轴交点为 B，由于 AF 的倾斜角为,所以FAM=,又=，所以=2，又由已知 p=2=,即=,所以=5.答案：5 7。在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1：x2+y2=9，圆 O2:x2+(y6）2=16，在圆 O2内存在一定点 M，过 M 的直线l被圆 O1，圆 O2截得的弦分别为 AB,CD,且=,则定点 M 的坐标为_。【解析】因为=,过两圆的圆心的直线截两圆弦长比是=，所以点 M 在两圆心连线上，因为圆心连线方程 x=0,可设 M（0，y0），直线l的方程为 y=kx+y0，因为=,所以=,解得 y0=或18(此时点 M 在圆 O2外，舍去),所以定点M.答案：8.过点 M(0，1)且斜率为 1 的直线l与双曲线 C:=1(a0,b0）的两渐近线交于点A,B，且=2,则双曲线渐近线的方程为_。【解析】设 A(x1，y1)，B(x2,y2),则由=2，得 x2=2x1,由已知，直线l的方程 y=x+1，-=1（a0，b0)的渐近线方程为 y=x，联立直线l的方程和渐近线方程,解得 x1=-,x2=,所以=，即a=3b，所以渐近线方程为 y=x。答案:y=x 三、解答题（每小题 10 分,共 20 分)9.(2018盘锦模拟)如图,已知点 A（1,)是离心率为的椭圆 C：+=1（ab0）上的一点,斜率为的直线交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A,B，D 三点互不重合.（1)求椭圆 C 的方程.(2）求证：直线 AB,AD 的斜率之和为定值.【解析】（1)由题意，可得 e=,将 A(1,)代入椭圆 C 的方程，得+=1,又 a2=b2+c2,解得 a=2,b=c=,所以椭圆 C 的方程为+=1.(2）设直线 BD 的方程为 y=x+m，因为 A，B，D 三点不重合,所以 m0,设 D（x1,y1），B(x2，y2).由得 4x2+2mx+m2-4=0,由=-8m2+640，得-2m0)的离心率为,点，为椭圆上的一点.(1)求椭圆 E 的标准方程.(2)若斜率为 k 的直线l过点 A（0,1）,且与椭圆 E 交于 C,D 两点，B 为椭圆 E 的下顶点，求证：对于任意的 k,直线 BC,BD 的斜率之积为定值。【解析】（1）因为 e=，所以 c=a,a2=b2+。又椭圆过点（,），所以+=1.由,解得 a2=6,b2=4,所以椭圆 E 的标准方程为+=1.（2）设直线l：y=kx+1，C(x1，y1），D（x2,y2),联立得(3k2+2）x2+6kx-9=0.所以 x1+x2=,x1x2=-，易知 B(0,-2），所以 kBCkBD=k2+=k2+3k(3k2+2)=2，所以对于任意的 k,直线 BC，BD 的斜率之积为定值。10.（2019合肥模拟）如图,在平面直角坐标系中,点 F(1,0）,过直线lx=2 右侧的动点 P 作 PAl于点 A，APF 的平分线交 x 轴于点 B,PA|=BF|。(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程。(2）过点 F 的直线 q 交曲线 C 于 M，N,试问：x 轴正半轴上是否存在点 E，直线 EM,EN 分别交直线l于 R,S 两点，使RFS 为直角?若存在，求出点 E 的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】（1）设 P（x，y），由平面几何知识得=，即=,化简得 x2+2y2=2,所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2+2y2=2(x）。(2）假设满足条件的点 E（n,0）（n0）存在,设直线 q 的方程为 x=my-1,M（x1,y1)，N（x2,y2)，R(2，y3）,S（2，y4）。由消去 x,得（m2+2）y2-2my1=0,所以 y1+y2=,y1y2=-，x1x2=(my11）（my21）=m2y1y2-m（y1+y2）+1=-+1=,x1+x2=m（y1+y2)2=2=-，由已知=，得 y3=-，同理 y4=,kRF=-y3，kSF=-y4，因为RFS 为直角,所以 y3y4=1,所以（2+n)2y1y2=-x1x2n（x1+x2）+n2，(2+n)2=+n2，所以（n2-2）（m2+1)=0，n=,所以满足条件的点 E 存在，其坐标为(,0).【变式备选】已知椭圆 E:+=1 的右焦点为 F(c,0),且 abc0,设短轴的一个端点为D，原点 O 到直线 DF 的距离为，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C，G 两点，且|+|=4。（1)求椭圆 E 的方程。（2)是否存在过点 P（2,1)的直线l与椭圆 E 相交于不同的两点 A,B 且使得|2=4 成立？若存在，试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。【解析】(1）由椭圆的对称性知|+|=2a=4,所以 a=2.又原点 O 到直线 DF 的距离为,所以=,所以 bc=,又 a2=b2+c2=4，abc0，所以 b=，c=1.所以椭圆 E 的方程为+=1。（2）当直线l与 x 轴垂直时不满足条件,可设 A（x1,y1）,B（x2，y2）,直线l的方程为 y=k(x2）+1，代入椭圆方程得（3+4k2）x2-8k（2k1）x+16k2-16k8=0，由=32（6k+3）0 得,k.x1+x2=，x1x2=，因为|2=4，即 4(x12）(x22）+（y1-1)（y21)=5,所以 4(x12)（x22)(1+k2)=5,即 4x1x2-2（x1+x2）+4（1+k2)=5,所以 4(1+k2)=4=5,解得 k=,k=不符合题意，舍去。所以存在满足条件的直线l,其方程为 y=x。（20 分钟 40 分）1.（5 分)(2018南阳模拟)已知双曲线 E：=1，直线l交双曲线于 A,B 两点,若 A，B的中点坐标为,则l的方程为（）A。4x+y-1=0 B.2x+y=0 C.2x+8y+7=0 D。x+4y+3=0【解析】选 C.设 A(x1，y1)，B（x2，y2），则-=1,=1，所以-=0，-kl=0,-kl=0,kl=，所以l的方程为y+1=-,即 2x+8y+7=0.2。（5 分）已知双曲线 x2-=1 的焦点为 F1，F2，渐近线为l1，l2,过点 F2且与l1平行的直线交l2于 M,若=0，则 m 的值为（）A.1 B.C。2 D。3【解析】选 D.由双曲线 x2-=1 知 a=1，b2=m，c=,所以 F1，F2，渐近线l1,l2的方程分别为 y=x,y=-x,过点 F2且与l1平行的直线方程为 y=，由 得 M,所以=,=,因为=0，所以+=0,所以 m=3。3.(5 分）(2018泰州模拟)已知点 A(-3,0）和圆 O:x2+y2=9，AB 是圆 O 的直径，M 和 N 是线段AB 的三等分点,P（异于 A，B)是圆 O 上的动点,PDAB 于 D，=（0),直线 PA 与BE 交于 C，则当=_时，|CM+CN为定值.【解析】由已知,B(3，0)，M（-1，0)，N(1，0),设 P（x0，y0)，则 E,所以 PA的 方 程 为y=（x+3),BE 的 方 程 为y=（x3)，联 立 方 程 组 得y2=（x29),把=9-代入化简得+=1，所以点 C 在以AB 为长轴的椭圆上，当 M,N 为椭圆焦点时,|CM+|CN为定值 2a=6,此时 a=3，c=1，b=,由 a2=b2+c2得 9=+1，解得=。答案：4。（12 分）（2019淮安模拟）如图,在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 C:+y2=1 的左顶点 A 作直线l,与椭圆 C 和 y 轴正半轴分别交于点 P,Q.（1)若 AP=PQ,求直线l的斜率.（2）过原点 O 作直线l的平行线，与椭圆 C 交于点 M，N,求证：为定值。【解析】（1)由已知,椭圆 C 的左顶点 A(-2,0）,设直线l的斜率为 k（k0）,点 P 的横坐标为 xP，则直线l的方程为 y=k（x+2）。又椭圆 C:+y2=1，由得,(4k2+1）x2+16k2x+16k2-4=0，所以2xP=，xP=,因为 AP=PQ，所以 xP=-1,即=1,解得 k=(负值舍),所以直线l的斜率为。(2）设点 N 的横坐标为 xN.结合（1）知，直线 MN 的方程为 y=kx.由得，=,所以=,即证。5。（13 分)已知椭圆 D：x2+=1 的左焦点为 F，其左,右顶点为 A,C，椭圆与 y 轴正半轴的交点为 B，FBC 的外接圆的圆心 P(m,n)在直线 x+y=0 上.(1)求椭圆 D 的方程。(2)已知直线lx=-,N 是椭圆 D 上的动点，MNl,垂足为 M,问:是否存在点 N，使得FMN为等腰三角形?若存在，求出点 N 的坐标;若不存在，请说明理由.【解析】(1）由已知，圆心 P 既在边 FC 的垂直平分线上,也在边 BC 的垂直平分线上,F（-c，0）,则边 FC 的垂直平分线的方程为 x=，因为边 BC 的中点坐标为,直线 BC 的斜率为-b,所以边 BC 的垂直平分线的方程为 y=,联立，解得 m=，n=，因为 P（m，n）在直线 x+y=0 上,所以+=0,即(1+b）（bc)=0，因为 1+b0，所以 b=c。由 b2=1-c2得 b2=c2=，所以椭圆 D 的方程为 x2+2y2=1。(2)由（1）知 F，椭圆上的点的横坐标满足1x1，设 N(x,y）,由已知 M（,y),所以|MN=|x+|,FN=，MF=，若MN|=FN，即|x+|=，与 x2+2y2=1 联立，解得 x=-1,显然不符合条件;若|MN=MF|，即x+=,与 x2+2y2=1 联立,解得 x=或 x=1（显然不符合条件，舍去)，所以满足条件的点 N 的坐标为；若|FN|=|MF|,即=,与 x2+2y2=1 联立,解得 x=0 或 x=-1(显然不符合条件，舍去),所以满足条件的点 N 的坐标为。综上,存在点 N或,使得FMN 为等腰三角形。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.