(完整版)清华大一高数第一学期期末试题.pdf
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）210)(coslimxxx=_.（2）曲线xxyln上与直线01 yx平行的切线方程为_.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf_.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为 _.（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为 _.二、选择题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（）(A)0111dxx (B)21112dxx (C)141dxx (D)11dxx（2）函数)(xf在,ba内有定义，其导数)(xf的图形如图 1-1 所示，则（）.(A)21,xx都是极值点.(B)(,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D)(,11xfx是拐点，2x是极值点.图 1-1（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（）.（A）23 e.xyyyx （B）23e.xyyy（C）23 e.xyyyx （D）23e.xyyy（4）设)(xf在0 x处可导，则 000limhf xf xhh为（）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（）.(A)()().f x dxf x (B)()().df xf x (C)()().df x dxf x (D)()().fx dxf x 算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）.1求极限)ln11(lim1xxxx.2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.3.3.计算不定积分 arctan(1)xdxxx.)(xfyyO1x2xabx4.计算定积分3011dxxx.四、解答题（本题共4 小题，共 29 分）.1（本题 6 分）解微分方程256xyyyxe 2（本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力 3.（本题 8 分）设()f x在,a b上有连续的导数，()()0f af b，且2()1bafx dx，试求()()baxf x fx dx.4.（本题 8 分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形 D.(1)(1)求 D 的面积 A;(2)(2)求 D 绕直线ex 旋转一周所得旋转体的体积V.五、证明题（本题共 1 小题，共 7 分）.1.证明对于任意的实数x，1xex.一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）210)(coslimxxx=_e1_.（2）曲线xxyln上与直线01 yx平行的切线方程为_1 xy_.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf_)(xf2)(ln21x_.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为 _.9131xy （5）微分方程522(1)1yyxx的通解为_.)1()1(32227xCxy 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（D ）(A)0111dxx (B)21112dxx (C)141dxx (D)11dxx（2）函数)(xf在,ba内有定义，其导数)(xf的图形如图 1-1 所示，则（D ）.(A)21,xx都是极值点.(B)(,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D)(,11xfx是拐点，2x是极值点.图 1-)(xfyyO1x2xabx（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（D ）.（A）23 e.xyyyx （B）23e.xyyy（C）23 e.xyyyx （D）23e.xyyy（4）设)(xf在0 x处可导，则 000limhf xf xhh为（A ）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（A ）.(A)()().f x dxf x (B)()().df xf x (C)()().df x dxf x (D)()().fx dxf x 三、计算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）.1求极限)ln11(lim1xxxx.解 )ln11(lim1xxxx=xxxxxxln)1(1lnlim1-1 分 =xxxxxln1lnlim1-2 分 =xxxxxxln1lnlim1 -1 分 =211ln1ln1lim1xxx -2 分 2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.解 ,sin)()(tttxtydxdy -（3 分）.sintansin)()sin(22tttttxttdxyd-（6 分）4.4.计算不定积分 arctan(1)xdxxx.2arctanarctan22(1)(1)=2 arctanarctan2 =arctan2xxdxdxxxxxdxxC解：分分（）分 4.计算定积分3011dxxx.解 3030)11(11dxxxxdxxx30)11(dxx-（3分）35)1(3233023x -（6 分）（或令tx 1）四、解答题（本题共 4 小题，共 29 分）.1（本题 6 分）解微分方程256xyyyxe.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12xxxxxxxrrrreC eyx b xb ebbyxxeyeC exxe 解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y=C分令分代入解得，所以分所以所求通解C分 2（本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力 解：建立坐标系如图 22022220322203241213213RRRPgx Rx dxgRx d RxgRxgR 分（）分（）分分 3.（本题 8 分）设()f x在,a b上有连续的导数，()()0f af b，且2()1bafx dx，试求()()baxf x fx dx.x y 222()()()()21 ()221 =()()2211 =0222bbaababbaaxf x fx dxxf x df xxdfxxfxfx dx 解：分分分分 4.（本题 8 分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形 D.(3)(3)求 D 的面积 A;(4)(4)求 D 绕直线ex 旋转一周所得旋转体的体积 V.解：(1)设切点的横坐标为0 x，则曲线xyln在点)ln,(00 xx处的切线方程是 ).(1ln000 xxxxy -1 分 由该切线过原点知 01ln0 x，从而.0ex 所以该切线的方程为 .1xey -1 分 平面图形 D 的面积 10.121)(edyeyeAy -2 分（2）切线xey1与x轴及直线ex 所围成的三角形绕直线ex 旋转所得的圆锥体积为 .3121eV -2 分 曲线xyln与 x 轴及直线ex 所围成的图形绕直线ex 旋转所得的旋转体体积为 dyeeVy2102)(，-1 分 因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221eedyeeeVVVy -1 分 五、证明题（本题共 1 小题，共 7 分）.1.证明对于任意的实数x，1xex.xyO1e1D解法一：2112xeexxx 解法二：设()1.xf xex则(0)0.f-1 分 因为()1.xfxe-1 分 当0 x 时，()0.fx()f x单调增加，()(0)0.f xf-2 分 当0 x 时，()0.fx()f x单调增加，()(0)0.f xf-2 分 所以对于任意的实数x，()0.f x 即1xex。-1 分 解法三：由微分中值定理得，01(0)xxeeeexe x，其中位于 0 到 x 之间。-2分 当0 x 时，1e，1xex。-2 分 当0 x 时，1e，1xex。-2 分 所以对于任意的实数x，1xex。-1 分
