2020届山西省运城市高三上学期期末数学(理)试题.pdf

山西省运城市 2020 届高三上学期期末 数学（理）试题 一、单选题 1已知集合|ln1Mx yx，|xPy ye，则MP（）A BR C1,D0,【答案】D【解析】分别化简集合M和P，再求交集即可.【详解】由题知：|0Mx x，|0Py y，由交集的运算知：(0,)MP.故选：D【点睛】本题主要考查交集的运算，同时考查了函数的定义域和值域，属于简单题.2已知复数z满足14i zi（i为虚数单位），则z（）A22i B22i C1 2i D1 2i【答案】B【解析】化简复数41izi，得到代数式2zi，再求共轭复数即可.【详解】44(1)4421(1)(1)2iiiiziiii.22zi.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法以及共轭复数，同时考查了计算能力，属于简单题.3已知向量1,2a ，向量3,4b ，则向量a在b方向上的投影为（）A1 B-1 C5 D5【答案】B【解析】根据向量a在b方向上的投影a bb，带入数值即可.【详解】向量a在b方向上的投影22381(3)4a bb.故选：B【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.4若过椭圆22194xy内一点(3,1)P的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A34130 xy B3450 xy C43150 xy D4390 xy【答案】A【解析】设弦的两端点为11(,)A x y，22(,)B xy，P为AB中点得121262xxyy，A，B在椭圆上有2211222211641164xyxy,两式相减得222212120164xxyy 即12121212()()()()0164xxxxxxxx，即12123()082xxyy 即121234yyxx，则34k ，且过点(3,1)P，有31(3)4yx ，整理得34130 xy故选A 点睛：本题考查椭圆的中点弦问题；中点弦问题是直线和圆锥曲线的位置关系中的典型问题，其主要方法是点差法，可避免较复杂的运算量.点差法的主要步骤是：（1）设点，代入圆锥曲线的方程；（2）作差，利用平方差公式进行整理；（3）得到直线的斜率和线段中点坐标间的关系.5若3sin()25，(0,)2，则tan2（）A247 B2132 C5627 D83【答案】A【解析】化简3sin()25，得到3cos5，又因为(0,)2，得到4tan3，再带入22tantan21tan即可.【详解】3sin()cos25，因为(0,)2，所以4tan3.22422tan243tan241tan71()3.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系以及正切二倍角公式，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.6在各项均为正数的等比数列an中，a12，且 a2，4a+2，a5成等差数列，记 Sn是数列an的前 n项和，则 S6（）A62 B64 C126 D128【答案】C【解析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得 a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得 q再利用求和公式即可得出【详解】设正数的等比数列an的公比为 q0，a1=2，a2，a4+2，a5成等差数列，a2+a5=2（a4+2），2q+2q4=2（2q3+2），解得 q=2S6=62 2-1=1262-1.故选 C.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 441xxf x 的图象大致是 A B C D【答案】D【解析】先有函数的奇偶性，可排除 A、B 选项，再取特值求得(3),(4)ff，根据函数的单调性排除选项 C，可得答案.【详解】因为函数 441xxf x，44()()()4141xxxxfxf x 所以函数()f x不是偶函数，图像不关于 y 轴对称，故排除 A、B 选项；又因为81256(3),(4),(3)(4)63255ffff，而选项 C 在0 x 是递增的，故排除 C 故选 D【点睛】本题考查了函数的图像和性质，利用性质取特值判断图像是解题的关键，属于较为基础题.8已知实数a，b满足1a，1b且10loglog3abba，baab，则执行如图所示的程序框图，输出是S（）A2 B2 C3 D3【答案】C【解析】首先化简10loglog3abba，得到：1log3ab 或log3ab.根据baab得：当log3ab 时，解得33 3ab，当1log3ab 时，解得3 33ab.根据程序框图知：输出的为,a b中较小的数，所以3S.【详解】因为10loglog3abba，所以110loglog3aabb.整理得：23(log)10log30aabb.解得：1log3ab 或log3ab.又因为baab，所以loglogbaaaab.即：logabablogabba.当log3ab 时，3333 3baabba.当1log3ab 时，133 3133baabba.根据程序框图知：输出的为,a b中较小的数，所以3S.故答案为：3【点睛】本题主要考查了指数的换底公式的应用和指数对数之间的互化以及运算，同时考查了程序框图中的条件结构，熟练掌握指数，对数的运算是解决本题的关键，属于中档题.9已知向量2sin,cosmxx，cos,3nx，设函数 32fxm n，则下列关于函数 f x的性质描述错误的是（）A函数 f x在区间,12 2 上单调递增 B函数 f x图象关于直线712x对称 C函数 f x在区间,63 上单调递减 D函数 f x图象关于点(,0)3对称【答案】C【解析】首先化简 32fxm n，得到()sin(2)3f xx，依次判断选项即可得到答案.【详解】23sincos3cos2fxxxx 13(1cos2)3sin2222xx sin(2)3x.A选项：因为122x，所以42233x.则函数 f x在区间,12 2 上单调递增是正确的.B选项：773sin(2)sin1121232f ，故B正确.C选项：因为63x，所以023x.函数 f x在区间,63 上有增有减，所以C错误.D选项：sin(2)sin0333f ，故D正确.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的单调区间和对称轴，中心对称点，同时考查平面向量数量积公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于中档题.10已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，/ADBC，2ABDCAD，4BCPA，PA面ABCD，则球O的体积为（）A64 23 B16 23 C16 2 D16【答案】A【解析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC中点E为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE 平面ABCD，利用勾股定理构造出关于OE和球的半径R的方程，解方程求得R，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取BC中点E，连接,AE DE BD /ADBC且12ADBCEC 四边形ADCE为平行四边形 AEDC，又12DCBC 12DEBC AEDEBEEC E为四边形ABCD的外接圆圆心 设O为外接球的球心，由球的性质可知OE 平面ABCD 作OFPA，垂足为F 四边形AEOF为矩形，2OFAE 设AFx，OPOAR 则22444xx，解得：2x 442 2R 球O的体积：3464 233VR 本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.11 已知1F，2F为椭圆2214xy的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q是12FPF内切圆的圆心，过1F作1FMPQ于M，O为坐标原点，则|OM的取值范围为（）A0,1 B0,2 C0,3 D0,2 3【答案】C【解析】首先延长2PF，1FM交于N点，连接OM，根据题意得到2211()22OMF NPNPF 121211()322PFPFFFc.得OM的取值范围是：(0,3).【详解】延长2PF，1FM交于N点，连接OM，因为点Q是12FPF内切圆的圆心，所以PQ平分12FPF.因为1FMPQ，所以1PNPFM为1F N的中点.又因为O为12F F的中点，所以2211()22OMF NPNPF 121211()322PFPFFFc.所以OM的取值范围是：(0,3).故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了三角形内切圆的性质，属于难题.12如果函数 f x的导函数为 fx，在区间,a b上存在1x，2x（12axxb），使得1()()()f bf afxba，2()()()f bf afxba，则称 f x为区间,a b上的“双中值函数”.已知函数 32132mg xxx是区间0,2上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是（）A4 8,3 3 B4 8(,)3 3 C4,)3 D(,)【答案】B【解析】首先求导，由题知满足满足：12204203gggxgxm.等价于：方程2403xmxm在(0,2)上有两个不相等的根，利用二次函数的性质即可求出m的范围.【详解】由题知：2gxxmx在区间0,2上存在1x，2x12(02)xx 满足：12204203gggxgxm.等价于：方程2403xmxm在(0,2)上有两个不相等的根.则244()030248243303442()03mmmmmmm .故选：B【点睛】本题主要考查了新函数的定义，同时考查了二次函数的性质，等价转化是解决本题的关键，属于难题.二、填空题 13已知 ln2 1f xxxf（其中f表示 f x的导函数），则 2f_【答案】32【解析】首先 121fxfx，将1x 带入求出 11f ，即可求出 12fxx，再求 2f即可.【详解】121fxfx.令1x，得：1121ff，解得：11f .所以 12fxx，132222f .故答案为：32【点睛】本题主要考查导数的求导公式，熟记求导公式是解题的关键，属于简单题.14已知平面四边形ABCD中，120BAD，60BCD，2ABAD，则AC的最大值为_【答案】4【解析】由题知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC的最大值.【详解】因为120BAD，60BCD，所以 故AC的最大值为四边形外接圆的直径.当AC为四边形外接圆的直径时，得到：90ADCABC，又因为2ABAD，60BCD，所以30ACDACB.在ABC中，由正弦定理得：sin90sin30ACAB，解得：4AC.故答案为：4【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.15已知数列 na为正项的递增等比数列，1582aa，2481a a，记数列2na的前n项和为nT，则使不等式112020|1|13nnTa成立的最大正整数n的值是_【答案】8【解析】根据1524158281aaa aa a，求得15181aa，13nna.再求出13(1)3nnT，带入不等式112020|1|13nnTa，解不等式即可.【详解】因为数列 na为正项的递增等比数列，由1524158281aaa aa a，解得15181aa.则3q，13nna.1(1)1323(1)1313nnnT.112020|1|13nnTa 1112020|11|133nn.整理得：38080n.使不等式成立的最大整数n为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.16若1122mxm（其中m为整数），则称m是离实数x最近的整数，记作 xm.下列关于函数|f xxx的命题中，正确命题的序号是_ 函数 yf x的定义域为R，值域为10,2；函数 yf x是奇函数；函数 yf x的图象关于直线2kx（kZ）对称；函数 yf x是周期函数，最小正周期为 1；函数 yf x在区间1 1,2 2上是增函数.【答案】【解析】首先得到|f xxxxm，画出 f x的图像即可找到正确的命题.【详解】由题知：|f xxxxm 当0m 时，1122x，|f xx，当1m时，1322x，|1f xx，当2m 时，3522x，|2|f xx，由图像知：函数 yf x的定义域为R，值域为10,2，偶函数；图象关于直线2kx()kZ对称；周期为 1；在区间1 1,2 2上的单调性是先减后增.故正确.故答案为：【点睛】本题时新函数定义问题，考查函数的性质，画出图像为解题关键，考查了学生的数形结合的能力，属于难题.三、解答题 17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且8a，coscos2 sincoscoscABaCBcC.（1）求tan B的值；（2）若16AB CB，求b的值.【答案】（1）2（2）2 13【解析】（1）由正弦定理知：2 sinaRA，2 sincRC化简coscos2 sincoscoscABaCBcC得2sincossinsinABAB，即tan2B.（2）由tan2B 得到5cos5B，因为16AB CB，8a，解得2 5c，代入2222cosbacacB即可.【详解】（1）coscos2 sincoscoscABaCBcC 由正弦定理知：2 sinaRA，2 sincRC sincoscos2sinsincossincosCABACBCC 又sin0C coscos2sincoscosABABC coscos2sincoscosABABAB coscos2sincoscoscossinsinABABABAB 2sincossinsinABAB 又sin0Atan2B （2）tan2B 5cos5B 又16AB CB cos16acB 又8a 2 5c 由余弦定理知，222212cos8202 8 2 5525bacacB 2 13b 【点睛】本题第一问考查了正弦定理和两角和差公式，第二问考查了向量的数量积运算和余弦定义，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，CF 平面ABCD，CFDE，22ABCFDE，G为BF的中点.（1）求证：CGAF；（2）求平面BCF与平面AEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】（1）首先证明CGAB，CGBF，ABBFB，CG 平面ABF.即可得到AF 平面ABF，CGAF.（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF和平面BCF的法向量，带入公式求解即可.【详解】（1）CF 平面ABCD，AB平面ABCD，CFAB.又四边形ABCD是正方形，ABBC.BCCFC，AB 平面BCF.CG 平面BCF，CGAB.又2BCCF，G为BF的中点，CGBF.ABBFB，CG 平面ABF.AF 平面ABF，CGAF.（2）CF 平面ABCD，CFDE，DE 平面ABCD.以D为坐标原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如图所示：则0,0,0D，2,0,0A，0,2,0C，0,0,1E0,2,2F.2,0,1AE ，0,2,1EF，0,2,0DC.设,nx y z为平面AEF的法向量，则00n AEn EF，得2020 xzyz，令1x，则1,1,2n.由题意知0,2,0DC 为平面BCF的一个法向量，26cos,6|62n DCn DCn DC，平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为26301()66.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19设nS为等差数列 na的前n项和，且251565aS，.（）求数列 na的通项公式；（）设数列 nb的前n项和为nT，且10nnTS，求数列 nb的前n项和nR.【答案】（）219nan；（）221810,1918152,10nnnnRnnn【解析】（）将2a和5S利用1a和d来表示，构造方程组解得1a和d，根据等差数列通项公式求得结果；（）由等差数列前n项和公式求得nS，可得到nT，根据11bT和1nnnbTT可得nb；根据通项公式可知当19n 时，0nb；当10n时，0nb，从而可得：19n 时nnRT；10n时92nnRTT，从而求得结果.【详解】（）设等差数列 na的公差为d，则：2151155 45652aadSad 解得：1172ad 111721219naandnn （）由（）得：12182nnn aaSnn 21810nTnn 当1n 时，117bT 当2n 且*nN时，1219nnnbTTn 经验证117b 7,1219,2nnbnn 当19n 时，0nb；当10n时，0nb 当19n 时，212121810nnnRbbbbbbnn 当10n时，121291011nnnRbbbbbbbbb 2129129101192181522nnbbbbbbbbbTTnn 综上所述：221810,1918152,10nnnnRnnn【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前n项和的求解.求解含绝对值的数列的前n项和的关键是判断出数列中各项的符号，从而可去掉绝对值符号，将问题转变为普通数列前n项和的求解.20已知函数()sinxf xex.求函数()f x的单调区间；如果对于任意的0,2x，()f xkx总成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）()f x的单调递增区间为3(2,2)44kk，单调递减区间为37(2,2)44kk()kZ；（2）(,1【解析】【详解】试题分析：求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；令()()sinxg xf xkxexkx，要使()f xkx总成立，只需0,2x时min()0g x，对讨论,利用导数求的最小值.试题解析：(1)由于()sinxf xex，所以()sincos(sincos)2sin()4xxxxfxexexexxex.当(2,2)4xkk，即3(2,2)44xkk时，()0fx；当(2,22)4xkk，即37(2,2)44xkk时，()0fx.所以()f x的单调递增区间为3(2,2)44kk()kZ，单调递减区间为37(2,2)44kk()kZ.(2)令()()sinxg xf xkxexkx，要使()f xkx总成立，只需0,2x时min()0g x.对()g x求导得()(sincos)xg xexxk，令()(sincos)xh xexx，则()2cos0 xh xex，(0,)2x)所以()h x在0,2上为增函数，所以2()1,h xe.对分类讨论：当1k 时，()0g x恒成立，所以()g x在0,2上为增函数，所以min()(0)0g xg，即()0g x 恒成立；当21ke时，()0g x在上有实根0 x，因为()h x在(0,)2上为增函数，所以当0(0,)xx时，()0g x，所以0()(0)0g xg，不符合题意；当2ke时，()0g x恒成立，所以()g x在(0,)2上为减函数，则()(0)0g xg，不符合题意.综合可得，所求的实数的取值范围是(,1.【考点】利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.21过x轴上动点,0A a引抛物线21yx 的两条切线AP，AQ，其中P，Q为切线.（1）若切线AP，AQ的斜率分别为1k和2k，求证：12k k为定值，并求出定值；（2）当|APQSPQ最小时，求AP AQ的值.【答案】（1）证明见解析，12k k为定值-4（2）92【解析】（1）联立21yk xayx，得210 xkxka，则1k，2k是方程2440kka的解，故124k k ，即12k k为定值4.（2）要使|APQSPQ最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，首先求出直线PQ的方程，利用点到直线公式和基本不等式得到：A到直线PQ的距离最小值时212a，再联立2221yaxyx 得到2210 xax，122xxa，121x x ，带入AP AQ即可.【详解】（1）设过,0A a与抛物线21yx 相切的直线的斜率是k，则该切线方程为：yk xa.由21yk xayx，得210 xkxka.2241440kkakka.则1k，2k是方程2440kka的解，故124k k ，即12k k为定值4.（2）要使|APQSPQ最小，就是使得A到直线PQ的距离最小.设11(,)P x y，22(,)Q xy，由题知：2yx ，12APkx.故切线AP的方程为：1112()yyx xx.则211111112()2222(1)yx axx axx ay ，整理得：1122yax.同理得：2222yax.所以2121212122(22)2PQyyaxaxkaxxxx .直线PQ的方程为22yax.设A到直线PQ的距离为d，则 222222221 41 313(41)22414141aadaaaa 22132413241aa 当且仅当2234141aa即212a 时取等号 由2221yaxyx 得2210 xax 则122xxa，121x x 121212122222AP AQxaxay yxaxaaxax 2212121434ax xa xxa 222914324332aaaaa.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了利用导数思想求切线，基本不等式求最值的思想，属于难题.22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为325425xtyt （t 为参数），它与曲线 C：（y2）2x21 交于 A、B 两点（1）求|AB|的长；（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为32 2,4，求点P到线段AB 中点 M 的距离【答案】（1）10717；（2）307【解析】试题分析：（1）直线l的参数方程是标准参数方程，因此可把直线参数方程代入曲线C的方程，由利用韦达定理可得12ABtt；（2）把P点极坐标化为直角坐标，知P为直线参数方程的定点，因此利用参数t的几何意义可得122ttPM 试题解析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2+60t125=0 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则121 260125,77ttt t 212121 210 71()47ABttttt t（2）由 P 的极坐标为3(2 2,)4，可得32 2 cos24Px，32 2sin24Py 点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（2，2），根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为123027tt 由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为123027ttPM 点睛：过点00(,)P xy，倾斜角为的直线的标准参数方程00cos(sinxxttyyt为参数），其中直线上任一点M参数的参数t具有几何意义：PMt，且PM方向向上时，t为正，PM方向向下时，t为负 23已知函数2111()32f xxxabc（0a，0b，0c）的图象过定点1,3A（1）求证：16abc；（2）求32abc的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）由题知：1111332fabc，所以3111133326abcabc.化简即可证明不等式.（2）由（1）知111332abc，所以11113232()3 32abcabcabc，利用基本不等式即可求出最小值.【详解】（1）因为函数 211132f xxxabc（0a，0b，0c）的图象过定点1,3A 所以 1111332fabc.所以3111133326abcabc.当且仅当111132abc即13a，12b，1c 时取等号，所以61abc 故16abc （2）由（1）知111332abc，11113232()3 32abcabcabc.123321(3)(3222)3332323bacacbabacbc.当且仅当321abc即13a，12b，1c 时取等号，故32abc的最小值为 3.【点睛】本题主要考查不等式的证明以及最值得求解，考查了学生的运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.